既有大小又有方向的量,稱為向量,同學(xué)們在學(xué)習(xí)這一部分數(shù)學(xué)知識時,似乎感到困惑:向量到底有什么用?今天,小編就和大家來聊一聊向量.
1 力與向量
向量的英文是,中國的物理學(xué)家們在清末民初時期引進西方科學(xué)概念時將“”稱為“矢量”,至今向量與矢量兩種譯名共存,究其原因,早期的向量只是物理學(xué)專門用來表示力和速度等“既有大小又有方向”的物理量的工具,并不為數(shù)學(xué)家們所重視,因此“矢量”的譯名一度流行.
實際上,力作為向量最常見的實例有著十分古老的淵源.大約在公元前350年,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的合力可用平行四邊形法則得到,隨后古希臘數(shù)學(xué)家海倫則給出了該法則的幾何證明.
力的合成
在現(xiàn)實生活中,處處有“力的平行四邊形法則”,比如中國古代的“駟馬車”,可以直觀地依據(jù)平行四邊形法則觀察到這樣的合力.
古希臘之后的1500多年,經(jīng)過了漫長又黑暗的中世紀,向量的知識都沒有什么太大的變化.牛頓在其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中總結(jié)了前人的智慧,論述了力、速度等物理量作為矢量如何進行運算,其本質(zhì)還是向量的平行四邊形法則.可見,這點向量知識,形不成多少有意義的數(shù)學(xué)問題,不能發(fā)展成一個獨立的學(xué)科,因此數(shù)學(xué)家們并沒有重點將向量作為對象進行深入地研究.
2 復(fù)數(shù)與向量
直到19世紀,事情開始發(fā)生變化,“復(fù)數(shù)”在向量的發(fā)展中充當(dāng)了催化劑.
數(shù)學(xué)家韋塞爾和阿爾岡發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)的幾何表示,這是一個具有劃時代意義的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),隨后德國數(shù)學(xué)家高斯建立了復(fù)平面的概念,從而使得平面向量與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)起來.向量可以表示為一組有序?qū)崝?shù)對,這與復(fù)平面中的復(fù)數(shù)是一致的.
復(fù)數(shù)——數(shù)的最后樂章
當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們想到,復(fù)數(shù)可以看作“二維向量”,那么單個實數(shù)就可以看作“一維向量”,同理,一定也還有“三維向量”、“四維向量”,乃至“維向量”.
于是,愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓首先研究了“四元數(shù)”:
這種具有4個分量的數(shù)具有諸多神奇的性質(zhì),它構(gòu)成的數(shù)系能夠進行加減乘除四則運算,但是美中不足的是要放棄乘法交換律.
盡管如此,這一偉大的發(fā)現(xiàn)引起了又一位大牛的注意,代表著19世紀物理學(xué)重要發(fā)展方向的著名物理學(xué)家麥克斯韋對四元數(shù)情有獨鐘,他對于四元數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用使人們逐步認識到用向量處理物理問題的必要性.
麥克斯韋在其著作《電磁通論》的緒論中寫道:
“
對于物理推理的許多目的來說,不同于計算,有必要避免明確地引入笛卡爾坐標,并把注意力固定在一個空間點上而不是在它的3個坐標上,固定在一個力的大小和方向上而不是它的3個分量上.這種考慮幾何量和物理量的模式比另一種模式更原始、更自然,盡管與它相聯(lián)系的那些概念直到哈密頓通過發(fā)明他的四元數(shù)演算而在處理空間問題上邁出一大步才得到充分的發(fā)展.……然而,我確信,四元數(shù)的概念而不是四元數(shù)的運算和方法的引入,對我們的課題的所有部分的研究將是大有用處的;特別是在電動力學(xué)中,在那里我們必須討論許多物理量,而他們彼此之間的關(guān)系可以用哈密頓的少數(shù)幾個表達式來表示,比用普通的方程要簡單得多.
可見,隨著復(fù)數(shù)與向量理論的深入,物理學(xué)科的相關(guān)知識(尤其是電學(xué))也得到了發(fā)展.
3 “四維向量”與中國古詩文化
提到四維向量,現(xiàn)在讓我們一起來欣賞初唐詩人陳子昂的著名詩篇《登幽州臺歌》,體會其中蘊含的數(shù)學(xué)文化意境:
“
前不見古人,后不見來者.念天地之悠悠,獨愴然而涕下!
這便是古人對時間與空間看法的文學(xué)表述.陳子昂的時空觀,就是歐幾里得的時空觀,也是今天人們普遍持有的樸素時空觀.
從數(shù)學(xué)上看,這是一首闡發(fā)時間與空間感知的絕妙佳作.前兩句表示時間可以看成一條直線(一維),以詩人自己為原點,前不見古人指時間可以延申至負無窮大,后不見來者則意味著未來的時間是正無窮大,后兩句則指向了“天和地”構(gòu)成的三維現(xiàn)實空間.因此,如果此時此刻為,我們在三維空間中的位置為,那么每個人在“四維空間”中都對應(yīng)了一個獨特的向量:
陳子昂在詩中感嘆天地之宏大,時間之遙遠,不禁覺人生之短暫,遂產(chǎn)生敬畏之心,這樣的意境,對于數(shù)學(xué)家和文學(xué)家來說是可以相通的.
4 維向量
沿著四維向量往前走,維向量逐漸被撥開迷霧展現(xiàn)在人們面前.
德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼于1844年引入了維向量的概念.仿效平面向量的記法,我們將一個維向量定義為一個維的數(shù)組:
維向量可以定義加法和減法,也可以用單個實數(shù)與其相乘.向量的數(shù)量積也可以推廣到維情形.這就是向量空間(線性空間)要研究的問題.
實際上,維向量看似很“高端”,但是它在生活中其實有著非常直觀的意義,比如說我們?nèi)ド虉鲑徫铮N商品的“單價向量”
以及種商品的“數(shù)量向量”
那么兩者的數(shù)量積,實際上就是你的總付款金額
因此,所謂的維向量的數(shù)量積,其實就在我們身邊.
時至今日,“個”成為當(dāng)今社會的流行語,用來表示“很多個”的意思,比如“我有個選擇”,“這件事有個因素”等等,究其根源,正是維向量等數(shù)學(xué)名詞廣泛普及的結(jié)果.
審核編輯:劉清
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原文標題:為什么要學(xué)習(xí)向量?
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