信號(hào)與系統(tǒng)中卷積分析和總結(jié)

“卷積”是信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析中的一個(gè)重要內(nèi)容。本文對(duì)此知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)的分析和總結(jié)，并給出了多道例題及詳細(xì)解答。

（一）常用信號(hào)的卷積表

首先，將常用信號(hào)的卷積、以及卷積的性質(zhì)整理成表格，這些信號(hào)的卷積，需要熟練掌握其計(jì)算方法，并且要記住結(jié)果。為了方便大家對(duì)比，幫助理解和記憶，我把連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積積分與離散時(shí)間信號(hào)的卷積和放在同一張表格中。

（二）卷積的計(jì)算

卷積的計(jì)算方法有以下幾種：

定義法；

性質(zhì)法；

圖解法；

豎式法（卷積和）

需要注意的是，這幾種計(jì)算方法，不是孤立的，經(jīng)常需要結(jié)合運(yùn)用。

例題1：

【分析】

這是一道填空題，如果不給題設(shè)中的條件，也可以直接計(jì)算出結(jié)果，但既然已經(jīng)給了題設(shè)的條件，就不需要利用公式再去求解計(jì)算，而只需要利用卷積的時(shí)移特性。

【解答】

例題2：

【分析】

此題是一道典型的求解卷積積分的題目，一個(gè)有限長(zhǎng)信號(hào)與一個(gè)單邊信號(hào)卷積題目難度不大，屬于基本題?？梢灾苯永镁矸e積分的定義式計(jì)算，也可以利用圖解法。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結(jié)】

有限長(zhǎng)信號(hào)或者單邊信號(hào)卷積，關(guān)鍵是判斷被積函數(shù)公共的非零區(qū)間。

結(jié)果通常為分段函數(shù)，可以寫成分段的表示形式，也可以利用階躍信號(hào)，寫成一個(gè)表達(dá)式。

例題3：

【分析】

此題也是一道典型的卷積積分計(jì)算題，與例題2類似之處是，也是一個(gè)有限長(zhǎng)信號(hào)與一個(gè)單邊信號(hào)卷積。但例題2中為右邊信號(hào)，而此題中為左邊信號(hào)。與例題2相比，難度稍大。此題可以直接從定義式出發(fā)計(jì)算，也可以利用圖解法計(jì)算。正確解題的關(guān)鍵是：判斷被積函數(shù)的共同的非零區(qū)間。

【解答】

f(t) 的圖形如下圖：

當(dāng)然，最終結(jié)果也可以寫成閉合表達(dá)式：

或者也可以寫為：

例題4：

【分析】

此題是一道典型的離散卷積和計(jì)算的題目?？梢岳镁矸e和的定義式計(jì)算，也可以利用 z 變換來求解。

【解答】

方法一：利用卷積和的定義式計(jì)算

注意，上圖中，（1）式和（2）式中的邊界條件，即可以寫成n＞2和n≤2，也可以寫成n≥2和n＜2，這樣，寫成閉合表達(dá)式就有兩種形式，這兩種形式的答案，實(shí)質(zhì)是相同的。

方法二：利用 z 變換的方法。

注意，利用z變換來求解，一定要寫清楚收斂域，否則計(jì)算反變換時(shí)容易出錯(cuò)。

【總結(jié)】

（1）右邊序列與左邊序列的卷積和，結(jié)果為雙邊序列；

（2）卷積和的最終結(jié)果，通常有多種不同的形式，但形式不同，本質(zhì)相同。

例題5：

【分析】

這是一道很有趣的題目。需要用卷積的一些基本概念進(jìn)行靈活分析，而不是死記硬背式的計(jì)算。

考察卷積的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：第一個(gè)，兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度與卷積得到的序列長(zhǎng)度之間的關(guān)系；第二個(gè)，卷積的豎式法。

【解答】

根據(jù)題意，序列 x(n) 共10個(gè)點(diǎn)，記為 L1 = 10；序列 h(n) 共 N+1 個(gè)點(diǎn)，記為 L2 = N+1。則卷積結(jié)果 y(n)的長(zhǎng)度 L = L1 + L2 - 1 =N+10。

序列x(n)在 n = 0~9 內(nèi)函數(shù)取值均為1，h(n) 在 n=0~N內(nèi)函數(shù)取值均為1，而 y(14)等于0，說明序列 y(n) 的長(zhǎng)度不大于14，即：

L= N+10≤ 14，即 N≤4

再根據(jù) y(4)= 5，結(jié)合豎式法，可以推斷：N = 4。驗(yàn)證如下：

【總結(jié)】

（1）在解決有限長(zhǎng)序列的卷積時(shí)，豎式法經(jīng)常是一種簡(jiǎn)單的方法；

（2）兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積，卷積結(jié)果也是有限長(zhǎng)的，其長(zhǎng)度等于兩個(gè)序列的長(zhǎng)度之和減1。

例題6：

已知 x(t)*h(t) = y(t)，證明

x(-t)*h(-t) = y(-t)。

【分析】

此題有兩種方法，第一種方法是，直接利用卷積的定義式證明；第二種方法是，利用傅里葉變換來證明。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結(jié)】

（1）注意在運(yùn)用卷積定義式時(shí)，注意下面兩個(gè)式子，第一種寫法對(duì)，第二種寫法錯(cuò)：

（2）采取此題方法，可以得出以下結(jié)論：

x(at)*h(at)=1/|a|×y(at)

（三）卷積的物理含義

卷積的存在，有它的特殊意義，卷積之所以在信號(hào)與系統(tǒng)課程中如此重要，正是因?yàn)樗奈锢砗x：

卷積，揭示了LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入信號(hào)、系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之間的關(guān)系，即：

零狀態(tài)響應(yīng) = 輸入信號(hào) * 系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)

例題7：

【分析】

此題需利用卷積的物理含義進(jìn)行分析。有兩種方法。

【解答】

方法一：利用單位沖激響應(yīng)的概念，令輸入信號(hào) x(t) 等于單位沖激信號(hào)，帶入積分式中，則得到 h(t)。

方法二：利用卷積的概念，將題目中的積分式與卷積公式對(duì)照，得出 h(t)。

例題8：

【分析】

此題用到的知識(shí)點(diǎn)：

（1）串聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，等于各個(gè)分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之卷積，并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，等于各個(gè)分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之和；

（2）積分器的單位沖激響應(yīng)就是 u(t)；

（3）單位階躍響應(yīng) s(t) 與單位沖激響應(yīng) h(t) 之間的關(guān)系為：h(t) 是 s(t) 的微分，s(t) 是 h(t) 的積分。

【解答】

（四）后續(xù)章節(jié)中與卷積相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

卷積在信號(hào)與系統(tǒng)課程中扮演著重要角色，除了時(shí)域分析之外，在課程后續(xù)章節(jié)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，都有卷積的身影。大家一定要靈活處理。例如：

（1）一個(gè)域相乘，另外一個(gè)域卷積

（2）周期沖激串的傅里葉變換

（3）周期信號(hào)的傅里葉變換與主周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

（4）時(shí)域/頻域抽樣

（5）單邊周期信號(hào)的拉氏變換、單邊周期序列的 z 變換

另外，在數(shù)字信號(hào)處理課程中，也要用到卷積的概念，例如：DFT分析信號(hào)頻譜、窗函數(shù)法和頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器、脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器等。

由于篇幅關(guān)系，就這個(gè)問題不再展開。