節(jié)點(diǎn)分析
節(jié)點(diǎn)分析是一種分析形式,它使用基爾霍夫電流定律(KCL)和節(jié)點(diǎn)方程來求解電路電壓值,其中原理圖沒有任何導(dǎo)體路徑交叉。通常用于此目的的術(shù)語稱為平面電路。
這用于確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)(或兩個(gè)或多個(gè)組件的連接點(diǎn))的電壓尊重參考節(jié)點(diǎn)。參考節(jié)點(diǎn)通常稱為地,其中地電壓等于零伏。
在查看電壓源或電流源的示意圖時(shí),參考節(jié)點(diǎn)通常是當(dāng)為電流源示出箭頭時(shí),將其分配給電壓源的負(fù)端子和相對端。選擇參考節(jié)點(diǎn)的另一種方法是在查看所有節(jié)點(diǎn)時(shí)選擇中間節(jié)點(diǎn)。
有兩種電源:1)獨(dú)立和2)依賴。
獨(dú)立源為連接的電路提供固定的電壓或電流值。獨(dú)立的來源是電源和電池。電源提供恒定的固定值,而電池在沒有充電的情況下不會(huì)提供恒定的固定值。
從屬源是電壓源或電流源,其值取決于根據(jù)電路中其他地方的電壓或電流值。相關(guān)源是分析放大器的有用工具。放大器的兩個(gè)特性是電壓增益(A V )和電流增益(Ai)。有四種基本的線性相關(guān)來源:
1。輸出為V的電壓控制電壓源,A V 是比例常數(shù)(電壓增益),V CD 是被檢測的參數(shù)。以下等式與壓控電壓源相關(guān):
$$ V = A_ {V} V_ {CD} $$
2。電流控制電壓源,其中輸出為V,R M 是比例常數(shù)(電阻),I C 是被感測的參數(shù)。以下等式與電流控制電壓源相關(guān):
$$ V = R_ {M} I_ {C} $$
3。電流控制電流源,其中輸出為I,Ai是比例常數(shù)(電流增益),I C 是被感測的參數(shù)。以下等式與電流控制電流源相關(guān):
$$ I = A_ {I} I_ {C} $$
4。輸出為I的壓控電流源,GM是比例常數(shù)(電導(dǎo)),VCD是被檢測的參數(shù)。以下公式與壓控電流源相關(guān):
$$ I =(G_ {M})(V_ {CD})$$
如圖1所示,當(dāng)有兩個(gè)直流電壓源和一個(gè)直流電流源時(shí),會(huì)發(fā)生一個(gè)依賴源的節(jié)點(diǎn)分析。注意,E1的值用未知值表示。 E1 = 2Vx。注意,電阻器R1兩端的電壓表示為Vx。注意,電阻器R3兩端的電壓表示為V0。此信息稍后將用于計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓。
圖1
如果節(jié)點(diǎn)或測試點(diǎn)電壓為正,它將讀取電壓表上的正值。如果節(jié)點(diǎn)或測試點(diǎn)電壓為負(fù),它將讀取電壓表上的負(fù)值。
圖1所示電路的一個(gè)示例問題是找到以下內(nèi)容:
一個(gè)。電阻R3兩端的電壓(V0)。
B.電流通過電阻R1(IR1),R2(IR2),R3(IR3)和R4(IR4)。
C.設(shè)I1 = 2 mAmps,I2 = 2 mAmps,E1 = 2Vx,E2 = 4 V,R1 = 1 Kilo歐姆,R2 = 2千歐,R3 = 3千歐,R4 = 4千歐。
d。設(shè)R1(ER1)上的電壓= Vx,E1 = V1 - V2。
第一步是識別參考節(jié)點(diǎn)或地面,然后是所有節(jié)點(diǎn)。圖1中顯示了電路。通常任何獨(dú)立的源都接地,如圖1所示。
在這個(gè)電路中,DC電壓源頂部的節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為V1,標(biāo)記為V1,低于E1在標(biāo)記為V3的電阻器R3下方,以及在標(biāo)記為V4的DC源E2上方。這些節(jié)點(diǎn)如圖2所示。
圖。 2
第二步是識別超級節(jié)點(diǎn),該節(jié)點(diǎn)的從屬源具有未知的E1值,等于2Vx。在V1和V2周圍繪制一條紅線,其中E1如圖3所示。
圖。 3
第三步是確定獨(dú)立源,即電壓源E2,以及電流源I1和I2。在V4和E2,I1和I2周圍畫一條藍(lán)線,如圖4所示。
圖。 4
第4步是識別超級節(jié)點(diǎn)的電流,藍(lán)線和箭頭標(biāo)記為a,b,c,d和e,如圖5所示。
圖5
第五步是識別V3節(jié)點(diǎn)的電流,紅線和箭頭標(biāo)記為f,g和h,如圖6所示。
圖6
下一步將利用圖5標(biāo)識超級節(jié)點(diǎn),以便識別基爾霍夫電流定律(KCL)方程。請記住,基爾霍夫電流定律(KCL)規(guī)定進(jìn)入和離開節(jié)點(diǎn)的所有電流的代數(shù)和必須等于零。
以下KCL電流方程可以寫入超級節(jié)點(diǎn)的藍(lán)線和箭頭a,b,c,d和e:
$$ -I_ {1} + I_ + I_ {c} + I_ zdfjrt3 + I_ {e} = 0 $$
請注意:
$$ I_ = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}},I_ {c} = \ frac {V_ {2} - V_ {3}} {R_ {2}},I_ dbzjzxb = \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}},I_ {e} = \ frac {V_ {1} - E_ {2}} {R_ {4}} $$
現(xiàn)在,等式變?yōu)椋?/p>
$$ -I_ {1} + \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {R_ {2}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}} + \ frac {V_ { 1} -E_ {2}} {R_ {4}} = 0 $$
替換電路值:
$$ - (\ text {2 m})+ \ frac {V_ {2}} {\ text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {\ text {2k}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} { \ text {3k}} + \ frac {V_ {1} -E_ {2}} {\ text {4k}} = 0 $$
將兩邊乘以12 k(Least CommonDenominator):
$$ [ - (\ text {2 m})+ \ frac {V_ {2}} {\ text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} { \ text {2k}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {\ text {3k}} + \ frac {V_ { 1} -E_ {2}} {\ text {4k}} = 0](\ text {12 k})$$
展開:
$$ - 24 + 12V_ {2} + 6(V_ {2} - V_ {3})+ 4(V_ {1} - V_ {3})+ 3(V_ {1} - 4)= 0 $$
$$ - 24 + 12V_ {2} + 6V_ {2} - 6V_ {3} + 4V_ {1} - 4 V_ {3} + 3V_ {1} - 12 = 0 $$
合并條款:
$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$ [等式1]
下一步將利用圖6顯示V3節(jié)點(diǎn)處的電流可以為f,g和h的紅線和箭頭寫出方程式。請注意,當(dāng)查看c和g以及d和h的藍(lán)色和紅色線和箭頭時(shí),通過電阻器R2和R3的電流方向是相反的。這在檢查結(jié)果后會(huì)很重要。
$$ -I_ {2} + \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {R_ {2}} + \ frac {V_ { 3} -V_ {1}} {R_ {3}} = 0 $$
替換電路值:
$$ - (\ text {2 m})+ \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {\ text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} {\ text {3 k}} = 0 $$
將兩邊乘以6 k(最小公分母):
$$ [ - (\ text {2 m})+ \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {\ text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} {\ text {3 k}} = 0](\ text {6 k})$$
展開:
$$ - 12 + 3(V_ {3} - V_ {2})+ 2(V_ {3} - V_ {1})= 0 $$
$$ - 12 + 3V_ {3} - 3V_ {2} + 2V_ {3} - 2V_ {1} = 0 $$
組合術(shù)語:
$$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式2]
有兩個(gè)方程和三個(gè)未知數(shù)。需要另一個(gè)等式。當(dāng)查看圖5中有關(guān)直流電壓源E1和節(jié)點(diǎn)V2的給定信息以及電阻器R1上的電壓Vx時(shí),可以得到另一個(gè)等式。
圖。 5
以下信息是已知的:
$$ E_ {1} = V_ {1} - V_ {2} $$
$$ E_ { 1} = 2V_ {X} $$
$$ V_ {1} - V_ {2} = 2V_ {X} $$ [等式A]
$$ V_ {2 } = V_ {X} $$ [公式B]
在公式A中使用公式B,其中V2 = Vx,可以得到V1的另一個(gè)公式:
$$ V_ {1 } - V_ {2} = 2V_ {X} $$
$$ V_ {1} - V_ {X} = 2V_ {X} $$
解決V1:
$$ V_ {1} = 2V_ {X} + V_ {X} $$
$$ V_ {1} = 3V_ {X} $$ [等式3]
現(xiàn)在,使用公式A和公式B,公式1和公式2需要以Vx和V3表示V1和V2項(xiàng):
召回等式1:$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 7(3V_ {X})+ 18(V_ {X}) - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 21V_ {X} + 18V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [等式C]
召回等式2:$$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $ $
$$ - 2(3V_ {X}) - 3(V_ {X})+ 5V_ {3} = 12 $$
$$ - 6V_ {X} - 3V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$
$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式D]
現(xiàn)在有兩個(gè)方程和兩個(gè)可以求解的未知數(shù)。
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [方程C]
$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式D]
當(dāng)在等式D的兩側(cè)乘以2時(shí),兩個(gè)等式可以加在一起,導(dǎo)致V3項(xiàng)被取消,留下一個(gè)等式為一個(gè)未知。
將公式D的兩邊乘以2:
$$( - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12)(2) $$
展開:
$$ - 18V_ {X} + 10V_ {3} = 24 $$ [公式D]
將新的公式D添加到公式C:
$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [公式C]
$$ - 18V_ {X } + 10V_ { 3} = 24 $$ [公式D]
$$ 21V_ {X} = 60 $$
解決Vx:
$$ \ underline { V_ {X} = 2.86 \ text {v}} $$
召回:$$ V_ {2} = V_ {X} $$,替換$$ V_ {X} = 2.86 \ text {伏特} $$
$$ \ underline {V_ {2} = 2.86 \ text {v}} $$
召回:$$ V_ {1} = 3V_ {X} $$,替換$$ V_ {X} = 2.86 \ text {volts} $$
$ $ V_ {1} = 3(2.86 \ text {v})$$
$$ \ underline {V_ {1} = 8.58 \ text {v}} $$
當(dāng)使用公式1和V1和V2的計(jì)算值時(shí),可以計(jì)算V3:
召回:$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$
替換V1和V2的值:
$$ 7(8.58)+ 18(2.86) - 10V_ {3} = 36 $$
展開:
$$60.06 + 51.48 - 10V_ {3} = 36 $$
結(jié)合條款:
$$ 111.54 - 10V_ {3} = 36 $$
解決V3:
$$ - 10V_ {3} = -111.54 + 36 $$
將雙方除以-10:
$$ \ underline {V_ {3} = 7.55 \ text {v}} $$
可以使用圖5計(jì)算V0的值:
召回:$$ V_ {0} = V_ {1} - V_ {3} $$
替換V1和V3的值:
$$ V_ {0} = 8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v} $$
$$ \ underline {V_ {0} = 1.03 \ text {v}} $$
既然已知所有節(jié)點(diǎn)電壓,可以計(jì)算電阻器R1(IR1),R2(IR2),R3(IR3)和電阻器的電流R4(IR4)。
召回:$$ I_ {R_ {1}} = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} $$
$$ I_ {R_ {1}} = \ frac {2.86 \ text {v}} {\ text {1 k} \ Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {1}} = 2.86 \ text {mA}} $$
召回:$$ I_ {R_ {2}} = \ frac {V_ {2} - V_ {3}} {R_ { 2}} $$
$$ I_ {R_ {2}} = \ frac {2.86 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} {\ text {2k} \ Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -4.69 \ text {v}} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -2.35 \ text {mA}} $ $
召回:$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {V_ {1} - V_ {3}} {R_ {3}} $$
$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} {\ text {3 k} \ Omega} $$
$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {1.03 \ text {v}} {\ text {3 k} \ Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {3 }} = 0.34 \ text {mA}} $$
召回:$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {V_ {1} - V_ {4} } {R_ {4}} $$
$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 4 \ text {v}} {\ text {4 k} \ Omega} $$
$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {4.58 \ text {v}} {\ text {4 k} \ Omega} $$
$$ \ underline {I_ {R_ {4}} = 1.15 \ text {mA}} $$
要確認(rèn)KCL當(dāng)前計(jì)算,請考慮超級節(jié)點(diǎn)上關(guān)聯(lián)的那些:
$$ - I_ {1} + I_ {R_ {1}} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} + I_ {R_ {4}} = 0 $$
替代電路值:
$$( - 2 \ text {mA})+ 2.86 \ text {mA} - 2.35 \ text {mA} + 0.34 \ text {mA} + 1.15 \ text {mA } = 0 $$
結(jié)合條款:
$$ 4.35 \ text {mA} - 4.35 \ text {mA} = 0 $$
確認(rèn)V3節(jié)點(diǎn)的KCL當(dāng)前計(jì)算:
$$ - I_ {2} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} = 0 $$
注意IR2和IR3是超級節(jié)點(diǎn)計(jì)算的相反符號
$$( - 2 \ text {mA})+ 2.35 \ text {mA} - 0.34 \ text {mA} = 0 $$
組合術(shù)語:
$$ (-2.34 \ text {mA})+ 2.35 \ text {mA} \ approx0 $$
電壓控制電流源是輸出電流(IS)是線性的具有以下關(guān)系中的參考電壓(VX)的連通組件的功能:
IS =(A)(IX)其中A是乘數(shù),需要確定IX。
VCCS的下圖如圖1所示。
圖1.壓控電流源
考慮以下電路,該電路由依賴電壓源I2組成值(-2mA)(VR1),與電阻R1的連接鏈路,其值為1K歐姆,電壓降為VR1,獨(dú)立電壓源V1的值為4伏,獨(dú)立電流源I1具有值1 mAmp,如圖2所示。
圖2。
在節(jié)點(diǎn)B使用基爾霍夫電流定律(KCL)之前,節(jié)點(diǎn)A的電壓可以使用4伏的獨(dú)立電壓源V1的值來確定:
$$ V_ {A} = V_ {1} = 4 \ text {volts} $$
要確定節(jié)點(diǎn)A處的KCL,需要識別電流。電流IA是正的,因?yàn)樗M(jìn)入節(jié)點(diǎn)而電流IB和IC是負(fù)的,因?yàn)樗鼈冸x開節(jié)點(diǎn),如圖3所示。
圖3.
節(jié)點(diǎn)VA上所有電流的代數(shù)和等于零:
$$ I_ {A} - I_ {B} - I_ {C} = 0 $$
請注意:
$$ I_ {B} = \ frac {V_ {B} - V_ {A}} { R_ {1}} $$
$$ I_ {C} = I_ {1} $$
這樣:
$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - V_ {A}} {R_ {1}} - I_ {1} = 0 $$
替換電路值:
$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - 4} {1 \ text {k} \ Omega} - 1 \ text {mA} = 0 $$
將兩邊乘以1k:
$$ [I_ {A} - \ frac {(V_ {B} - 4)} {1 \ text {k} \ Omega} - 1 \ text {mA} = 0](1 \ text {k} )$$
展開:
$$(1 \ text {k})I_ {A} - (V_ {B} - 4) - 1 = 0 $$
$$(1 \ text {k})I_ {A} - V_ {B} + 4- 1 = 0 $$
組合術(shù)語:
$ $(1 \ text {k})I_ {A} - V_ {B} + 3 = 0 $$
左側(cè)未知,右側(cè)知道
$$(1 \ text {k})I_ {A} - V_ {B} = -3 $$ [等式1]
要確定節(jié)點(diǎn)B處的KCL,需要識別電流。當(dāng)前的IA,IB和IC是正的,因?yàn)樗鼈冞M(jìn)入節(jié)點(diǎn),而當(dāng)前的IE是負(fù)的,因?yàn)樗x開節(jié)點(diǎn),如圖4所示。
圖4.
節(jié)點(diǎn)VB上所有電流的代數(shù)和等于零:
$$ I_ {B } + I_ {C} + I_ {D} - I_ {E} = 0 $$
請注意:
$$ I_ {B} = \ frac {V_ {A } -V_ {B}} {R_ {1}} $$
$$ I_ {C} = I_ {1} $$
$$ I_ {D} = I_ {2} $$
$$ I_ {E} = \ frac {V_ {B}} {R_ {2}}
這樣:
$$ \ frac {V_ {A} -V_ {B}} {R_ {1}} + I_ {1} + I_ {2} - \ frac {V_ {B}} {R_ {2}} = 0 $$
替換電路值:
$$ \ frac {4-V_ {B}} {1 \ text {k} \ Omega} + 1 \ text {mA} - (2 \ text {m})V_ {R_ {1}} - \ frac {V_ {B}} {2 \ text {k} \ Omega} = 0 $$
將兩邊乘以2 k:
$$ [\ frac {4-V_ {B}} {1 \ text {k} \ Omega} + 1 \ text {mA} - (2 \ text {m})V_ {R_ { 1}} - \ frac {V_ {B}} {2 \ text {k} \ Omega} = 0](2 \ text {k})$$
展開:
$$ 2(4 -V_ {B})+ 2 -4V_ {R_ {1}} -V_ {B} = 0 $$
$$ 8 -2V_ {B} + 2 -4V_ {R_ {1}} -V_ {B} = 0 $$
組合術(shù)語:
$$ - 3V_ {B} -4V_ {R_ {1}} + 10 = 0 $$
左邊未知,右邊知道
$$ - 3V_ {B} -4V_ {R_ {1}} = -10 $$ [等式2]
$$ E_ {R_ {4}} = I_ {1} R_ {4} $$
替換電路值:
$$ E_ {R_ {4}} =(1 \ text {mA})(3 \ text {k} \ Omega)$$
$$ \ underline {E_ {R_ {4}} = 3 \ text {v}} $$
請注意,R4與R1并行。這使得ER4等于VR1。
$$ \ underline {V_ {R_ {1}} = 3 \ text {v}} $$
使用歐姆定律找到IB:
\ [I_ {B} = \ frac {V_ {R1}} {R_ {1}} \]
替換電路值:
$$ I_ {B} = \ frac {3 \ text {v}} {1 \ text {k} \ Omega} $$
$$ \ underline {I_ {B} = 3 \ text {mA}} $$
回憶節(jié)點(diǎn)A的電流:
$$ I_ {A} -I_ {B} -I_ {C} = 0 $$
求解IA:
$$ I_ {A} = I_ {B} + I_ {C} $$
替代電路值:
$$ I_ {A} =(3 \ text {mA})+(1 \ text {mA})$$
$$ \ underline {I_ {A} = 4 \ text { mA}} $$
請注意,當(dāng)前ID是當(dāng)前的I2:
$$ I_ {D} =( - 2 \ text {m}) (V_ {R_ {1}})$$
替換電路值:
$$ I_ {D} =( - 2 \ text {m})(3 \ text { v})$$
$$ \ underline {I_ {D} = - 6 \ text {mA}} $$
回憶節(jié)點(diǎn)電流B:
$$ I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} -I_ {E} = 0 $$
解決IE:
$$ I_ {E} = I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} $$
替換電路值:
$$ I_ {E} = (3 \ text {mA})+(1 \ text {mA})+( - 6 \ text {mA})$$
$$ \ underline {I_ {E} = - 2 \ text {mA}} $$
請注意,VR1可以從節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B確定:
$$ V_ {R_ {1}} = V_ {A} -V_ {B} $$
解決VB:
$$ V_ {B} = V_ {A} -V_ {R_ {1}} $$
替換電路值:
$$ V_ {B} =(4 \ text {v}) - (3 \ text {v})$$
$$ \下劃線{V_ {B} = 1 {\ text {v}}} $$
使用與從屬電流源關(guān)聯(lián)的等式來查找當(dāng)前的I2:
$$ I_ {2} =( - 2 \ tex t {m})(V_ {R_ {1}})$$
替換電路值:
$$ I_ {2} =( - 2 \ text {m})(3 \ text {v})$$
$$ \下劃線{I_ {2} = - 6 \ text {mA}} $$
使用歐姆定律查找電阻R3上的電壓:
$ $ E_ {R_ {3}} =(I_ {2})(R_ {3})$$
替換電路值:
$$ E_ {R_ {3}} =( - 6 \ text {mA})(4 \ text {k} \ Omega)$$
$$ \ underline {E_ {R_ {3}} = - 24 \ text {v}} $$
為了確認(rèn)涉及獨(dú)立電壓源V1和電阻器R1和R2的KVL回路,得到以下等式:
$$ V_ {1} = E_ {R_ {1}} + E_ {R_ {2}} $$
替換電路值并注意ER2等于VB
$$(4 \ text {v}) =(3 \ text {v})+(1 \ text {v})$$
使用依賴源的節(jié)點(diǎn)分析利用Kirchhoff的當(dāng)代法與代數(shù)和歐姆定律來代替節(jié)點(diǎn)的未知電壓并找到其他電路值。通過花時(shí)間仔細(xì)標(biāo)記節(jié)點(diǎn),通過識別正確的節(jié)點(diǎn)電壓和極性,解決問題變得更容易并且可以避免錯(cuò)誤。
-
節(jié)點(diǎn)分析技術(shù)
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