邏輯電路的基礎知識

FPGA (Field Programmable Gate Aray,現(xiàn)場可編程門陣列)是一種可通過重新編程來實現(xiàn)用戶所需邏輯電路的半導體器件。為了便于大家理解FPGA的設計和結(jié)構(gòu)，我們先來簡要介紹一些邏輯電路的基礎知識。

1.邏輯代數(shù)

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)，即稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。邏輯代數(shù)是由和邏輯值(0和1)相關(guān)的邏輯與( AND)、邏輯或(OR)和邏輯非(NOT)三種運算形成的代數(shù)體系，也稱為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)分為兩種：一種是從一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的邏輯，稱為一元邏輯；另外一種是兩種狀態(tài)中按照某種規(guī)則（比如比較大小）有傾向性的選擇出其中一種狀態(tài)的邏輯，稱為二元邏輯。圖1列出了定義邏輯與、邏輯或的二元邏輯運算以及定義邏輯非的一元邏輯運算。在這里，三種運算分別使用“·”“+”和“ˉ”運算符號來表示。邏輯與x?y是指x和y都為1時，結(jié)果為1的運算。邏輯或x+y是指x或y至少有一方為1時，結(jié)果為1的運算。邏輯非“x(ˉ)" 是取相反邏輯值的一元運算:如果x為0則結(jié)果為1;反之，如果x為1則結(jié)果為0。

表1 邏輯運算(布爾代數(shù)的公理)

邏輯代數(shù)滿足表2所示的定理。這里的符號“=”表示其兩邊的計算結(jié)果總是相等，即等價。如果對換邏輯表達式中的邏輯值0和1、邏輯運算“與”和“或”，對換后得到的新邏輯表達式與對換前的表達式運算順序不變，那么新邏輯表達式就稱為原邏輯表達式的對偶式。邏輯代數(shù)中，如果某定理的邏輯表達式成立，其對偶式也成立。

表2 布爾代數(shù)的定理

2.邏輯表達式

邏輯表達式是用來描述邏輯運算過程的算式，由邏輯運算符、任意數(shù)量的邏輯變量以及必要的括號和常數(shù)值0或1組合而成。對于包含n個邏輯變量X1,X2,X3…Xn的邏輯表達式來說，我們先在其各個邏輯變量內(nèi)代入邏輯值0或1,形成任意組合(共2n組),然后依照邏輯表達式的計算步驟計算這些組合，就可以得到值為0或1的計算結(jié)果。也就是說，邏輯表達式定義了具有某種邏輯功能的邏輯函數(shù)F(X1,X2,X3…Xn)。在邏輯表達式中，沒有括號的情況下，邏輯與的計算優(yōu)先于邏輯或。邏輯與的運算符“·”也可省略。

任何邏輯函數(shù)都可以由邏輯表達式來描述，而且描述同一邏輯函數(shù)的邏輯表達式可以有多個。邏輯表達式的標準形式指的是通過增加表達式形式上的限制，使得一個邏輯函數(shù)只有一個邏輯表達式與之對應的情況。邏輯表達式中，邏輯變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)。原變量和反變量統(tǒng)稱為字面量( literal)。字面量的邏輯與(每個字面量不能出現(xiàn)多次)叫作與項，與項的邏輯或運算叫作積之和。包含所有字面量的與項稱為最小項，由最小項構(gòu)成的積之和稱為標準積之和(標準積)。將標準積的邏輯與和邏輯或?qū)φ{(diào)即為標準和之積。字面量的邏輯或(每個字面量不能出現(xiàn)多次)叫作或項，或項的邏輯與運算叫作和之積。包含所有邏輯變量的或項稱為最大項，由最大項構(gòu)成的和之積稱為標準和之積(標準和)。

3.真值表

除了邏輯表達式，邏輯函數(shù)的描述方法還包括真值表和邏輯門。針對邏輯函數(shù)所有可能的輸入組合一一列出輸出值，我們就可以得到真值表。對于組合邏輯電路，只要列出所有可能的輸入和對應的輸出值，就可以完整地描述電路功能。因此，電路功能通常使用真值表描述。輸入的個數(shù)為n時，真值表的組合數(shù)為2n。真值表中，需要記入每組輸人值所對應的輸出值。

描述邏輯函數(shù)的邏輯表達式可以有許多個，而描述邏輯函數(shù)的真值表卻是唯一的。雖然一個邏輯表達式只描述一個邏輯函數(shù)，但一個邏輯函數(shù)可以通過無數(shù)的等價邏輯表達式來描述。實現(xiàn)真值表所定義的功能的電路稱為查找表( Look-up Table, LUT), 是當前主流FPGA的基本單元。

從真值表推導邏輯表達式的形式有兩種:“積之和表達式”與“和之積表達式”。在真值表輸出為1的行中取輸人變量的與項(最小項)，然后將這些最小項相或，即可得到標準積之和表達式;相對地，在真值表輸出為0的行中取輸人變量的反變量的或項(最大項),然后將這些最大項相與，即可導出標準和之積表達式。圖1中的示例展示了如何從真值表推導邏輯表達式。

圖1 真值表推導邏輯表達式示例

邏輯電路是一種離散信號的傳遞和處理，以二進制為原理、實現(xiàn)數(shù)字信號邏輯運算和操作的電路。分組合邏輯電路和時序邏輯電路。前者由最基本的“與門”電路、“或門”電路和“非門”電路組成，其輸出值僅依賴于其輸入變量的當前值，與輸入變量的過去值無關(guān)—即不具記憶和存儲功能；后者也由上述基本邏輯門電路組成，但存在反饋回路—它的輸出值不僅依賴于輸入變量的當前值，也依賴于輸入變量的過去值。

4.組合邏輯電路

邏輯電路根據(jù)是否包含記憶元件，分為組合邏輯電路和時序邏輯電路。組合邏輯電路不包含記憶元件。其時間點的輸出(邏輯函數(shù)值)僅取決于當時的輸入，而與電路以前狀態(tài)無關(guān)，而與其他時間的狀態(tài)無關(guān)。組合邏輯電路允許有多個輸入/輸出，其內(nèi)部由用于計算邏輯與( AND)、邏輯或(OR)和邏輯非(NOT)等基本邏輯函數(shù)的邏輯門( gate),以及門電路間的連線組成。邏輯與、邏輯或和邏輯非3種運算相對應的邏輯門分別被稱為與門、或門和非門。此外，其他較為常見的二項運算邏輯門還有與非(NAND)門、或非(NOR)門、異或( EXOR)門等。與非門用來計算邏輯與的否定，或非門用來計算邏輯或的否定，而異或門用來計算異或邏輯。表3列出了這些邏輯門的符號(MIL符號)、真值表和邏輯表達式。我們使用“⊕”表示邏輯異或的運算符號。表中用來表示二項運算的2輸人門電路符號，也可以用于表示具有3個以上輸人的運算邏輯。目前主流的LSI技術(shù)CMOS中除了基本的與非門、或非門，還有OR-AND-NOT、AND-OR-NOT等復合門電路。

表3 邏輯門的符號、真值表、邏輯表達式

任何邏輯電路都可以由積之和表達式來描述。因此，使用NOT-AND-OR組合而成的組合邏輯電路可以實現(xiàn)任何邏輯函數(shù)，這種方式被稱為AND-OR邏輯電路或AND-OR陣列。實現(xiàn)AND-OR邏輯電路的器件有PLA ( Programmable Logic Array,可編程序邏輯陣列)等。

對于一個邏輯表達公式或邏輯電路，其真值表是唯一的，但其真值表對應的邏輯電路或邏輯表達式可能有多種實現(xiàn)形式，所以，一個特定的邏輯問題，其對應的真值表是惟一的，但實現(xiàn)它的邏輯電路是多種多樣的。在實際設計工作中，如果由于某些原因無法獲得某些門電路，可以通過變換邏輯表達式變電路，從而能使用其他器件來代替該器件。同時，為了使邏輯電路的設計更簡潔，通過各方法對邏輯表達式進行化簡是必要的。組合電路可用一組邏輯表達式來描述。設計組合電路直就是實現(xiàn)邏輯表達式。要求在滿足邏輯功能和技術(shù)要求基礎上，力求使電路簡單、經(jīng)濟、可靠、實現(xiàn)組合邏輯函數(shù)的途徑是多種多樣的，可采用基本門電路，也可采用中、大規(guī)模集成電路。其一般設計步驟為：

（1） 分析設計要求，列真值表；

（2） 進行邏輯和必要變換。得出所需要的最簡邏輯表達式；

（3） 畫邏輯圖。

常用的邏輯組合電路包括，算數(shù)運算電路（半加器、全加器和加法器）、編碼器、譯碼器、數(shù)據(jù)選擇器、數(shù)據(jù)分配器、和數(shù)值比較器。

5. 時序邏輯電路

含有記憶元件的邏輯電路被稱為時序邏輯電路。在組合邏輯電路中，當前的輸出只取決于當前的輸人。而在時序邏輯電路中，只知道當前的輸人并不足以確定當前的輸出。也就是說，時序邏輯電路是一種過去的電路狀態(tài)（之前的輸入）也會對輸出產(chǎn)生影響的邏輯電路。

時序邏輯電路分為同步時序邏輯電路和異步時序邏輯電路這兩種。同步時序邏輯電路中，輸人和內(nèi)部狀態(tài)的變化由時鐘信號控制同步進行，而異步時序邏輯電路則不需要時鐘信號。由于FPGA電路設計一般使用同步時序邏輯電路，所以這里我們不對異步時序邏輯電路進行過多討論，而我們常用的時序邏輯電路主要有觸發(fā)器、計數(shù)器、寄存器和順序脈沖發(fā)生器等。

時序邏輯電路的輸出值由輸人值和記憶元件的狀態(tài)值共同決定。也就是說，時序邏輯電路中過去的輸人所形成并保留下來的狀態(tài)對當前的輸出具有影響。這種邏輯電路可描述為圖2所示的有限狀態(tài)機模型。圖2a所示的模型為米勒( Mealy )型時序邏輯電路，圖2b 所示的模型為摩爾(Moore)型時序邏輯電路。米勒模型的輸出由內(nèi)部狀態(tài)和輸人共同決定，而摩爾模型的輸出僅由內(nèi)部狀態(tài)決定。米勒模型的狀態(tài)數(shù)通常比摩爾模型的少，因此有電路規(guī)模較小的優(yōu)點。然而由于輸人會立刻反映到輸出，所以邏輯元件或不等長的布線所帶來的信號延遲等容易引起信號競爭，進而導致非預期的錯誤輸出(冒險)。相比之下，摩爾模型直接使用記憶狀態(tài)的輸出，因此電路速度快且不易發(fā)生冒險。但摩爾模型由于狀態(tài)數(shù)量多，電路規(guī)模也相對較大。

圖2 時序邏輯電路模型

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