相位噪聲是與哪種類型的抖動(dòng)相對(duì)應(yīng)，彼此之間又有著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系

每當(dāng)介紹相位噪聲測試方案時(shí)，都會(huì)提到時(shí)間抖動(dòng)，經(jīng)常提到二者都是表征信號(hào)短期頻率穩(wěn)定度的參數(shù)，而且是頻域和時(shí)域相對(duì)應(yīng)的參數(shù)。正如題目所示，相位噪聲與時(shí)間抖動(dòng)有著一定的關(guān)系，那么相噪是與哪種類型的抖動(dòng)相對(duì)應(yīng)，彼此之間又有著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系，這些疑問都將在文中找到答案。

1.相位噪聲與時(shí)間抖動(dòng)概述

相位噪聲通常是針對(duì)CW信號(hào)而言的，是表征信號(hào)頻譜純度的非常重要的參數(shù)，衡量了信號(hào)頻率的短期穩(wěn)定度。相位噪聲是頻域的參數(shù)，在時(shí)域還有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的參數(shù)——隨機(jī)抖動(dòng)，二者之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以相互轉(zhuǎn)換。

在前面關(guān)于相位噪聲測試的文章中，給出了IEEE早期關(guān)于相噪的定義，同樣的，關(guān)于時(shí)間抖動(dòng)，SONET規(guī)范也給出了相應(yīng)的定義：

“Jitter is defined as the short-term variations of a digital signal’s significant instants from their ideal positions in time”.

抖動(dòng)定義中給出了三個(gè)要素：

(1) significant instants，通常是指信號(hào)的上升沿或者下降沿；
(2) ideal positions in time，這是指信號(hào)上升沿或下降沿在時(shí)間維度上的理想位置；
(3) short-term variations，信號(hào)實(shí)際上升沿或下降沿相對(duì)于理想位置時(shí)間偏移的短期波動(dòng)。

雖然定義中只提到了數(shù)字信號(hào)，但實(shí)際上具有普遍適用性，當(dāng)然對(duì)于CW信號(hào)也是適用的。

上述定義所給出的是一種綜合性抖動(dòng)，按照不同的原因機(jī)制，又可以分解為多種不同的抖動(dòng)分量，包括：隨機(jī)抖動(dòng)，周期性抖動(dòng)，數(shù)據(jù)相關(guān)抖動(dòng)，占空比失真等。

CW信號(hào)可以理解為一種特殊的數(shù)字碼流信號(hào)，理論上只有隨機(jī)抖動(dòng)和周期性抖動(dòng)這兩種分量。隨機(jī)抖動(dòng)是由寬帶噪聲引起的，周期性抖動(dòng)是由串?dāng)_引起的，從產(chǎn)生機(jī)制上講，都相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行了調(diào)頻或者調(diào)相。

高端的頻譜儀及專業(yè)的相噪測試設(shè)備，除了能夠給出相位噪聲，還可以測試載波附近的spur。根據(jù)產(chǎn)生的機(jī)制可以判定，相位噪聲是與隨機(jī)抖動(dòng)相對(duì)應(yīng)的，spur是與周期性抖動(dòng)相對(duì)應(yīng)的。

下文主要聚焦在相噪與隨機(jī)抖動(dòng)的關(guān)系，后面所提到的抖動(dòng)，除非特別說明，否則一律視為隨機(jī)抖動(dòng)。

2.相位噪聲與時(shí)間抖動(dòng)有何關(guān)系？

理想的CW信號(hào)用公式可以表示為

相位噪聲可以理解為寬帶隨機(jī)噪聲對(duì)CW信號(hào)的相位調(diào)制，因此，CW信號(hào)的頻譜具有對(duì)稱的左右兩個(gè)邊帶。

從相位調(diào)制的角度看，經(jīng)寬帶隨機(jī)噪聲u(t) 調(diào)制后，已調(diào)信號(hào)可以表示為

式中，kPM為調(diào)相比例系數(shù)，u(t) 為寬帶隨機(jī)信號(hào)，通?？梢砸暈榘自肼曅盘?hào)，相當(dāng)于由無數(shù)個(gè)點(diǎn)頻信號(hào)疊加而成。

對(duì)于u(t) 中包含的任意頻點(diǎn)?m，對(duì)應(yīng)的調(diào)制信號(hào)表達(dá)式為

下面以頻率為?m的信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)，從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)單邊帶相位噪聲與時(shí)間抖動(dòng)的關(guān)系。

對(duì)射頻載波調(diào)相后，已調(diào)信號(hào)的表達(dá)式為

由調(diào)制信號(hào)引起的載波信號(hào)的瞬時(shí)相位定義為

通常稱θp為調(diào)相因子，表征了載波信號(hào)相位波動(dòng)的最大偏移，單位為弧度rad.，其表達(dá)式為

因此，已調(diào)信號(hào)又可以寫為

將上式展開為

因?qū)拵г肼暦确浅Ｐ?，?duì)載波信號(hào)進(jìn)行相位調(diào)制造成的相位偏移也是非常小的，通常θp<<1，則存在如下近似關(guān)系：

上式可進(jìn)一步寫為

理論上，如果使用單頻點(diǎn)信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)對(duì)射頻載波進(jìn)行相位調(diào)制，已調(diào)信號(hào)可以展開為第一類貝塞爾函數(shù)，從展開式可以看出，頻譜分量非常豐富，而且關(guān)于載波頻率左右對(duì)稱。而上面的公式表明，卻只有載波、左右邊帶三個(gè)頻率分量，這正是因?yàn)樯厦孀隽艘恍?shù)學(xué)近似。

以右邊帶為例，其信號(hào)功率為

載波信號(hào)功率為

則在頻偏fm=?m/2π 處的單邊帶相位噪聲為

式中，θrms為載波信號(hào)相位波動(dòng)的有效值。該公式具有普遍適用性，適用于任意頻偏。

相位噪聲表征了某一頻偏處的單邊帶相對(duì)噪聲功率譜密度，由上式可知，θ2rms表征了雙邊帶相對(duì)噪聲功率譜密度。

上面是以寬帶隨機(jī)噪聲中的任意單頻點(diǎn)信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)為例，簡要描述了相位噪聲的形成，而寬帶噪聲包含無數(shù)個(gè)單頻點(diǎn)信號(hào)，對(duì)載波進(jìn)行相位調(diào)制后，那么從頻譜上看，同樣可以得到左右對(duì)稱的兩個(gè)邊帶，而且左右邊帶的頻譜是連續(xù)的。

隨機(jī)抖動(dòng)與相位噪聲有什么關(guān)系呢？

時(shí)間抖動(dòng)就是指載波信號(hào)上升沿或者下降沿在時(shí)間軸上的短期波動(dòng)，隨機(jī)抖動(dòng)是由于寬帶噪聲引起的邊沿?zé)o規(guī)則隨機(jī)波動(dòng)，這與相位噪聲是一一對(duì)應(yīng)的，邊沿的波動(dòng)是各個(gè)頻偏處相噪的綜合體現(xiàn)。載波邊沿的隨機(jī)波動(dòng)，存在一個(gè)波動(dòng)范圍，從概率密度上講，基本服從高斯分布，通常采用標(biāo)準(zhǔn)差表征隨機(jī)抖動(dòng)，這也是隨機(jī)抖動(dòng)的有效值，也是通常要測試的參數(shù)。

時(shí)間抖動(dòng)引起了相位的波動(dòng)，只要確定了相位波動(dòng)的量，那么也就確定了時(shí)間抖動(dòng)。

將各個(gè)頻偏處的相位噪聲求和并進(jìn)一步變換可得

由于相位噪聲的邊帶是連續(xù)的，因此，上式可以用積分表示

當(dāng)然，測試設(shè)備是沒有辦法進(jìn)行積分的，只能對(duì)離散的測試數(shù)據(jù)進(jìn)行求和來模擬積分的效果。

θrms,total即為由總體的相位噪聲引起的相位波動(dòng)，結(jié)合載波頻率并運(yùn)用如下公式便可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的時(shí)間抖動(dòng)

值得一提的是，上述公式中的相位噪聲不是對(duì)數(shù)值，而是線性值！而且，根據(jù)相位噪聲計(jì)算得到的抖動(dòng)為隨機(jī)抖動(dòng)，換言之，隨機(jī)抖動(dòng)與相位噪聲是一一對(duì)應(yīng)的。

3.如何測試時(shí)間抖動(dòng)？

從目前看，關(guān)注時(shí)間抖動(dòng)的信號(hào)主要分為兩類：快沿信號(hào)和CW信號(hào)。前者通常是指在高速串行總線通信中的比特流信號(hào)及其時(shí)鐘信號(hào)，這類信號(hào)普遍具有非?？斓倪呇?，頻譜分量較為豐富。后者主要是指諸如射頻載波、晶振信號(hào)等單頻點(diǎn)信號(hào)，這類信號(hào)頻譜相對(duì)單一。

使用示波器是測試時(shí)間抖動(dòng)最直接的方法，可以直接測試抖動(dòng)，而不需要由相位噪聲推導(dǎo)而來，對(duì)于上述兩類信號(hào)都是適用的。尤其是對(duì)于快沿信號(hào)，不僅要測試各種抖動(dòng)分量，還要測試幅度、邊沿時(shí)間以及眼圖等信號(hào)特征參數(shù)，必須要使用示波器進(jìn)行測試。

對(duì)于CW信號(hào)，基本上只關(guān)注隨機(jī)抖動(dòng)，如果給出了抖動(dòng)的指標(biāo)要求，一定會(huì)給出對(duì)應(yīng)的是哪個(gè)頻偏范圍。中高端示波器可以直接測試隨機(jī)抖動(dòng)，而且支持設(shè)定積分頻偏范圍，觀測該頻偏范圍內(nèi)的總隨機(jī)抖動(dòng)。但缺點(diǎn)是，示波器自身的抖動(dòng)噪底往往較大，如果CW信號(hào)自身的隨機(jī)抖動(dòng)與示波器抖動(dòng)噪底相當(dāng)，那么就無法直接準(zhǔn)確測試了。

如前所述，由相位噪聲可以推導(dǎo)出隨機(jī)抖動(dòng)，那么就可以先測試相位噪聲，然后再根據(jù)公式計(jì)算出隨機(jī)抖動(dòng)。通過配置自動(dòng)相噪測試選件，中高端頻譜儀測試相噪和抖動(dòng)更加方便。而且單純從隨機(jī)抖動(dòng)的測試能力而言，頻譜儀自身的抖動(dòng)噪底也好很多，如果超出了頻譜儀的測試能力，還可以選擇測試相噪的“專家級(jí)”設(shè)備——信號(hào)源分析儀，相噪測試能力更強(qiáng)。優(yōu)點(diǎn)很明顯，但缺點(diǎn)也很明顯，這些頻域設(shè)備只能測試頻域相關(guān)參數(shù)，卻無法進(jìn)行時(shí)域相關(guān)測試！

無論是使用示波器直接測試隨機(jī)抖動(dòng)，還是使用頻譜儀等設(shè)備先測試相噪、再計(jì)算隨機(jī)抖動(dòng)，整個(gè)測試都是非常簡單、智能的。那么，應(yīng)該如何選擇呢？關(guān)鍵還是取決于儀表自身的測試能力和功能是否滿足需求！

本期原創(chuàng)工程師：海川

責(zé)任編輯：xj

原文標(biāo)題：如何理解相位噪聲與時(shí)間抖動(dòng)的關(guān)系？

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