聊一聊向量到底有什么用

既有大小又有方向的量，稱為向量，同學(xué)們在學(xué)習(xí)這一部分數(shù)學(xué)知識時，似乎感到困惑：向量到底有什么用？今天，小編就和大家來聊一聊向量.

1 力與向量

向量的英文是，中國的物理學(xué)家們在清末民初時期引進西方科學(xué)概念時將“”稱為“矢量”，至今向量與矢量兩種譯名共存，究其原因，早期的向量只是物理學(xué)專門用來表示力和速度等“既有大小又有方向”的物理量的工具，并不為數(shù)學(xué)家們所重視，因此“矢量”的譯名一度流行.

實際上，力作為向量最常見的實例有著十分古老的淵源.大約在公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的合力可用平行四邊形法則得到，隨后古希臘數(shù)學(xué)家海倫則給出了該法則的幾何證明.

力的合成

在現(xiàn)實生活中，處處有“力的平行四邊形法則”，比如中國古代的“駟馬車”，可以直觀地依據(jù)平行四邊形法則觀察到這樣的合力.

古希臘之后的1500多年，經(jīng)過了漫長又黑暗的中世紀，向量的知識都沒有什么太大的變化.牛頓在其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中總結(jié)了前人的智慧，論述了力、速度等物理量作為矢量如何進行運算，其本質(zhì)還是向量的平行四邊形法則.可見，這點向量知識，形不成多少有意義的數(shù)學(xué)問題，不能發(fā)展成一個獨立的學(xué)科，因此數(shù)學(xué)家們并沒有重點將向量作為對象進行深入地研究.

2 復(fù)數(shù)與向量

直到19世紀，事情開始發(fā)生變化，“復(fù)數(shù)”在向量的發(fā)展中充當(dāng)了催化劑.

數(shù)學(xué)家韋塞爾和阿爾岡發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)的幾何表示，這是一個具有劃時代意義的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，隨后德國數(shù)學(xué)家高斯建立了復(fù)平面的概念，從而使得平面向量與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)起來.向量可以表示為一組有序?qū)崝?shù)對，這與復(fù)平面中的復(fù)數(shù)是一致的.

復(fù)數(shù)——數(shù)的最后樂章

當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們想到，復(fù)數(shù)可以看作“二維向量”，那么單個實數(shù)就可以看作“一維向量”，同理，一定也還有“三維向量”、“四維向量”，乃至“維向量”.

于是，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓首先研究了“四元數(shù)”：

這種具有4個分量的數(shù)具有諸多神奇的性質(zhì)，它構(gòu)成的數(shù)系能夠進行加減乘除四則運算，但是美中不足的是要放棄乘法交換律.

盡管如此，這一偉大的發(fā)現(xiàn)引起了又一位大牛的注意，代表著19世紀物理學(xué)重要發(fā)展方向的著名物理學(xué)家麥克斯韋對四元數(shù)情有獨鐘，他對于四元數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用使人們逐步認識到用向量處理物理問題的必要性.

麥克斯韋在其著作《電磁通論》的緒論中寫道：

“

對于物理推理的許多目的來說，不同于計算，有必要避免明確地引入笛卡爾坐標，并把注意力固定在一個空間點上而不是在它的3個坐標上，固定在一個力的大小和方向上而不是它的3個分量上.這種考慮幾何量和物理量的模式比另一種模式更原始、更自然，盡管與它相聯(lián)系的那些概念直到哈密頓通過發(fā)明他的四元數(shù)演算而在處理空間問題上邁出一大步才得到充分的發(fā)展.……然而，我確信，四元數(shù)的概念而不是四元數(shù)的運算和方法的引入，對我們的課題的所有部分的研究將是大有用處的；特別是在電動力學(xué)中，在那里我們必須討論許多物理量，而他們彼此之間的關(guān)系可以用哈密頓的少數(shù)幾個表達式來表示，比用普通的方程要簡單得多.

可見，隨著復(fù)數(shù)與向量理論的深入，物理學(xué)科的相關(guān)知識（尤其是電學(xué)）也得到了發(fā)展.

3 “四維向量”與中國古詩文化

提到四維向量，現(xiàn)在讓我們一起來欣賞初唐詩人陳子昂的著名詩篇《登幽州臺歌》，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)文化意境：

“

前不見古人，后不見來者.念天地之悠悠，獨愴然而涕下！

這便是古人對時間與空間看法的文學(xué)表述.陳子昂的時空觀，就是歐幾里得的時空觀，也是今天人們普遍持有的樸素時空觀.

從數(shù)學(xué)上看，這是一首闡發(fā)時間與空間感知的絕妙佳作.前兩句表示時間可以看成一條直線（一維），以詩人自己為原點，前不見古人指時間可以延申至負無窮大，后不見來者則意味著未來的時間是正無窮大，后兩句則指向了“天和地”構(gòu)成的三維現(xiàn)實空間.因此，如果此時此刻為，我們在三維空間中的位置為，那么每個人在“四維空間”中都對應(yīng)了一個獨特的向量：

陳子昂在詩中感嘆天地之宏大，時間之遙遠，不禁覺人生之短暫，遂產(chǎn)生敬畏之心，這樣的意境，對于數(shù)學(xué)家和文學(xué)家來說是可以相通的.

4 維向量

沿著四維向量往前走，維向量逐漸被撥開迷霧展現(xiàn)在人們面前.

德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼于1844年引入了維向量的概念.仿效平面向量的記法，我們將一個維向量定義為一個維的數(shù)組：

維向量可以定義加法和減法，也可以用單個實數(shù)與其相乘.向量的數(shù)量積也可以推廣到維情形.這就是向量空間（線性空間）要研究的問題.

實際上，維向量看似很“高端”，但是它在生活中其實有著非常直觀的意義，比如說我們?nèi)ド虉鲑徫铮N商品的“單價向量”

以及種商品的“數(shù)量向量”

那么兩者的數(shù)量積，實際上就是你的總付款金額

因此，所謂的維向量的數(shù)量積，其實就在我們身邊.

時至今日，“個”成為當(dāng)今社會的流行語，用來表示“很多個”的意思，比如“我有個選擇”，“這件事有個因素”等等，究其根源，正是維向量等數(shù)學(xué)名詞廣泛普及的結(jié)果.

審核編輯：劉清