一文搞懂電路的極點和零點

單端口電路的自然響應

我們來看圖1中的無源線性單端口電路，它包括電阻、電容和電感。

圖1：（a）無源單端口電路 （b）自然（或無源）開路響應vn(t)。

如果我們施加一個測試電流 I（s），單端口電路將產生電壓 V（s），使得 V（s）=Z（s）I（s），其中I（s）和V（s）是所施加電流和所產生電壓的拉普拉斯變換，s是以1/sec為單位的復數頻率。阻抗Z（s）是s的有理函數形式，即分子多項式N（s）與分母多項式D（s）的比值：

公式N（s）=0的根被稱為Z（s）的零點，表示為z1，z2，……；而公式D（s）=0的根被稱為Z（s）的極點，表示為p1、p2、……極點和零點統(tǒng)稱為根，也稱為臨界頻率。例如，阻抗：

當s=0時，其值為零；當s=-3±j4時，它具有復共軛極點對。可以用根來表達它，即：

如果我們繪制|Z（s）|相對于s的幅度曲線，則可以直觀理解零點和極點的含義。所得到的曲線就好像在s平面上豎起的帳篷，在零點處接觸s平面，而在極點處其高度變?yōu)闊o限。

圖2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度圖。（通過在虛軸上計算|Z|獲得的分布曲線圖顯示出單端口電路的交流響應。）

為了找到極點的物理感覺，我們在s接近極點pk時施加電流I（s），就可以用相當小的I（s）獲得給定的電壓V（s）。s越接近極點pk，獲得給定電壓V（s）所需的電流I（s）越小。在s→pk的極限狀態(tài)下，即使電流為零，即開路，單端口電路也會獲得一個非零的供電電壓（見圖1b）！這個電壓稱為自然響應或無源響應，因為單端口電路可利用儲存在其電容和電感內部的能量來產生電壓。這些能量在電阻中消耗盡了，在無源單端口的情況下，它們將隨時間呈指數級衰減。實際上，系統(tǒng)理論預測到自然響應符合以下表達式：

其中a1，a2，……，是取決于存儲能量的合適系數（以V為單位），Z（s）的極點是指數中時間常數的倒數。

那么Z（s）的零點呢？我們來看圖3，它表示圖1的兩種情況?，F在施加的信號是電壓V（s），而響應是電流I（s）=[1/Z（s）]V（s），這表明Z（s）的零點現在成為1/Z（s）的極點。通過雙重推理，在s→zk的極限狀態(tài)下，即使施加零電壓（短路），單端口電路也將提供非零電流（參見圖3b）！該電流稱為自然響應或無源響應，因為單端口電路利用儲存在其電容和電感內部的能量來產生電流。系統(tǒng)理論預測自然短路電流響應符合以下表達式：

其中b1，b2，……，是取決于存儲能量的合適系數（以安培為單位），Z（s）的零點是指數中時間常數的倒數。

圖3：（a）無源單端口電路（b）自然（或無源）短路響應in(t)。

總而言之，單端口電路的自然響應由其阻抗Z（s）的根控制：極點控制開路電壓響應vn（t），而零點控制短路電流響應in（t）。在某種程度上，根就像是單端口電路的DNA。例如，我們來看圖4的單端口電路。在t=0時，電容兩端的電壓為9V，頂部為正，t>0時它的自然響應是什么？可以看出單端口電路呈現的阻抗是：

顯然，z1=–1/（R1C）=-1/（10ms），p1=-1/[（R1+R2）C]=-1/（30ms）。此外，a1=[20/（10+20）]9=6V且b1=9/10=0.9mA。所以：

圖4：找出（a）開路和（b）短路的自然響應。

單極點控制

在圖5a的電路中，由vn表示的節(jié)點和地之間的阻抗為Z（s）=R||（1/sC）=R/（1+sRC），因此在s=-1/（RC）=-1/（1ms）時電路具有一個極點。假設vn（0）=1V，我們可以得到：

圖5：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點。

無論怎樣選擇R和C的值，該電路的極點將始終為負。我們希望找到控制它的方法，以便將其驅動為零甚至使其成為正的。圖5b示出的電路可以完成這項工作。非反相放大器檢測vn并輸出電壓：

（1 + R2/R1）vn = （1 + k）vn

k = R2/R1

其中R2代表電位器在其左端和游標之間的部分。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標將使k在0

對于給定的元件值，我們有Req=（10kΩ）/（1–k），因此極點位置現在為s=-1/（ReqC）=-（1–k）/（1ms），公式（4）變?yōu)椋?/span>

我們討論一下電路作為游標設置函數的工作原理，使用圖6中的PSpice電路來顯示隨后的自然響應類型。

當游標一直向左（k=0）時，R3上的電壓降為零，因此R3帶有零電流，C通過R放電，時間常數為1ms，如公式（4）所示；

將游標向右移動時，R3將電流提供給C，只要該電流小于R汲取的電流，C仍然會呈指數放電，但速度比k=0時要慢；

當游標處于中間（k=1）時，R3輸出的電流等于R汲取的電流，電容的凈電流為零，因此電容電壓保持恒定；

將游標進一步向右移動（k>1），使得源電流大于汲取電流，因此C呈指數充電，從而產生不同的響應，直到運放飽和。

圖6：PSpice電路顯示不同k值的自然響應，假設電容最初充電電壓為1V。

圖7描繪了隨k變化的極點位置。

圖7：極點軌跡是k的函數。

極點對控制

在圖8a的電路中，干擾產生自然響應vn（t）的阻抗是：

D（s）的階數表明我們現在有一個二階系統(tǒng)。對于這樣的系統(tǒng)，D（s）通常以更方便的形式表達：

其中ζ稱為阻尼比，ω0稱為無阻尼固有頻率。設D（s）=0，可以得到極點對：

比較公式（8）和（9），我們發(fā)現圖8a的電路具有：ζ=1.5和ω0=1/（RC）=1/（1ms）。代入公式（10）得到極點對p1=-1/（0.3818ms），p2=-1/（2.618ms），表示vn（t）由一對指數衰減組成，因為電阻消耗了存儲在電容中的電能。

為簡單起見，假設圖8a的RC對完全相同。可以看出，無論我們怎樣選擇元件值，該電路的極點將始終為負實數。

圖8：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點。

我們希望可以找到方法來控制它們在復平面上的位置，以便將它們放置在虛軸上，甚至使它們溢出到復平面的右半部分。圖8b示出了可完成這項工作的電路。其中最左邊的電容被提升離地，由一個非反相放大器驅動，該放大器檢測到vn并輸出電壓（1+R2/R1）vn=（1+k）vn，k如公式（5）所示。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標將使k在0

使用熟悉的電路分析技巧，我們發(fā)現干擾產生自然響應vn（t）的阻抗為：

表明2-k=2ζ，或：

ω0=1/（RC）=1/（1ms）。我們來討論電路隨游標設置變化的工作原理，同樣，使用圖9a的PSpice電路來顯示隨后的自然響應類型，如圖9b所示。

隨著游標一直向左滑動（k=0），可以得到ζ=1。公式（10）得到重合的極點對p1=p2=-1/（1ms）。在這種情況下，系統(tǒng)理論預測該類型的自然響應為：

其中a和b是適合的系數，取決于t=0時存儲在電容中的能量。如圖9b所示，在初始浪涌之后，自然響應呈指數衰減至趨于零。

設k=2，得到ζ=0，所以公式（10）預測純虛極點對p1,2=±j103，其中j是虛數單位（j2=-1）。使用歐拉公式exp（jα）+exp（–jα）=2cosα，可以看出自然響應現在采用這種形式：

圖9：PSpice電路顯示對應于不同k值的自然響應，假設在t=0時，Ca充電到1V，Cb放電。

其中a和φ是適合的系數，取決于t=0時存儲在電容中的能量。其結果是持續(xù)振蕩，也稱為無阻尼振蕩（因此稱為ω0）。物理上，運算放大器注入單端口電路的能量等于端口電阻消耗的能量，這讓電容以某種乒乓方式交換能量。

●對于0ζ>0，所以現在公式（10）可以預測一對復共軛極點。例如，當k=1.5時，由公式（12）得到ζ=0.25，因此由公式（10）得到：

代入公式（2），合并，并再次使用歐拉公式，將得到自然響應公式：

其中a和φ是適合的系數，取決于t=0時存儲在電容中的能量。

如圖9b所示，對于k=1.5，電容仍然以乒乓方式開始交換能量，但是該能量逐漸被電阻消耗，從而產生阻尼振蕩。

●將k提高到2以上，使運算放大器注入的能量超過端口電阻可以消耗的能量，引起發(fā)散振蕩，如圖9b中k=2.1所示。振蕩將持續(xù)增長到運算放大器飽和為止。

圖10示出了隨k變化的根軌跡。總而言之，無源電路的極點位于復平面的左半部分。為了使它們溢出到右半平面，我們需要一個有源元件，例如示例中的運算放大器，從自己的電源端獲取能量并將其注入單端口電路。右半平面的極點導致發(fā)散的響應，最終使放大器飽和。

圖10：（a）作為k的函數的根軌跡（b）在阻尼響應狀態(tài)下的極點對。

一個流行應用

我們的電路控制極點對位置的能力可用于產生持續(xù)的正弦波。為此，它需要滿足兩個條件。

●為了可以自己啟動，電路的初始配置必須使其極點對位于復平面的右半部分（k>2.0）。

圖11：在虛軸上放置并保持一對極點，以產生正弦波。

即使兩個電容最初都放電，運算放大器的一點噪聲輸入就足以觸發(fā)不斷增長的振蕩。

●一旦振蕩達到所需幅度，就必須采取一些機制進行干預，以防止其進一步增長，并將其保持在該幅度。這需要將極點對放置在虛軸（k=2.0）上，并自動保持極點在其上，不管元件老化和漂移，或者任何其它干擾。

在圖11a中，電源接通時，兩個二極管仍然關閉，因此k=R2/R1=22/10=2.2，表明振蕩增加。隨著振蕩的增加，二極管在交替的半周期內逐漸導通，所以k=[R2||（R3+rd）]/R1，其中rd是動態(tài)二極管電阻（rd隨二極管電流而減小）。在rd《R3的極限情況下，我們將得到k=（22||100）/10=1.8，表示電路可在1.8

假如由于某種原因實際幅度超過期望值，rd將減小并導致k降至2.0以下，從而抵消幅度上升。相反，如果幅度降至所需值以下，rd將增加并使k上升到2.0以上，從而抵消幅度下降?？傊挥衚=2.0時電路才能找到它的“和平”狀態(tài)。