關(guān)于囚禁于納米圍欄中的量子詳細解析

1. 引子

曾幾何時，當科學技術(shù)發(fā)展到一定程度，或一位科學家修為到了一定高度，就會開始談論科學之美。楊振寧先生就經(jīng)常引用“秋水文章不染塵”一句來描述學問之美，其中味道，讀者可去清代篆刻家、書法家鄧石如先生在其書房自題楹聯(lián)：“春風大雅能容物，秋水文章不染塵”那里體會。楊先生是大師，他對科學結(jié)構(gòu)美的鑒賞當然有深度和厚度。我們大多數(shù)人，對科學之美的欣賞則主要來自視覺感受：一幅物理圖像、一列物理公式，再加上對稱、簡潔這些元素，便可將科學之美提升到與諸多藝術(shù)之美比肩的高度。這是一些科學人嫁接自然與藝術(shù)的手法，屢試不爽。

科學的視覺之美已經(jīng)沁入學者的骨髓，因此常能夠引起同行的共鳴與驚嘆。話說大約 1990 年代，當時風頭正勁的 IBM 公司在加州 Almaden 運行有一個研究中心，頗負盛名。該中心 1993 年發(fā)布過一張實驗圖片，如圖 1（a） 所示。圖片的視覺瞬時引起巨大轟動，其后亦經(jīng)久不衰，現(xiàn)在好像已經(jīng)成為量子物理學的知名印象作品之一。

圖1. 量子圍欄 （quantum corrals） 的 STM 圖像。

圖片 （a） 中，樣品是高度潔凈和原子級平整的 Cu （111） 表面，表面上有一個圓圈形圍欄，乃由 48 個 Fe 原子組成。圓圈平均半徑為 7.13 nm，相鄰 Fe 原子之間平均距離 0.95 nm。紅色箭頭所指乃一個孤立的 Fe 原子位置，黃色箭頭所指乃圍欄內(nèi)形成的“波動干涉”般花樣。圖片 （b） 乃量子圍欄的另外一個例子。

眾所周知，1980 年代發(fā)展起來的掃描隧道顯微術(shù) （scanning tunneling microscopy， STM） 是微結(jié)構(gòu)與電子結(jié)構(gòu)探測技術(shù)的一個里程碑。這幅圖片描述的是該中心研究人員 M. F. Crommie 等人的一項實驗觀測結(jié)果。這里的樣品是高度潔凈而有序的金屬 Cu 單晶 （111） 表面，呈現(xiàn)清晰的密堆排列。STM 技術(shù)具有在表面操縱單個原子移動的功能。此時，在這一表面沉積上零散的 Fe 原子，然后用 STM 針尖將這些 Fe 原子一個一個移動到某一個區(qū)域形成一個圓形或者其它形狀的圍欄。至此，樣品制備即告完成。

接下來即可開始對這個樣品表面進行測量。保持針尖和樣品之間有一個較低的偏壓 （用于防止掃描時針尖導致的原子運動），掃描針尖探測到樣品表面的形貌 （圖 1（a）） 或微分電導之空間分布，從而反映出樣品表面的費米面處電子態(tài)密度 （微分電導正比于樣品表面處的態(tài)密度） 之空間分布形態(tài)。

這一圖片在筆者 （及類似的外行物理人） 看來，有如下幾處奇妙特征和迷惑之處：

（1） 好一幅葵花般的圍欄形貌，其形態(tài)和配色均美妙絕倫，堪稱量子物理微觀世界的圣品，特別是圍欄中心形成蠟燭一般的火炬，雖然不夠高。這一圍欄乃所謂“量子圍欄 quantum corral”，藝術(shù)者則經(jīng)常稱之為量子海市蜃樓一類。

（2） 圍欄內(nèi)部形成了漂亮的波動干涉圖樣 （黃色箭頭所指），用直觀的方式顯示出量子波動干涉物理，令人心動亦意亂情迷。

（3） 孤立的單個 Fe 原子那里，除了其本身的態(tài)密度形成火炬外，周圍也能清晰看到波動干涉環(huán)的圖像，雖然遠沒有圍欄內(nèi)那么明顯，就如圖中紅色箭頭所指。

（4） 蹊蹺的是，Cu 是金屬中難得的優(yōu)良導體，F(xiàn)e 也是良好導體。按照金屬自由電子理論，樣品中的電子應該可以在三維空間隨處無阻尼移動。如此，樣品表面不應該出現(xiàn)這種看起來是表面波相向而動、形成干涉的場面。這一圈稀稀拉拉 Fe 原子圍成的稀疏圍欄，竟然將流動的電子束縛在圍欄內(nèi)的表面處，令其不得動彈。這讓人費解！

當然，隨后，類似的各種量子圍欄應運而生，形成各種形態(tài)。圖 1（b） 給出了一個另外的例子，其形貌同樣美輪美奐。

圖2. 金屬 Cu 的體能帶結(jié)構(gòu)

（a） 和 （111） 表面的能帶結(jié)構(gòu) （b）。體能帶中布里淵區(qū)的 Γ – L 線段即為實空間的 ［111］ 方向?？梢?Cu 沿著 ［111］ 方向沒有能帶穿越費米面，意味著沿這個方向輸運存在禁帶。圖 （b） 顯示的 Cu （111） 面的能帶結(jié)構(gòu)，其中黑實線代表表面態(tài)。在波矢為零處，即 ［111］ 方向上，費米能級不存在任何態(tài)密度，即禁帶。

2. 量子圍欄之源

當然，這樣的葵花圍欄是物理，有必要在這里加以簡單說明。事實上，Google 和維基百科中對此有各種細致或簡潔的描述版本，大概的物理（不嚴謹，大致物理圖像）可按照下述幾條索驥：

（1） 立方體系貴金屬 Cu、Ag、Au 的電子結(jié)構(gòu)有一個共同特點：其 （111） 表面存在表面電子態(tài)。所謂表面電子態(tài)是指費米面處的電子即載流子只能在表面運動，即所謂表面二維電子氣，表面層電子無法向深度方向傳輸。這一效應與我們通常理解的金屬導電現(xiàn)象不一致：這是金屬啊，怎么會沿某些方向還不能導電了？豈有此理！

（2） 以金屬 Cu 為例，表面態(tài)的形成機制大約是：參考圖 2（a） 所示的金屬 Cu 能帶結(jié)構(gòu)，可見很多能帶穿越費米面，使得 Cu 成為金屬。不過，如果仔細去看動量空間布里淵區(qū)的 Γ – L 線段即為實空間的 ［111］ 方向，這個區(qū)域沒有任何能帶穿越，意味著沿這個方向有能隙、是禁帶，電子無法沿此方向運動。更為清晰的表達在圖 2（b） 所示之 Cu （111） 面費米面附近的色散關(guān)系。可見費米面處的波矢 kF 色散不通過坐標原點 ［0， 0］，而這一點正代表 ［111］ 方向。也就是說，原點 ［0， 0］ 處的態(tài)密度為零：絕緣！

（3） 當然，Cu （111） 表面的電子也不能脫離表面跑到真空或者空氣中。因為功函數(shù)的束縛，電子不能逸入真空。因此，Cu （111） 表面的電子實際上就是一層平行于表面運動的二維電子氣，類似于調(diào)制摻雜的界面。

（4） 這些電子氣的運動會受到表面臺階、吸附原子等各種不完整結(jié)構(gòu)的散射影響，表現(xiàn)為由于表面二維嚴格周期性勢場被破壞而使電子波動受到散射，會形成各種波動花樣。

（5） Crommie 等發(fā)現(xiàn)的 Cu （111） 之量子圍欄花樣，實質(zhì)上即圍欄內(nèi)部的電子運動被圍欄反射回去，與后續(xù)運動而來的電子形成干涉。考慮到電子波動的本質(zhì)，想象一下水塘之水波漣漪，圖 1（a） 所示的干涉花樣很容易定性理解。位于圍欄中心的“火炬”也是干涉的結(jié)果。

（6） 表面上那些單個 Fe 原子周圍也有類似物理過程：入射的表面態(tài)電子波與被 Fe 原子散射的電子波之間干涉，形成圍繞 Fe 原子的駐波，即如圖 1（a） 中紅色箭頭所指。

筆者愿意說，物理做到這個份上，感覺物理人就是在憑興致玩游戲。興趣所致，不亦樂乎！當然，圖 1 所示的圖樣是經(jīng)過后期仔細修飾和藝術(shù)化處理過，因此成為珍品。一開始發(fā)表在 Science 期刊上的圖像如圖 3 所示，顯得簡陋而暗淡，雖然物理成分一點也不缺。如果沿圖 2 上部圖像的黃色虛線進行 profile 線掃描，即得到圖 2 下部的高度分布曲線，表達了本征態(tài)密度的分布?？梢钥吹剑@種波動干涉效應不是個小信號，還是非常顯著的。

圖3. 量子圍欄本征態(tài)的空間圖像。上圖 A 的量子圍欄花樣即圖 1（a），其中黃色虛線為筆者添加，沿這一虛線線掃描，得到的態(tài)密度分布圖如下圖 B 所示?？梢钥吹?，圍欄中心原點處 （即火炬處） 態(tài)密度最高，然后沿半徑向外形成態(tài)密度振蕩，但振幅越來越小，顯示波動干涉效應變?nèi)?，態(tài)密度變低。From M. F. Crommie， C. P. Lutz， and D. M. Eigler， Science 262， 218 （1993）。

3. 量子尺寸效應

至此，筆者差不多炫耀完大約三十年前物理學的一項成果——量子圍欄及其對局域電子態(tài)密度的調(diào)控。這項開創(chuàng)性的工作開啟了利用量子圍欄研究量子尺寸效應的大門。

所謂量子尺寸效應，是量子世界最基本的效應之一。它描述的是這樣一種現(xiàn)象：當觀測對象的尺寸大小和載流子有效德布羅意波長可相比擬時，根據(jù)量子力學，這種情況下載流子能量會出現(xiàn)明顯的量子化現(xiàn)象，一系列量子化的物理性質(zhì)即表現(xiàn)出來。除了科學本身的意義之外，量子尺寸效應的應用背景乃與傳統(tǒng)硅基器件在超小型化過程中逐漸趨近標度極限有關(guān)。隨著器件向標度極限趨近，量子尺寸效應的重要性與日俱增，探索此效應亦能夠為信息處理和計算提供額外的可能性和可供選擇的構(gòu)架。

很顯然，研究量子尺寸效應最簡單的辦法即將研究對象做到很小，然后評估性能與尺寸之間的關(guān)系，看看其如何偏離傳統(tǒng)物理機制。不過，這樣的研究純粹是經(jīng)驗和間接的，無法直接和定量體現(xiàn)量子尺寸效應到底呈現(xiàn)什么時空特征。出路在哪里呢？雖然經(jīng)過日積月累，探測量子尺寸效應的手段和方法已經(jīng)有很多，但 STM 看起來正在成為最合適的手段之一：STM 掃描隧道顯微術(shù)不僅可獲得樣品表面 （通常是金屬和半導體） 原子級別的形貌，還可以提取它的局域態(tài)密度的時空信息。除此之外，STM 的另外一個獨具特色的功能——在樣品表面進行原子操縱——使得人們可以在樣品表面操縱原子來自由地構(gòu)造某些結(jié)構(gòu)，定量研究量子效應。

從這個意義上，量子圍欄就成為研究量子尺寸效應的擇優(yōu)對象之一類。原因無他，即 STM 配合量子圍欄，可以隨意制造各種量子尺寸效應的場景，然后實地表征量子圍欄中的各種量子干涉、糾纏、關(guān)聯(lián)和其他相關(guān)效應。技術(shù)上，這種研究只需 STM 一套、巧手一雙、有耐心的腦袋一枚，便可以在 Cu、Ag 等 （111） 面上按照 Go – Go – Go 的模式下圍棋，從而下出千萬種變化、千萬種潮流、甚至是宇宙流。

4. 囚禁于圍欄的量子

物理上，通常根據(jù)尺寸量子化的維數(shù)，將量子尺寸效應分為三類：

（1） 一維受限超薄膜 （指薄膜厚度方向）。

（2） 二維受限納米圍欄和島 （平面內(nèi)受限尺寸）。

（3） 三維受限量子點 （三維受限）。

一維薄膜中量子尺寸效應的實驗能夠追溯到 1966 年。當時發(fā)現(xiàn)在鉍 （Bi） 超薄膜中，電阻率、霍爾系數(shù)和磁電阻均呈現(xiàn)出厚度依賴的現(xiàn)象，而宏觀上這些性質(zhì)應該與厚度無關(guān)。此后，薄膜中量子尺寸效應被拓展到光學、相變、超導和磁性等領(lǐng)域。應用方面，薄膜量子尺寸效應能夠用來改變磁性薄膜層間耦合作用，并調(diào)控巨磁阻。對量子點中三維量子尺寸效應的研究始于 1980 年代末。量子點在醫(yī)學和屏幕顯示上均有廣泛應用。此外，在實現(xiàn)量子計算的道路上，量子點也提供了一種可供選擇的技術(shù)方案。至于二維平面量子受限效應的關(guān)注則與器件小型化有密切關(guān)聯(lián)，所以 IBM 這樣的商業(yè)公司才會對此頗感興趣。如圖 4 所示，筆者在這里將主要討論納米量子圍欄中的二維量子尺寸效應 ［1］。

如前所述，對量子圍欄尺寸效應的開創(chuàng)性研究除了圖 1 所示的電子態(tài)量子束縛，還有近藤共振的量子海市蜃樓效應。除此之外，量子尺寸效應也被用來引導原子擴散與自組織、控制統(tǒng)計漲落和調(diào)制近藤溫度。最近的研究工作表明，不依賴于近藤效應的量子海市蜃樓效應能夠在費米能附近較寬的能量范圍內(nèi)存在，引起廣泛關(guān)注。更重要的是，與近藤無關(guān)的量子海市蜃樓信號甚至能夠比原物態(tài)的信號更強，頗有些無中生有的味道?；谶@些優(yōu)點，物理人設想借助于操縱與近藤無關(guān)的量子海市蜃樓，可能實現(xiàn)基本邏輯門，例如“非門”、“扇出門”及“或門”等。這里有趣的思路是：海市蜃樓本來就是無中生有，現(xiàn)在竟然可以用無中生有來實現(xiàn)真實的功能，是否有海市蜃樓的感覺！

不妨來看幾個例子，看看物理人是如何用“海市蜃樓”來實現(xiàn)物理功能的。這些例子主要出自筆者過去若干年來的摸索性研究數(shù)據(jù)，雖然結(jié)果顯得還很簡陋和初步。

圖4. 納米量子圍欄中量子尺寸效應示意圖及關(guān)聯(lián)研究示意圖 ［1］。

4.1. 原子擴散

第一個例子是原子在圍欄內(nèi)擴散行為的量子限域效應。

表面物理很早就告訴我們，晶體表面如果存在一個原子，只要賦予其足夠動能，它就會在表面進行無規(guī)隨機行走。此為經(jīng)典原子擴散行為，類比于宏觀的布朗運動行為。怎么能夠在面心立方金屬 （111） 表面上的量子圍欄中實現(xiàn)擴散行為的觀測呢？最簡單直接的做法是：

（1） 選擇一個合適的金屬 （111） 表面。這里選擇 Ag 而不是 Cu 的 （111） 面作為表面；

（2） 選擇一個實驗溫度，一般是液氦溫度；

（3） 選擇一類金屬原子在 Ag （111） 表面構(gòu)建量子圍欄。注意，構(gòu)建圍欄的原子必須足夠穩(wěn)定，不能到處行走?？梢蕴暨x Fe 原子組建圍欄，因為 Ag （111） 表面上的 Fe 原子擴散勢壘較高，在液氦溫度下位置足夠穩(wěn)定；

（4） 選擇一類金屬原子作為擴散示蹤原子。這種原子在 Ag （111） 表面上應該很容易隨機擴散，即擴散勢壘很低。如 Gd 原子在液氦溫度下其表面擴散能力依然很強。

圖5. 用量子圍欄研究量子受限下的原子擴散。

（a） 單晶 Ag （111） 上由 32 個 Fe 原子構(gòu)建成的、直徑為 30 nm 的圓形圍欄。圍欄內(nèi)部的電子本征態(tài)密度振蕩分布 （即量子波動干涉所致的干涉環(huán)） 清晰可見 （見插圖），干涉環(huán)間距大約 3.8 nm，干涉環(huán)振幅由中心向外不斷減弱。（b） 兩個 Gd 原子 （兩個耀斑點即為其位置） 通過電子束蒸發(fā)沉積到圍欄內(nèi)，相距大約 7.0 nm。32 個 Fe 原子構(gòu)成的圍欄襯度清晰可辨。（c） 在不同時間內(nèi)隨機采集 500 多幅圖像，然后將這 500 幅圖像疊加起來，就形成了這兩個 Gd 原子的位置概率分布圖。這里，亮度越高表示此處 Gd 占據(jù)的概率越高。仔細辨認，可以看到 Gd 原子分布呈現(xiàn)三個圓環(huán)，越靠近 Fe 原子圍欄，圓環(huán)亮度越高。越靠近中心的圓環(huán)襯度越暗，難以分辨。（d） 在圍欄內(nèi)部放置 20 個 Gd 原子，一段時間后可以看到這些 Gd 原子會在靠近圍欄內(nèi)測形成一個不閉合的圓環(huán) （圖中用高亮的細線將環(huán)連起來，以便辨認；外側(cè)的藍線標識的是 Fe 原子圍欄）。結(jié)果來自文獻 ［Phys. Rev. B 87， 085415 （2013）］。

滿足了上述四個條件，就可以開始進行實驗了：

（1） 首先在 Ag （111） 表面上沉積若干 Fe 原子，并利用 STM 操縱 32 個 Fe 原子形成一個圍欄，如圖 5（a） 中的藍色圓環(huán)所標識。這個圍欄在實驗溫度下高度穩(wěn)定。

（2） 測量圍欄內(nèi)的本征態(tài)密度分布，即得到類似于圖 1（a） 的干涉花樣，其線掃描曲線作為插圖顯示。

（3） 在圍欄內(nèi)放置兩個孤立的 Gd 原子。不同時刻去探測它們時，它們的位置是不同的，顯示出它們在樣品表面行走，即擴散。某一時刻成像顯示于圖 5（b），其中的高亮點即為 Gd 原子，而圓環(huán)鏈狀的襯度即 Fe 原子圍欄。

（4） 在不同時間測量獲得 500 多幅 Gd 原子的位置圖像，并將它們疊加起來形成一幅位置概率分布圖，如圖 5（c） 所示?？梢钥吹絿鷻趦?nèi)三個鏈狀圓環(huán)襯度，越靠近 Fe 圍欄的鏈狀圓環(huán)襯度越高，表示 Gd 原子傾向于這個圓環(huán)位置。每個圓環(huán)上的襯度是分立的鏈狀，表示 Gd 原子最傾向于這些位置。

（5） 對應分析可見，F(xiàn)e 原子圍欄內(nèi) Gd 原子擴散的位置概率分布與圍欄內(nèi)電子局域態(tài)密度位置分布一一對應。

上述實驗清晰顯示，Gd 原子擴散行為受到了納米圍欄中二維量子尺寸效應的調(diào)控。靠近 Fe 圍欄的最外圈軌道處擁有最高的 Gd 原子擴散概率。

此時，如果有更多Gd 原子沉積到 Ag 襯底上，它們應該會優(yōu)先占據(jù)這個最外圈軌道并形成環(huán)狀結(jié)構(gòu)。為了驗證這一點，讓更多的 Gd 原子被沉積到納米圍欄中，并逐步降低樣品溫度，以最終“凍結(jié)”住 Gd 原子的隨機行走。確實，如預期的那樣，大部分 Gd 原子優(yōu)先占據(jù)靠近圍欄的最外圈軌道位置，形成了環(huán)狀原子結(jié)構(gòu)，如圖 5（d） 所示。如果繼續(xù)增加圍欄內(nèi)的 Gd 原子數(shù)目，將能形成理論預言的“量子洋蔥”結(jié)構(gòu)。

圖6. 三角形納米圍欄中的原子結(jié)構(gòu)。

（a） 三角形圍欄內(nèi)的費米能級附近局域電子態(tài)密度圖。（b） 三角形圍欄的方向?qū)?nèi)部 Gd 原子六角結(jié)構(gòu)方向的調(diào)控。注意到，這里的態(tài)密度分布呈現(xiàn)的三重對稱性并非源自 Ag （111） 面的 Ag 原子排列之六重對稱性排列，因為態(tài)密度分布圖中的振蕩周期 （特征尺度） 比 Ag （111） 面的原子間距大得多。（c） 取自文獻的幾個實驗觀測結(jié)果，顯示出圍欄對稱性對圍欄內(nèi)局域電子態(tài)密度形態(tài)的調(diào)控 。

4.2. 圍欄對稱性

如前所示的量子限制效應還可以通過更多花樣展示出來。這里的第二個例子是對稱性調(diào)控。通過構(gòu)建不同于對稱性的 Fe 原子圍欄，可以顯著調(diào)制圍欄內(nèi)的態(tài)密度形態(tài)。

實驗用 Fe 原子構(gòu)建了一個三角形的納米圍欄，如圖 6（a） 的三角形實線所標識?？梢钥吹?，體現(xiàn)量子尺寸效應的局域電子態(tài)密度分布也呈現(xiàn)出三角 （六重） 對稱性，完全不同于圓形圍欄的形狀。注意到，這里的六重對稱性可不是 Ag （111） 表面原子的六重對稱排列，因為其尺度差得遠了。這完全是波函數(shù)干涉的效果。

如果在圍欄內(nèi)沉積足夠多的Gd 原子后，經(jīng)過一段時間隨機行走和擴散，這些原子最終會排列成六重對稱性，形成六角超晶格結(jié)構(gòu)。再說一遍，這里的對稱性與 Ag （111） 表面原子的排列對稱性無關(guān)，因為如果我們改變?nèi)切渭{米圍欄方向的取向，其內(nèi)部由量子尺寸效應引起的局域態(tài)密度分布方位也會變化，導致隨后沉積其上的 Gd 原子六角結(jié)構(gòu)方向變化，如圖 6（b） 所示，奇妙之處自不待言！

在大量類似實驗之列，這兩個例子表明了納米量子圍欄內(nèi)的二維量子尺寸效應可以調(diào)控內(nèi)部原子的擴散和生長行為，可以用來構(gòu)建奇特的原子結(jié)構(gòu)。

4.3. 抑制統(tǒng)計漲落

我們在描述這兩個實例時，看起來好像駕輕就熟、像玩游戲似的。實際上，且不說搭建量子圍欄本身就很困難，往那么小的量子圍欄中沉積確定數(shù)目的 Gd 原子大概也是幾乎不可能的事情。既然如此，倒不如就另起爐灶，看看能不能順勢而為，關(guān)注一些可以關(guān)注的科學問題。

既然實驗無法精確控制圍欄內(nèi)部 Gd 原子準確數(shù)目，那就只好按照 Gd 沉積生長平均速率計算出生長時間來估算單位面積的 Gd 原子數(shù)，然后統(tǒng)計控制每個 Fe 原子圍欄內(nèi)的 Gd 原子數(shù)目。我們的實驗大概按照如下邏輯來實施：

（1） 在一個足夠大的 Ag （111） 樣品表面構(gòu)筑很多 Fe 原子圍欄，形成一個圍欄陣列，如圖 7（a） 中的圓環(huán)鏈狀圖案所示。當然，圍欄的直徑倒可以根據(jù)需要控制。

（2） 在表面沉積設定數(shù)目的 Gd 原子，然后對表面進行成像統(tǒng)計，看看每個圍欄內(nèi)有多少 Gd 原子。

（3） 的確，陣列中不同圍欄中存在的 Gd 原子數(shù)目有很大漲落，如圖 7（a） 所示。

（4） 如果圍欄尺寸足夠大、Gd 原子數(shù)足夠多，那圍欄內(nèi) Gd 原子數(shù)的漲落相對值就不顯著。隨著圍欄尺寸減小到直徑只有納米尺度，Gd 原子數(shù)少，漲落就非常顯著，如圖 7（a） 所示左下角的一個圍欄內(nèi)就是空的。

的確，由于量子圍欄構(gòu)建了一個很高的勢壘，圍欄內(nèi)的 Gd 原子即便找不到能量很低的位置，但也無法逃逸出圍欄，而外面的原子也無法偷渡越境進入圍欄。這才是 Gd 原子數(shù)展現(xiàn)巨大漲落的原因。那么怎么能夠抑制這種漲落呢？最簡單直接的方法便是將圍欄打開一個口子，允許自由進出，看看會是怎么樣的結(jié)果。

果然，如果構(gòu)建一個帶開口的圍欄陣列，情形就變得截然不同。留一個開口，就能實現(xiàn)圍欄內(nèi)原子數(shù)可控，也就是說能抑制統(tǒng)計漲落。如圖 7（b） 所示，所有圍欄內(nèi) Gd 的數(shù)目都是 3 個，意味著這個尺寸 （直徑 8.5 nm） 的圍欄內(nèi)就只能承載 3 個 Gd 原子存在。這是量子尺寸效應的絕妙體現(xiàn)，令人震懾，相關(guān)細節(jié)可參見文獻 ［Phys. Rev. B 90， 045433 （2014）］。

好！現(xiàn)在來看圍欄尺寸效應。采用不同直徑的開口圍欄，可實現(xiàn)不同 Gd 原子數(shù)目的定量捕獲，如圖 7（c） 所示。圍欄越大，能捕獲的 Gd 原子數(shù)目越多，這是其一。其二，圍欄內(nèi) Gd 原子傾向于排成正多邊形，并且存在四邊形和五邊形這樣的明顯不同于 Ag （111） 表面六角晶格的形狀，這也證明圍欄內(nèi)的量子尺寸效應。

為了進一步驗證定量原子捕獲的穩(wěn)定性，我們系統(tǒng)研究了開口圍欄直徑與捕獲 Gd 原子數(shù)的關(guān)系，如圖 7（d） 所示：Gd 原子數(shù)與 Fe 圍欄直徑呈臺階狀，并且較寬臺階給了較大圍欄直徑選擇空間和容錯性。很顯然，這樣漂亮的臺階結(jié)構(gòu)顯示了結(jié)果的顯著性，值得仔細回味。這里，令人疑惑的是圍欄捕獲 1、2、3、4、5、7 個 Gd 原子的情形都被觀測到，但捕獲 6 個 Gd 原子的情形沒有出現(xiàn)。也許可以這么來理解：如果 6 個 Gd 原子在圍欄內(nèi)形成了正六邊形，由于 Gd – Gd 原子之間是吸引勢，從能量上應該驅(qū)動第 7 個原子從圍欄外部進入到六邊形中心，使得體系總能量更低。

這一組結(jié)果表明至少兩點：

（1） 從實驗和理論上驗證了精確可控的原子捕獲歸功于開口圍欄中量子尺寸效應產(chǎn)生的自我調(diào)節(jié)過程：如果捕獲的 Gd 原子數(shù)不足，圍欄會自發(fā)地從外界捕獲原子。如果圍欄內(nèi)有了過多原子，則多余原子會被排斥而逃逸出去，從而實現(xiàn)圍欄定量捕獲原子的效應。

（2） 應用上，可利用不同直徑開口圍欄內(nèi)的二維量子尺寸效應來構(gòu)建單原子精度的原子結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)最大限度抑制原子數(shù)目統(tǒng)計漲落，實現(xiàn)局域結(jié)構(gòu)控制。

圖7. 量子圍欄中尺寸效應的漲落與抑制。

（a） Fe 原子封閉圍欄陣列及其內(nèi)部存在的 Gd 原子圖像，顯示原子數(shù)目巨大漲落，左下角的圍欄內(nèi)甚至沒有 Gd 原子。（b） Fe 原子的開口圍欄陣列及每個圍欄捕獲了等量的 Gd 原子 （3 個）。（c） 不同直徑開口圍欄內(nèi)的 Gd 原子排列，呈現(xiàn)出點、線、三角形、四邊形、五邊形和占心六邊形形態(tài)。圖中量子圍欄由小的實心亮點離散圓環(huán) （Fe 原子） 構(gòu)成、大的亮點為 Gd 原子。（d） 不同尺寸開口圍欄中捕獲不同數(shù)目原子的臺階狀依賴關(guān)系，注意沒有 6 個原子的臺階。詳細內(nèi)容參考文獻 ［Phys. Rev. B 90， 045433 （2014）］。

5. 近藤物理

行文至此的所有量子尺寸效應實驗，所關(guān)注的還只是量子圍欄中外來原子 （例如 Gd） 與 Ag （111） 表面態(tài)的相互作用。更深刻的物理研究工作還可以有很多，例如凝聚態(tài)物理中知名的近藤 （Kondo） 效應即屬其中之一。

近藤效應描述的是磁性雜質(zhì)的局域自旋與傳導電子之間的自旋相關(guān)散射。在近藤效應中，有一個特征溫度——近藤溫度，它能夠反映磁性雜質(zhì)的磁性狀態(tài)。這里為了方便說明問題，姑且假設磁性雜質(zhì)自旋 S = 1/2 （當然，近藤效應所描述的磁性雜質(zhì)自旋并不局限于 S = 1/2 ）。當系統(tǒng)溫度遠低于近藤溫度時，磁性雜質(zhì)與周圍傳導電子發(fā)生的自旋相關(guān)散射較強，形成一個多體效應的自旋單態(tài)，即 S = 0。通俗的理解亦可稱之為磁性雜質(zhì)自旋被屏蔽掉了。當系統(tǒng)溫度遠高于近藤溫度時，磁性雜質(zhì)與周圍傳導電子發(fā)生的自旋相關(guān)散射較弱，此時多體自旋單態(tài)無法形成，雜質(zhì)自旋依然存在。從這個意義上看，所謂“近藤溫度”也就是一個能量尺度，衡量了磁性雜質(zhì)局域自旋與傳導電子之間自旋相關(guān)散射的強弱。

也很顯然，如果我們可以有辦法調(diào)控傳導電子的濃度，也就可以調(diào)控此類自旋相關(guān)散射。電子濃度越高，就越容易屏蔽磁性雜質(zhì)的自旋。這就是物理人經(jīng)常討論的“磁性雜質(zhì)的自旋屏蔽與費米能級處的電子濃度 （也就是態(tài)密度） 密切相關(guān)”的通俗說辭。換句話說，近藤溫度必定與樣品的費米面處態(tài)密度密切相關(guān)：態(tài)密度越高，則近藤效應中的近藤溫度就越高。調(diào)控態(tài)密度，即可調(diào)控近藤溫度。

這里的物理已經(jīng)呼之欲出：納米量子圍欄正好可以調(diào)控圍欄內(nèi)費米面處的電子態(tài)密度，對吧？！所以，納米量子圍欄正好可以調(diào)控近藤系統(tǒng)的近藤溫度，對吧？！

在實驗測量上，低溫掃描隧道顯微鏡則提供了一種研究近藤效應的有效手段。由于磁性雜質(zhì)與傳導電子的散射產(chǎn)生了一種共振現(xiàn)象即近藤共振，近藤效應使得在磁性雜質(zhì)上方測得的隧道譜在費米能級附近呈現(xiàn)出具有一定寬度的峰或谷，其寬度反映了近藤溫度的高低。

具體到一個有限尺寸體系而言，其費米態(tài)密度就有體態(tài)費米態(tài)密度與表面態(tài)費米態(tài)密度之分。利用體態(tài)密度來調(diào)控近藤溫度的物理已眾所周知，然而表面態(tài)是否與近藤效應密切聯(lián)系，或者說表面態(tài)是否參與近藤效應調(diào)控卻并不明確。這一問題歷史上曾經(jīng)有過一段時間的爭議。

看君閱到此處，應該更加明了用量子圍欄來研究近藤效應的價值：因為圍欄內(nèi)的量子尺寸效應就是針對表面態(tài)密度的，所以這樣的研究有望澄清表面態(tài)密度是不是與近藤效應有密切聯(lián)系，或者說表面態(tài)密度能不能參與調(diào)控近藤效應。這樣的一個物理系統(tǒng)，可以算是踏破鐵鞋無覓處，似乎就是為了研究表面態(tài)物理而生的。

我們高興的是，這一爭議不久前得到消解，詳細結(jié)果可參見文獻 ［Phys. Rev. B 97，035417 （2018）］。這里，我們只給出簡潔的描述：

（1） 構(gòu)建一個系統(tǒng)：在足夠大的 Ag （111） 表面構(gòu)建不同的 Co 原子圍欄，如圖 8（a） 和 （b） 所示。其中 （a） 中的圍欄中心有一個 Co 原子，（b） 中就沒有。這樣的兩個系統(tǒng)，中心有原子的即形成一個近藤體系，中心空的圍欄即不是。

（2） 現(xiàn)在對 （a） 中圍欄中心的 Co 原子實施 STM 隧道譜測量，得到隧道譜的近藤共振寬度 w （量綱為 meV，除以玻爾茲曼常數(shù)即得近藤溫度）。針對一系列不同尺寸 （半徑為 r ） 的圍欄，測量其中心 Co 原子的近藤溫度 w，得到 w 與 r 的關(guān)系，如圖 8（c） 所示?？梢钥吹?，w （r ） 呈現(xiàn)的是一條衰減振蕩曲線。

（3） 針對圍欄中心沒有 Co 原子的情況，即不存在近藤效應的情況，可以測量費米能級處的掃描隧道譜，提取其 dI / dV 數(shù)據(jù)，也就是表面態(tài)密度的高低。測量發(fā)現(xiàn)，dI / dV 數(shù)據(jù)與 r 有類似形狀的衰減振蕩關(guān)系，如圖 8（d） 所示。

（4） 兩者的相似性毫無疑義地證明表面態(tài)密度對近藤共振有調(diào)控作用。

圖8. 納米圍欄對近藤共振寬度 w 的調(diào)制。

圖 （a） 和 （b） 分別為中心有 Co 原子和中心沒有 Co 原子的 Co 原子圍欄之 STM 形貌圖。（c） 圍欄中心 Co 原子的近藤共振寬度 w 隨圍欄半徑 r 的依賴關(guān)系。（d） 中心為空的 Co 原子圍欄的局域表面態(tài)密度 （費米能級處的掃描隧道譜 dI / dV 與圍欄半徑 r 的關(guān)系。紅色曲線是擬合結(jié)果。參考文獻 ［Phys. Rev. B 97， 035417 （2018）］。

6. 量子邏輯門

最后，我們展示量子圍欄的一類可能的應用，或者說展示一個基于量子圍欄的量子信息原型器件。設計并制造這樣的器件，使之能夠工作和實用，才是我們物理人對消費納稅人勞動的回報。

納米圍欄中的量子尺寸效應并非只是陽春白雪，可以用來構(gòu)造原子層次的邏輯門器件。這一器件正是基于上一節(jié)的“近藤系統(tǒng)”延伸出來。Manoharan 等人在 2000 年左右觀測到誘人的近藤共振量子海市蜃樓現(xiàn)象，展示了納米尺度下信息傳輸?shù)目赡苄?。然而，基于近藤效應的量子海市蜃樓只存在于費米能附近。最近，實驗觀測到，不依賴于近藤效應也可以構(gòu)造出量子海市蜃樓，且這一效應有相對較高的信息傳輸效率、能在一個較寬能量范圍內(nèi)進行操控。利用這些優(yōu)點，原子尺度下的邏輯門就成為可能，諸如“非門”、“扇出門”與“或門”即可構(gòu)建出來。詳細內(nèi)容可見文獻 ［Nature Commun. 11， 1400 （2020）］。

這里的設計思路如下：

（1） 橢圓型圍欄的焦點作為信息輸入和輸出端，其中輸入 “1” / “0” 對應于橢圓納米圍欄的一個焦點處原子“有”/“無”，而輸出 “1” / “0” 則通過另外一個焦點處誘發(fā)的量子蜃樓之掃描隧道譜強度高/低值來表現(xiàn)。

（2） “非門”是一個兩端結(jié)構(gòu)，正好對應著橢圓納米圍欄中的反轉(zhuǎn)量子海市蜃樓。

（3） 要實現(xiàn)“扇出門”和“或門”，需要構(gòu)造一個三端結(jié)構(gòu)。這種三端結(jié)構(gòu)也許有很多方案來構(gòu)建，但最簡單的方案是通過組合兩個橢圓圍欄來實現(xiàn)，這兩個橢圓共用一個焦點，從而構(gòu)成一個啞鈴型的圍欄。圖 9（a） 所示即為這一概念下的“扇出門”，其中兩個橢圓圍欄的共同焦點 A 處原子“無” / “有”分別對應著輸入 “0” 和 “1” ，如圖 9（a） 顯示 A 處“無”，如圖 9（c） 顯示 A 處“有”。而輸出的分別是焦點 B 和 C 處的掃描隧道譜數(shù)值大小，如圖 9（b） 和 9（d） 所示。當 A 處沒有原子時 （輸入為 “0”），輸出 B 和 C 處的掃描隧道譜值很低 （輸出為 “0”）；當 A 處有原子時 （輸入為 “1”），輸出 B 和 C 處的掃描隧道譜值很高 （輸出為 “1”）。這樣，輸出與輸入滿足“扇出門”函數(shù)關(guān)系。

（4） 把輸入和輸出的位置交換時，即能得到“或門”。

需要指出，作為一個器件原型，這里展示的開關(guān)信號邏輯閾值大約是 1.5，比真實器件的值要小很多。但是，這一比值可通過以下幾種方法來提高：這里的實驗包含了體態(tài)貢獻的常數(shù)背景，它嚴重地降低了開關(guān)信號比。如果在一個體態(tài)很低甚至沒有體態(tài)貢獻的體系中進行實驗，有望得到更高的開關(guān)信號比。此外，傳遞函數(shù)的幅值依賴于表面態(tài)態(tài)密度與雜化能；當這兩項的強度增加時，也能夠得到一個更高的開關(guān)信號比。

圖9. “扇出門”器件的構(gòu)造與工作。

器件由兩個橢圓形量子圍欄疊加而成，它們具有一個共焦點，形成一個特定的啞鈴型圍欄或稱共焦橢圓圍欄。（a） 空的共焦橢圓圍欄 STM 形貌圖；（b） 相應的 dI/ dV 譜圖；（c） 共同焦點 A 處有一個 Fe 吸附原子時，對應的 STM 形貌圖；（d） 相應的 dI / dV 譜圖。橢圓尺寸為 a = 6.6 nm， e = 0.7。橢圓圍欄焦點由虛線圓圈標出，其中黑色表示 1、白色表示 0。來自文獻 ［Nature Commun. 11， 1400 （2020）］。

7. 展望

行文至此，筆者對看君表示謝意，辛苦您堅持閱讀到這里。

本文對近十年來納米圍欄中的量子尺寸效應作了簡單而不是很嚴謹?shù)幕仡?。納米圍欄中量子尺寸效應的本質(zhì)是吸附在基底表面的原子能夠?qū)Ρ砻骐娮討B(tài)進行散射。由吸附原子構(gòu)成的圍欄能夠?qū)㈦娮討B(tài)束縛在圍欄內(nèi)，使得圍欄內(nèi)態(tài)密度出現(xiàn)振蕩。眾所周知，電子體系的絕大部分性質(zhì)由其電子態(tài)密度決定，尤其是費米能附近的態(tài)密度。因此，除了原子擴散與自組織、原子捕獲和近藤效應，可以期待更多與態(tài)密度有關(guān)的量子現(xiàn)象在納米圍欄中呈現(xiàn)。

利用 Fe 原子在 Ag （111） 表面搭建的橢圓量子圍欄，可以展現(xiàn)吸附原子與近藤無關(guān)的量子蜃樓，并可進行一些基本邏輯操作。那么，不禁要問，還有沒有其它體系能夠展現(xiàn)出量子蜃樓現(xiàn)象并進而實現(xiàn)基本邏輯操作呢？有的！應用的問題是大事，值得再啰嗦幾句，以作為本文的結(jié)語：

（1） 第一類，利用磁性原子在超導基底表面搭建橢圓量子圍欄。

如前所述，實驗已觀察到了與近藤效應無關(guān)的量子蜃景，并揭示了其物理機制。這意味著，只要具有特征譜的原子，能被襯底表面電子散射，都應該具有量子蜃景現(xiàn)象。例如，磁性原子在超導襯底表面會有一個特征譜 （超導能隙內(nèi)），即 Yu – Shiba – Rusinov （YSR） 態(tài) ［2 - 4］。早在 2004 年，Morr 等人從理論上給出了磁性雜質(zhì)在超導襯底表面的量子蜃樓預言 ［5］。然而，目前尚無實驗來證實該理論預言。從實驗角度來說，超導能隙一般只有幾個毫電子伏。要想在這么小的能量范圍內(nèi)探測 YSR 態(tài)，需要有足夠低的溫度。事實上，目前的實驗技術(shù)已經(jīng)成功探測到了 YSR 態(tài) ［6］，甚至自旋分辨的 YSR 態(tài)也已經(jīng)被觀察到 ［7］。所以，對于磁性雜質(zhì)在超導體表面的量子蜃樓的觀測也指日可待了。

（2） 第二類，利用磁性原子在拓撲絕緣體表面搭建橢圓量子圍欄。

實驗上制備拓撲絕緣體實際上是最近十多年的事 ［8， 9］。2014 年，Loptien 等人首次在拓撲絕緣體 Bi2Se3 （111） 表面上用 Rb 原子搭建了一個量子圍欄 ［10］。Loptien 等人的工作表明，在拓撲絕緣體上構(gòu)造量子圍欄是完全可行的。但由于 Rb 原子是非磁原子，對表面態(tài)電子散射作用非常弱。如果改用磁性原子來構(gòu)造量子圍欄，其散射作用會比較強，并且對表面態(tài)電子的自旋向上和自旋向下的散射作用不一樣。因此，還可以得到自旋分辨的相關(guān)信息。此外，F(xiàn)e 原子在 Bi2Se3 （111） 表面還具有特征譜 ［11］。這些都為觀察量子蜃樓創(chuàng)造了條件。

（3） 第三類，在二維材料表面搭建橢圓量子圍欄。

二維材料是近年來十分熱門的材料，因其所展現(xiàn)出來的巨大的應用前景。石墨烯是一種典型的二維材料。在此，我們設想能否對石墨烯單原子空位進行調(diào)控，并利用其空位構(gòu)造一些人工結(jié)構(gòu)，比如橢圓量子圍欄。如果該技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)，那將是一個很大的進步。如果不考慮實驗技術(shù)難題，利用石墨烯空位觀察量子蜃景的可行性如下：（i） 空位能對二維電子進行散射；（ii） 空位具有特征譜，即在費米能附近有一個很強的峰 ［12］。其它二維材料可能也具有類似的性質(zhì)。最后，二維材料在這個方面還有很大的開發(fā)空間。

參考文獻

［1］ 本文主要內(nèi)容來源于 Quantum size effect in nano corrals： From fundamental to potential applications， Appl. Phys. Lett. 117， 060501 （2020）， https://doi.org/10.1063/5.0015542。涉及到的相關(guān)文獻均可從中找到，其中沒有的文獻則在此單獨給出。

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編輯：lyn