如何從麥克斯韋方程組推出電磁波？

在前兩篇文章里，長(zhǎng)尾君給大家介紹了麥克斯韋方程組的積分和微分形式。大家也都知道麥克斯韋從這套方程組里推導(dǎo)出了電磁波，然后通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)電磁波的速度正好等于光速。于是，麥克斯韋就預(yù)言“光是一種電磁波”，這個(gè)預(yù)言后來(lái)被赫茲證實(shí)。

電磁波的發(fā)現(xiàn)讓麥克斯韋和他的電磁理論走上了神壇，也讓人類社會(huì)進(jìn)入了無(wú)線電時(shí)代。你現(xiàn)在可以隨時(shí)給遠(yuǎn)方的朋友打電話，能用手機(jī)刷長(zhǎng)尾科技的文章，都跟電磁波有著密切的關(guān)系。那么，麥克斯韋到底是怎么從麥克斯韋方程組推導(dǎo)出電磁波方程的呢？這篇文章我們就來(lái)一起見(jiàn)證這一奇跡的時(shí)刻。

01什么是波？

要理解電磁波，首先我們得了解什么是波？有些人可能覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)奇怪，什么是波這還用問(wèn)么？我丟一塊石頭到水里，水面上就會(huì)形成一個(gè)水波；我抖動(dòng)一根繩子，繩子上就會(huì)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)波動(dòng)。生活中還有很多這種波動(dòng)現(xiàn)象，我雖然讀書(shū)少，但是什么是波還是知道的。

沒(méi)錯(cuò)，水波、繩子上的波動(dòng)這些都是波，我在這里拋出“什么是波？”這個(gè)問(wèn)題并不是想來(lái)掰指頭數(shù)一數(shù)哪些東西是波，哪些不是，而是想問(wèn)：所有這些叫作波的東西有什么共同的特征？我們?nèi)绾斡靡惶捉y(tǒng)一的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述波？

我們研究物理，就是從萬(wàn)千變化的自然界的各種現(xiàn)象里總結(jié)出某種一致性，然后用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言定量、精確的描述這種一致的現(xiàn)象?，F(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)了水波、繩子上的波等許多現(xiàn)象都有這樣一種波動(dòng)現(xiàn)象，那我們自然就要去尋找這種波動(dòng)現(xiàn)象背后統(tǒng)一的數(shù)學(xué)規(guī)律，也就是尋找描述波動(dòng)現(xiàn)象的方程，即波動(dòng)方程。

為了尋找統(tǒng)一的波動(dòng)方程，我們先來(lái)看看最簡(jiǎn)單的波：抖動(dòng)一根繩子，繩子上就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)波沿著繩子移動(dòng)，以恒定的頻率抖動(dòng)就會(huì)出現(xiàn)連續(xù)不斷的波。

為了更好地研究繩子上的波動(dòng)，我們先建立一個(gè)坐標(biāo)系，然后把注意力集中到其中的一個(gè)波上。于是，我們就看到一個(gè)波以一定的速度v向x軸的正方向（右邊）移動(dòng)，如下圖：

那么，我們?cè)撊绾稳ッ枋鲞@種波動(dòng)呢？

首先，我們知道一個(gè)波是在不停地移動(dòng)的，上圖只是波在某個(gè)時(shí)刻的樣子，它下一個(gè)時(shí)刻就會(huì)往右邊移動(dòng)一點(diǎn)。移動(dòng)了多少也很好計(jì)算：因?yàn)椴ㄋ贋関，所以Δt時(shí)間以后這個(gè)波就會(huì)往右移動(dòng)v·Δt的距離。

另外，我不管這個(gè)時(shí)刻波是什么形狀的曲線，反正我可以把它看成一系列的點(diǎn)（x，y）的集合，這樣我們就可以用一個(gè)函數(shù)y=f（x）來(lái)描述它（函數(shù)就是一種對(duì)應(yīng)（映射）關(guān)系，在函數(shù)y=f（x）里，每給定一個(gè)x，通過(guò)一定的操作f（x）就能得到一個(gè)y，這一對(duì)（x，y）就組成了坐標(biāo)系里的一個(gè)點(diǎn)，把所有這種點(diǎn)連起來(lái)就得到了一條曲線）。

然后，y=f（x）只是描述某一個(gè)時(shí)刻的波的形狀，如果我們想描述一個(gè)完整動(dòng)態(tài)的波，就得把時(shí)間t考慮進(jìn)來(lái)。也就是說(shuō)我們的波形是隨著時(shí)間變化的，即：我繩子上某個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)y不僅跟橫軸x有關(guān)，還跟時(shí)間t有關(guān)，這樣的話我們就得用一個(gè)二元函數(shù)y=f（x，t）來(lái)描述一個(gè)波。

這一步很好理解，它無(wú)非告訴我們波是隨時(shí)間（t）和空間（x）變化的。但是這樣還不夠，世界上到處都是隨著時(shí)間、空間變化的東西，比如蘋(píng)果下落、籃球在天上飛，它們跟波的本質(zhì)區(qū)別又在哪呢？

02波的本質(zhì)

仔細(xì)想一下我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：波在傳播的時(shí)候，雖然不同時(shí)刻波所在的位置不一樣，但是它們的形狀始終是一樣的。也就是說(shuō)前一秒波是這個(gè)形狀，一秒之后波雖然不在這個(gè)地方了，但是它依然是這個(gè)形狀，這是一個(gè)很強(qiáng)的限制條件。有了這個(gè)限制條件，我們就能把波和其它在時(shí)間、空間中變化的東西區(qū)分開(kāi)了。

我們這樣考慮：既然用f（x，t）來(lái)描述波，那么波的初始形狀（t=0時(shí)的形狀）就可以表示為f（x，0）。經(jīng)過(guò)了時(shí)間t之后，波速為v，那么這個(gè)波就向右邊移動(dòng)了vt的距離，也就是把初始形狀f（x，0）往右移動(dòng)了vt，那么這個(gè)結(jié)果可以這樣表示：f（x-vt，0）。

為什么把一個(gè)函數(shù)的圖像往右移動(dòng)了一段vt，結(jié)果卻是用函數(shù)的自變量x減去vt，而不是加上vt呢？這是一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我這里稍微幫大家回顧一下：你們想，如果我把一個(gè)函數(shù)圖像f（x）往右移動(dòng)了3，那么我原來(lái)在1這個(gè)地方的值f（1），現(xiàn)在就成了4這個(gè)地方的函數(shù)值。所以，如果你還想用f（x）這個(gè)函數(shù)，那肯定就得用4減去3（這樣才能得到f（1）的值），而不是加3（4+3=7，f（7）在這里可沒(méi)有什么意義）。

所以，如果我們用f（x，t）描述波，那么初始時(shí)刻（t=0）的波可以表示為f（x，0）。經(jīng)過(guò)時(shí)間t之后的波的圖像就等于初始時(shí)刻的圖像往右移動(dòng)了vt，也就是f（x-vt，0）。于是，我們就可以從數(shù)學(xué)上給出波運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)：

也就是說(shuō)，只要有一個(gè)函數(shù)滿足f（x，t）=f（x-vt，0），滿足任意時(shí)刻的形狀都等于初始形狀平移一段，那么它就表示一個(gè)波。水波、聲波、繩子上的波、電磁波、引力波都是如此，這也很符合我們對(duì)波的直觀理解。

這里我們是從純數(shù)學(xué)的角度給出了波的一個(gè)描述，下面我們?cè)購(gòu)奈锢淼慕嵌葋?lái)分析一下波的形成原因，看看能不能得到更多的信息。

03張力

一根繩子放在地上的時(shí)候是靜止不動(dòng)的，我們甩一下就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)波動(dòng)。我們想一想：這個(gè)波是怎么傳到遠(yuǎn)方去的呢？我們的手只是拽著繩子的一端，并沒(méi)有碰到繩子的中間，但是當(dāng)這個(gè)波傳到中間的時(shí)候繩子確實(shí)動(dòng)了，繩子會(huì)動(dòng)就表示有力作用在它身上（牛爵爺告訴我們的道理），那么這個(gè)力是哪里來(lái)的呢？

稍微分析一下我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：這個(gè)力只可能來(lái)自繩子相鄰點(diǎn)之間的相互作用，每個(gè)點(diǎn)把自己隔壁的點(diǎn)“拉”一下，隔壁的點(diǎn)就動(dòng)了（就跟我們列隊(duì)報(bào)數(shù)的時(shí)候只通知你旁邊的那個(gè)人一樣）這種繩子內(nèi)部之間的力叫張力。

張力的概念也很好理解，比如我們用力拉一根繩子，我明明對(duì)繩子施加了一個(gè)力，但是這根繩子為什么不會(huì)被拉長(zhǎng)？跟我的手最近的那個(gè)點(diǎn)為什么不會(huì)被拉動(dòng)？

答案自然是這個(gè)點(diǎn)附近的點(diǎn)給這個(gè)質(zhì)點(diǎn)施加了一個(gè)相反的張力，這樣這個(gè)點(diǎn)一邊被我拉，另一邊被它鄰近的點(diǎn)拉，兩個(gè)力的效果抵消了。但是力的作用又是相互的，附近的點(diǎn)給端點(diǎn)施加了一個(gè)張力，那么這個(gè)附近的點(diǎn)也會(huì)受到一個(gè)來(lái)自端點(diǎn)的拉力，然而這個(gè)附近的點(diǎn)也沒(méi)動(dòng)，所以它也必然會(huì)受到更里面點(diǎn)的張力。這個(gè)過(guò)程可以一直傳播下去，最后的結(jié)果就是這根繩子所有的地方都會(huì)張力。

而且，我們還可以斷定：如果繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，繩子也沒(méi)有打結(jié)沒(méi)有被拉長(zhǎng)，那么繩子內(nèi)部的張力處處相等（只要有一個(gè)點(diǎn)兩邊的張力不等，那么這個(gè)點(diǎn)就應(yīng)該被拉走了，繩子就會(huì)被拉變形），這是個(gè)很重要的結(jié)論。

通過(guò)上面的分析，我們知道了當(dāng)一根理想繩子處于緊繃狀態(tài)的時(shí)候，繩子內(nèi)部存在處處相等的張力。當(dāng)一根繩子靜止在地面的時(shí)候，它處于松弛狀態(tài)，沒(méi)有張力，但是當(dāng)一個(gè)波傳到這里的時(shí)候，繩子會(huì)變成一個(gè)波的形狀，這時(shí)候就存在張力了。正是這種張力讓繩子上的點(diǎn)上下振動(dòng)，所以，分析這種張力對(duì)繩子的影響就成了分析波動(dòng)現(xiàn)象的關(guān)鍵。

04波的受力分析

那么，我們就從處于波動(dòng)狀態(tài)的繩子中選擇很小的一段AB，我們來(lái)分析一下這個(gè)小段繩子在張力的作用下是如何運(yùn)動(dòng)的。放心，我們這里并不會(huì)涉及什么復(fù)雜的物理公式，我們所需要的公式就一個(gè)，大名鼎鼎的牛頓第二定律：F=ma。

牛頓第一定律告訴我們“一個(gè)物體在不受力或者受到的合外力為0的時(shí)候會(huì)保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”，那么如果合外力不為0呢？牛頓第二定律就接著說(shuō)了：如果合外力F不為零，那么物體就會(huì)有一個(gè)加速度a，它們之間的關(guān)系就由F=ma來(lái)定量描述（m是物體的質(zhì)量）。也就是說(shuō)，如果我們知道一個(gè)物體的質(zhì)量m，只要你能分析出它受到的合外力F，那么我們就可以根據(jù)牛頓第二定律F=ma計(jì)算出它的加速度a，知道加速度就知道它接下來(lái)要怎么動(dòng)了。

牛頓第二定律就這樣把一個(gè)物體的受力情況（F）和運(yùn)動(dòng)情況（a）結(jié)合起來(lái)了，我們想知道一個(gè)物體是怎么動(dòng)的，只要去去分析它受到了什么力就行了，所以它牛。

再來(lái)看我們的波，我們從處于波動(dòng)狀態(tài)的繩子里選取很小的一段AB，我們想知道AB是怎么運(yùn)動(dòng)的，就要分析它受到的合外力。因?yàn)椴豢紤]繩子的質(zhì)量，所以就不用考慮繩子的重力，那么，我們就只要分析繩子AB兩端的張力T就行了。

如上圖，繩子AB受到A點(diǎn)朝左下方的張力T和B點(diǎn)朝右上方的張力T，而且我們還知道這兩個(gè)張力是相等的，所以才把它都記為T(mén)。但是，我們知道波動(dòng)部分的繩子是彎曲的，那么這兩個(gè)張力的方向是不一樣的，這一點(diǎn)從圖中可以非常明顯的看出來(lái)。我們假設(shè)A點(diǎn)處張力的方向跟橫軸夾角為θ，B點(diǎn)跟橫軸的夾角就明顯不一樣了，我們記為θ+Δθ。

因?yàn)槔K子上的點(diǎn)在波動(dòng)時(shí)是上下運(yùn)動(dòng)，所以我們只考慮張力T在上下方向上的分量，水平方向上的就不考慮了。那么，我們把AB兩點(diǎn)的張力T都分解一下，稍微用一點(diǎn)三角函數(shù)的知識(shí)我們就能發(fā)現(xiàn)：B點(diǎn)處向上的張力為T(mén)·sin（θ+Δθ），A點(diǎn)向下的張力為T(mén)·sinθ。那么，整個(gè)AB段在豎直方向上受到的合力就等于這兩個(gè)力相減：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

好了，按照牛頓第二定律F=ma，我們需要知道物體的合外力F、質(zhì)量m和加速度a，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了合外力F，那么質(zhì)量m和加速度a呢？

05波的質(zhì)量分析

質(zhì)量好說(shuō)，我們假設(shè)繩子單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為μ，那么長(zhǎng)度為Δl的繩子的質(zhì)量就是μ·Δl。

但是，因?yàn)槲覀內(nèi)〉氖欠浅Ｐ〉囊欢?，我們假設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x+Δx，也就是說(shuō)繩子AB在橫坐標(biāo)的投影長(zhǎng)度為Δx，那么，當(dāng)我們?nèi)〉睦K長(zhǎng)非常短，波動(dòng)非常小的時(shí)候，我們就可以近似用Δx代替Δl，這樣繩子的質(zhì)量就可以表示為：μ·Δx（本來(lái)我在考慮這里要不要再解釋一下微積分思想，但是一想，會(huì)看這篇電磁波篇的，必須是已經(jīng)提前看了麥克斯韋方程組的積分篇和微分篇，而我在那兩篇里已經(jīng)介紹過(guò)這種思想了，那這里就不說(shuō)了~）。

質(zhì)量搞定了，剩下的就是加速度a了。你可能以為我已經(jīng)得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和質(zhì)量m（μ·Δx），那么剩下肯定就是用合外力F除以質(zhì)量m得到加速度a（牛頓第二定律），不不不，這樣就不好玩了。我們還可以從另一個(gè)角度來(lái)得到加速度a，然后把它們作為拼盤(pán)拼起來(lái)。從哪里得到加速度呢a？從描述波的函數(shù)f（x，t）里。

06波的加速度分析

不知道大家還記得我們?cè)谇懊嬲f(shuō)的這個(gè)描述波的函數(shù)y=f（x，t）么？這個(gè)函數(shù)的值y表示的是在x這個(gè)地方，時(shí)間為t的時(shí)候這一點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也就是波的高度。我們現(xiàn)在要求的也就是AB上下波動(dòng)時(shí)的加速度，那么，怎么從這個(gè)描述點(diǎn)位置的函數(shù)里求出加速度a呢？

這里我們?cè)賮?lái)理解一下加速度a，什么叫加速度？從名字就可以感覺(jué)到，這個(gè)量是用來(lái)衡量速度變化快慢的。加速度嘛，肯定是速度加得越快，加速度的值就越大。假如一輛車第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s，那么它的加速度就是用速度的差（4-2=2）除以時(shí)間差（2-1=1），結(jié)果就是2m/s2。

再來(lái)回想一下，我們是怎么求一輛車的速度的？我們是用距離的差來(lái)除以時(shí)間差的。比如一輛車第1秒鐘距離起點(diǎn)20米，第2秒鐘距離起點(diǎn)50米，那么它的速度就是用距離的差（50-20=30）除以時(shí)間差（2-1=1），結(jié)果就是30m/s。

不知道大家從這兩個(gè)例子里發(fā)現(xiàn)了什么沒(méi)有？我用距離的差除以時(shí)間差就得到了速度，我再用速度的差除以時(shí)間差就得到了加速度，這兩個(gè)過(guò)程都是除以時(shí)間差。那么，如果我把這兩個(gè)過(guò)程合到一塊呢？那是不是就可以說(shuō)：距離的差除以一次時(shí)間差，再除以一次時(shí)間差就可以得到加速度？

這樣表述并不是很準(zhǔn)確，但是可以很方便的讓大家理解這個(gè)思想。如果把距離看作關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，我們對(duì)這個(gè)函數(shù)求一次導(dǎo)數(shù)（就是上面的距離差除以時(shí)間差，只不過(guò)趨于無(wú)窮?。┚偷玫搅怂俣鹊暮瘮?shù)，對(duì)速度的函數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù)就得到了加速度的表示。所以，我們把一個(gè)關(guān)于距離（位置）的函數(shù)對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)，就可以得到加速度的表達(dá)式。

波的函數(shù)f（x，t）不就是描述繩子上某一點(diǎn)在不同時(shí)間t的位置么？那我們對(duì)f（x，t）求兩次關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，自然就得到了這點(diǎn)的加速度a。因?yàn)楹瘮?shù)f是關(guān)于x和t兩個(gè)變量的函數(shù)，所以我們只能對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)?f/ ?t，再求一次偏導(dǎo)數(shù)就加個(gè)2上去。于是我們就可以這樣表示這點(diǎn)的加速度a=?2f/ ?t2（關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的介紹，微分篇里有詳細(xì)敘述，這里不再說(shuō)明）。

這樣，我們就把牛頓第二定律F=ma的三要素都湊齊了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=?2f/ ?t2。把它們集合在一起就可以召喚神，阿不，就可以寫(xiě)出AB的運(yùn)動(dòng)方程了：

這個(gè)用牛頓第二定律寫(xiě)出來(lái)的波動(dòng)方程，看起來(lái)怎么樣？嗯，似乎有點(diǎn)丑，看起來(lái)也不太清晰，方程左邊的東西看著太麻煩了，我們還需要對(duì)它進(jìn)行一番改造。那怎么改造呢？我們可以先把sinθ給干掉。

07方程的改造

為了能夠順利地干掉sinθ，我們先來(lái)回顧一下基本的三角函數(shù)：

如上圖，右邊是一個(gè)直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于對(duì)邊c除以斜邊a，正切值tanθ等于對(duì)邊c除以鄰邊b。

當(dāng)這個(gè)角度θ還很大的時(shí)候，a比b要明顯長(zhǎng)一些。但是，一旦角度θ非常非常小，可以想象，鄰邊b和斜邊a就快要重合了。這時(shí)候我們是可以近似的認(rèn)為a和b是相等的，也就是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。

也就是說(shuō)，在角度θ很小的時(shí)候，我們可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。我們假設(shè)這根繩子的擾動(dòng)非常小，形變非常小，那么θ和θ+Δθ就都非常小，那么它們的正弦值就都可以用正切值代替。于是，那個(gè)波動(dòng)方程左邊的sin（θ+Δθ）-sinθ就可以替換為：tan（θ+Δθ）-tanθ。

為什么我們要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因?yàn)檎兄祎anθ還可以代表一條直線的斜率，代表曲線在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。想想正切值的表達(dá)式tanθ=c/b，如果建一個(gè)坐標(biāo)系，那么這個(gè)c剛好就是直線在y軸的投影dy，b就是在x軸的投影dx，它們的比值剛好就是導(dǎo)數(shù)dy/dx，也就是說(shuō)tanθ=dy/dx。

然而，因?yàn)椴ǖ暮瘮?shù)f（x，t）是關(guān)于x和t的二元函數(shù)，所以我們只能求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，那么正切值就等于它在這個(gè)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)：tanθ=?f/ ?x。那么，原來(lái)的波動(dòng)方程就可以寫(xiě)成這樣：

這里我稍微解釋一下偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，我們用?f/ ?x表示函數(shù)f（x，t）的偏導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè)函數(shù)，x可以取各種各樣的值。但是如果我加一個(gè)豎線|，然后在豎線的右下角標(biāo)上x(chóng)+Δx就表示我要求在x+Δx這個(gè)地方的導(dǎo)數(shù)。

再來(lái)看一下這個(gè)圖，我們已經(jīng)約定了A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，對(duì)應(yīng)的角度為θ；B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x+Δx，對(duì)應(yīng)的角度為θ+Δθ。所以，我們可以用x+Δx和x這兩處的偏導(dǎo)數(shù)值代替θ+Δθ和θ這兩處的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，所以波動(dòng)方程才可以寫(xiě)成上面那樣：

接著，如果我們?cè)賹?duì)方程的兩邊同時(shí)除以Δx，那左邊就變成了函數(shù)?f/ ?x在x+Δx和x這兩處的值的差除以Δx，這其實(shí)就是?f/ ?x這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。也就是說(shuō)，兩邊同時(shí)除以一個(gè)Δx之后，左邊就變成了偏導(dǎo)數(shù)?f/ ?x對(duì)x再求一次導(dǎo)數(shù)，那就是f（x，t）對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)了。

上面我們用我們已經(jīng)用?2f/ ?t2來(lái)表示函數(shù)對(duì)t的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么這里自然就可以用?2f/ ?x2來(lái)表示函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)。然后兩邊再同時(shí)除以T，得到方程就簡(jiǎn)潔多了：

把方程左邊的tan（θ+Δθ）-tanθ變成了函數(shù)f（x，t）對(duì)空間x的二階偏導(dǎo)數(shù)，這個(gè)過(guò)程非常的重要，大家可以好好體會(huì)一下這個(gè)過(guò)程。正切值tanθ就是一階導(dǎo)數(shù)，然后兩個(gè)正切值的差除以自變量的變化就又產(chǎn)生了一次導(dǎo)數(shù)，于是總共就有了兩階，所以我們才能得到上面那個(gè)簡(jiǎn)潔的式子。

08經(jīng)典波動(dòng)方程

再看看方程右邊的μ/T，如果你仔細(xì)去算一下μ/T的單位，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它剛好就是速度的平方的倒數(shù)，也就是說(shuō)如果我們把一個(gè)量定義成T/μ的平方根，那么這個(gè)量的單位剛好就是速度的單位?？梢韵胂?，這個(gè)速度自然就是這個(gè)波的傳播速度v：

這樣定義速度v之后，我們最終的波動(dòng)方程就可以亮相了：

這個(gè)方程就是我們最終要找的經(jīng)典波動(dòng)方程，為什么把它作做經(jīng)典的波動(dòng)方程呢？因?yàn)樗鼪](méi)有考慮量子效應(yīng)啊，在物理學(xué)里，經(jīng)典就是非量子的同義詞。如果我們要考慮量子效應(yīng)，這個(gè)經(jīng)典的波動(dòng)方程就沒(méi)用了，我們就必須轉(zhuǎn)而使用量子的波動(dòng)方程，那就是大名鼎鼎的薛定諤方程。

薛定諤就是從這個(gè)經(jīng)典波動(dòng)方程出發(fā)，結(jié)合德布羅意的物質(zhì)波概念，硬猜出了薛定諤方程。這個(gè)方程讓物理學(xué)家們從被海森堡的矩陣支配的恐懼中解脫了出來(lái)，重新回到了微分方程的美好世界。薛定諤方程雖然厲害，但是它并沒(méi)有考慮狹義相對(duì)論效應(yīng)，而高速運(yùn)動(dòng)（近光速）的粒子在微觀世界是很常見(jiàn)的，我們也知道當(dāng)物體接近光速的時(shí)候就必須考慮相對(duì)論效應(yīng)，但是薛定諤方程并沒(méi)有做到這一點(diǎn)。

最終讓薛定諤方程相對(duì)論化是狄拉克，狄拉克把自己關(guān)在房間三個(gè)月，最終逼出了同樣大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程首次從理論上預(yù)言了反物質(zhì)（正電子），雖然當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們認(rèn)為狄拉克這是在胡鬧，但是我國(guó)的物理學(xué)家趙忠堯先生卻幾乎在同時(shí)就首次在實(shí)驗(yàn)室里觀測(cè)到了正負(fù)電子湮滅的情況。

另外，狄拉克的工作也推動(dòng)了量子場(chǎng)論的誕生，打開(kāi)了一扇讓人無(wú)比神往的新世界大門(mén)。物理學(xué)家們沿著這條路馴服了電磁力、強(qiáng)力、弱力，建立起了粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型，于是四海清平，天下大定，除了那該死的引力。這些精妙絕倫的故事我們后面再講，如果把這些故事寫(xiě)成一本《量子英雄傳》，嗯，一定不比金庸的武俠遜色~

好了，回歸正題，看到這個(gè)經(jīng)典波動(dòng)方程到后面還能掀起那么大的浪來(lái)，是不是突然就對(duì)它肅然起敬了呢？我們這樣一頓操作推導(dǎo)出了經(jīng)典波動(dòng)方程，有的朋友可能有點(diǎn)懵，沒(méi)關(guān)系，我們?cè)賮?lái)捋一下。這個(gè)看著很復(fù)雜的，包含了二階偏導(dǎo)數(shù)的方程其實(shí)就只是告訴我們：我們把這根繩子極小的一段看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么這個(gè)質(zhì)點(diǎn)滿足牛頓第二定律F=ma，僅此而已。

09復(fù)盤(pán)

我們整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程不過(guò)就是去尋找F=ma中的這三個(gè)量。我們把繩子的張力在豎直方向做了分解，然后得到了它在豎直方向上的合力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；我們定義了單位長(zhǎng)度的質(zhì)量μ，然后就可以計(jì)算那小段繩子的質(zhì)量m（μ·Δx）；我們通過(guò)對(duì)波的函數(shù)f（x，t）的分析，發(fā)現(xiàn)如果對(duì)這種表示距離（位移）的函數(shù)對(duì)時(shí)間求一次偏導(dǎo)數(shù)就得到了速度，再求一次偏導(dǎo)數(shù)就得到了加速度，于是我們就得到了這段繩子的加速度a（?2f/ ?t2）。然后我們就把這些量按照牛頓第二定律F=ma拼了起來(lái)。

在處理問(wèn)題的過(guò)程中，我們做了很多近似：因?yàn)槲覀兪侨〉煤苄〉囊欢?，那么我們就可以用Δx近似代替繩子的長(zhǎng)度Δl；假設(shè)擾動(dòng)很小，繩子偏離x軸很小，那么角度θ就很小，我們就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。很多人乍一看，覺(jué)得這么嚴(yán)格的推導(dǎo)怎么能這么隨意的近似呢？你這里近似那里近似，得到的最終結(jié)果還是準(zhǔn)確的么？

要理解這個(gè)問(wèn)題，就得正式去學(xué)習(xí)微積分了，我現(xiàn)在告訴你微積分的核心思想就是一種以直代曲的近似，你信么？微積分里就是用各種小段小段的直線去近似的代替曲線，但是得到的結(jié)果卻是非常精確的。因?yàn)槲覀兛梢园堰@些線段取得非常非常的小，或者說(shuō)是無(wú)窮小，那么這個(gè)誤差也就慢慢變成無(wú)窮小了。所以我們?cè)诜治鲞@根繩子的時(shí)候，也都強(qiáng)調(diào)了是取非常小的一段，給一個(gè)非常小的擾動(dòng)，得到一個(gè)非常小的角度θ。

另外，tanθ就是一次導(dǎo)數(shù)，然后它們的差再除以一次Δx，就又出現(xiàn)了一次導(dǎo)數(shù)，所以方程的左邊就出現(xiàn)了f（x，t）對(duì)位置x的兩次偏導(dǎo)數(shù)。方程的右邊就是函數(shù)f（x，t）對(duì)時(shí)間t求兩次偏導(dǎo)數(shù)得到的加速度a（求一次導(dǎo)數(shù)得到速度，求兩次就得到加速度）。

所以，雖然我們看到的是一個(gè)波動(dòng)方程，其實(shí)它只是一個(gè)變裝了的牛頓第二定律F=ma。理解這點(diǎn)，波動(dòng)方程就沒(méi)什么奇怪的了。我們?cè)賮?lái)仔細(xì)的審視一下這個(gè)方程：

這個(gè)波動(dòng)方程的意義也很直觀，它告訴我們f（x，t）這樣一個(gè)隨時(shí)間t和空間x變化的函數(shù)，如果這個(gè)二元函數(shù)對(duì)空間x求兩次導(dǎo)數(shù)得到的?2f/ ?x2和對(duì)時(shí)間t求兩次導(dǎo)數(shù)得到的?2f/ ?t2之間滿足上面的那種關(guān)系，那么f（x，t）描述的就是一個(gè)波。

如果我們?nèi)ソ膺@個(gè)方程，我們得到的就是描述波的函數(shù)f（x，t）。而我們前面對(duì)波做數(shù)學(xué)分析的時(shí)候得到了這樣一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)函數(shù)f（x，t）描述的波，那么就一定滿足f（x，t）=f（x-vt，0）。所以，波動(dòng)方程的解f（x，t）肯定也都滿足前面這個(gè)關(guān)系，這一點(diǎn)感興趣的朋友可以自己下去證明一下。

好了，經(jīng)典的波動(dòng)方程我們就先講到這里。有了波動(dòng)方程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)我們通過(guò)幾步簡(jiǎn)單的運(yùn)算就能從麥克斯韋方程組中推導(dǎo)出電磁波的方程，然后還能確定電磁波的速度。

10真空中的麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組的微分形式是這樣的：

這組方程的來(lái)龍去脈長(zhǎng)尾科技在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》里已經(jīng)做了詳細(xì)的介紹，這里不再多說(shuō)。這組方程里，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度，B表示磁感應(yīng)強(qiáng)度，ρ表示電荷密度，J表示電流密度，ε0和μ0分別表示真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率（都是常數(shù)），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分別表示散度和旋度：

接下來(lái)我們的任務(wù)，就是看如何從這組方程里推出電磁波的方程。

首先，如果真的能形成波，那么這個(gè)波肯定就要往外傳，在遠(yuǎn)離了電荷、電流（也就是沒(méi)有電荷、電流）的地方它還能自己傳播。所以，我們先讓電荷密度ρ和電流密度J都等于0，當(dāng)ρ=0，J=0時(shí)，我們得到的就是真空中的麥克斯韋方程組：

有些人覺(jué)得你怎么能讓電荷密度ρ等于0呢？這樣第一個(gè)方程就成了電場(chǎng)的散度▽·E=0，那不就等于說(shuō)電場(chǎng)強(qiáng)度E等于0，沒(méi)有電場(chǎng)了么？沒(méi)有電場(chǎng)還怎么來(lái)的電磁波？

很多人初學(xué)者都會(huì)有這樣一種誤解：好像覺(jué)得電場(chǎng)的散度▽·E等于0了，那么就沒(méi)有電場(chǎng)了。其實(shí)，電場(chǎng)的散度等于0，只是告訴你通過(guò)包含這一點(diǎn)的無(wú)窮小曲面的電通量為0，電通量為0不代表電場(chǎng)E為0啊，因?yàn)槲铱梢赃M(jìn)出這個(gè)曲面的電通量（電場(chǎng)線的數(shù)量）相等。這樣有多少正的電通量（進(jìn)去的電場(chǎng)線數(shù)量）就有多少負(fù)的電通量（出來(lái)的電場(chǎng)線數(shù)量），進(jìn)出正負(fù)抵消了，所以總的電通量還是0。于是，這點(diǎn)的散度▽·E就可以為0，而電場(chǎng)強(qiáng)度E卻不為0。

所以這個(gè)大家一定要區(qū)分清楚：電場(chǎng)E的散度為0不代表電場(chǎng)E為0，它只是要求電通量為0而已，磁場(chǎng)也一樣。

這樣我們?cè)賮?lái)審視一下真空中（ρ=0，J=0）的麥克斯韋方程組：方程1和2告訴我們真空中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的散度為0，方程3和4告訴我們電場(chǎng)和磁場(chǎng)的旋度等于磁場(chǎng)和電場(chǎng)的變化率。前兩個(gè)方程都是獨(dú)立的描述電和磁，后兩個(gè)方程則是電和磁之間的相互關(guān)系。我們隱隱約約也能感覺(jué)到：如果要推導(dǎo)出電磁波的方程，你肯定得把上面幾個(gè)式子綜合起來(lái)，因?yàn)椴ㄊ且鈧鞯?，而你上面單?dú)的方程都只是描述某一點(diǎn)的旋度或者散度。

有一個(gè)很簡(jiǎn)單的把它們都綜合在一起的方法：對(duì)方程3和方程4兩邊同時(shí)再取一次旋度。

方程3的左邊是電場(chǎng)的旋度▽×E，對(duì)它再取一次旋度就變成了▽×（▽×E）；方程3的右邊是磁場(chǎng)的變化率，對(duì)右邊取一次旋度也可以得到磁場(chǎng)B的旋度▽×B，這樣不就剛好跟方程4聯(lián)系起來(lái)了么？對(duì)方程4兩邊取旋度看起來(lái)也一樣，這看起來(lái)是個(gè)不錯(cuò)的兆頭。

可能有些朋友會(huì)有一些疑問(wèn)：你憑什么對(duì)方程3和4的兩邊取旋度，而不取散度呢？如果感興趣你可以兩邊都取散度試試，你會(huì)發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)E的旋度取散度▽·（▽×E）的結(jié)果恒等于0。

這一點(diǎn)你看方程3 的右邊會(huì)更清楚，方程3的右邊是磁場(chǎng)的變化率，你如果對(duì)方程左邊取散度，那么右邊也得取散度，而右邊磁場(chǎng)的散度是恒為0的（▽·B=0就是方程2的內(nèi)容）。這樣就得不出什么有意義的結(jié)果，你算出0=0能得到什么呢？

所以，我們現(xiàn)在的問(wèn)題變成了：如何求電場(chǎng)E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因?yàn)樾犬吘购筒娉嗣芮邢嚓P(guān)，所以我們還是先來(lái)看看叉乘的叉乘。

11叉乘的叉乘

在積分篇和微分篇里，我已經(jīng)跟大家詳細(xì)介紹了矢量的點(diǎn)乘和叉乘，而且我們還知道點(diǎn)乘的結(jié)果A·B是一個(gè)標(biāo)量，而叉乘的結(jié)果A×B是一個(gè)矢量（方向可以用右手定則來(lái)判斷，右手從A指向B，大拇指的方向就是A×B的方向）。

而點(diǎn)乘和叉乘都是矢量之間的運(yùn)算，那么A·B的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，它就不能再和其它的矢量進(jìn)行點(diǎn)乘或者叉乘了。但是，A×B的結(jié)果仍然是一個(gè)矢量啊，那么按照道理它還可以繼續(xù)跟新的矢量進(jìn)行點(diǎn)乘或者叉乘運(yùn)算，這樣我們的運(yùn)算就可以有三個(gè)矢量參與，這種結(jié)果我們就稱為三重積。

A·（B×C）的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，所以這叫標(biāo)量三重積；A×（B×C）的結(jié)果還是一個(gè)矢量，它叫矢量三重積。

標(biāo)量三重積A·（B×C）其實(shí)很簡(jiǎn)單，我在微分篇說(shuō)過(guò)，兩個(gè)矢量的叉乘的大小等于它們組成的平行四邊形的面積，那么這個(gè)面積再和一個(gè)矢量點(diǎn)乘一把，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這剛好就是三個(gè)矢量A、B、C組成的平行六面體的體積。

這個(gè)大家對(duì)著上面的圖稍微一想就會(huì)明白。而且，既然是體積，那么你隨意更換它們的順序肯定都不會(huì)影響最終的結(jié)果。我們真正要重點(diǎn)考慮的，還是矢量三重積。

矢量三重積A×（B×C），跟我們上面說(shuō)電場(chǎng)E旋度的旋度▽×（▽×E）形式相近，密切相關(guān)。它沒(méi)有上面標(biāo)量三重積那樣簡(jiǎn)單直觀的幾何意義，我們好像只能從數(shù)學(xué)上去推導(dǎo)，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，哎，我還是直接寫(xiě)結(jié)果吧：

A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。

結(jié)果是這么個(gè)東西，是不是很難看？嗯，確實(shí)有點(diǎn)丑。不過(guò)記這個(gè)公式有個(gè)簡(jiǎn)單的口訣：遠(yuǎn)交近攻。什么叫遠(yuǎn)交近攻呢？當(dāng)年秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距離B近一些，距離C遠(yuǎn)一些，所以A要聯(lián)合C（A·C前面的符合是正號(hào)）攻打B（A·B前面的符號(hào)是負(fù)號(hào)），這樣這個(gè)公式就好記了，感興趣的可以自己去完成推導(dǎo)的過(guò)程。

12旋度的旋度

有了矢量三重積的公式，我們就來(lái)依樣畫(huà)葫蘆，來(lái)套一套電場(chǎng)E的旋度的旋度▽×（▽×E）。我們對(duì)比一下這兩個(gè)式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只要把A和B都換成▽，把C換成E就行了。那么，矢量三重積的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就變成了：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。

嗯，▽（▽·E）表示電場(chǎng)E的散度的梯度，散度▽·E的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，標(biāo)量的梯度是有意義的，但是后面那個(gè)E（▽·▽）是什么鬼？?jī)蓚€(gè)▽算子擠在一起，中間還是一個(gè)點(diǎn)乘的符號(hào)，看起來(lái)好像是在求▽的散度（▽·），可是▽是一個(gè)算子，又不是一個(gè)矢量函數(shù)，你怎么求它的散度？而且兩個(gè)▽前面有一個(gè)電場(chǎng)E，怎么E還跑到▽算子的前面去了？

我們?cè)倏匆幌率噶咳胤e的公式的后面一項(xiàng)C（A·B）。這個(gè)式子的意思是矢量A和B先進(jìn)行點(diǎn)乘，點(diǎn)乘的結(jié)果A·B是一個(gè)標(biāo)量，然后這個(gè)標(biāo)量再跟矢量C相乘。很顯然的，如果是一個(gè)標(biāo)量和一個(gè)矢量相乘，那么這個(gè)標(biāo)量放在矢量的前面后面都無(wú)所謂（3C=C3），也就是說(shuō)C（A·B）=（A·B）C。

那么，同樣的，E（▽·▽）就可以換成（▽·▽）E，而它還可以寫(xiě)成▽2E，這樣就牽扯出了另一個(gè)大名鼎鼎的東西：拉普拉斯算子▽2。

13拉普拉斯算子▽2

拉普拉斯算子▽2在物理學(xué)界可謂大名鼎鼎，它看起來(lái)好像是哈密頓算子▽的平方，其實(shí)它的定義是梯度的散度。

我們假設(shè)空間上一點(diǎn)（x，y，z）的溫度由T（x，y，z）來(lái)表示，那么這個(gè)溫度函數(shù)T（x，y，z）就是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，我們可以對(duì)它取梯度▽T，因?yàn)樘荻仁且粋€(gè)矢量（梯度有方向，指向變化最快的那個(gè)方向），所以我們可以再對(duì)它取散度▽·。

我們利用我們?cè)谖⒎制獙W(xué)的▽算子的展開(kāi)式和矢量坐標(biāo)乘法的規(guī)則，我們就可以把溫度函數(shù)T（x，y，z）的梯度的散度（也就是▽2T）表示出來(lái)：

再對(duì)比一下三維的▽算子：

所以，我們把上面的結(jié)果（梯度的散度）寫(xiě)成▽2也是非常容易理解的，它跟▽算子的差別也就是每項(xiàng)多了一個(gè)平方。于是，拉普拉斯算子▽2就自然可以寫(xiě)成這樣：

從拉普拉斯算子▽2的定義我們可以看到，似乎它只能對(duì)作用于標(biāo)量函數(shù)（因?yàn)槟阋热√荻龋俏覀儼穴?稍微擴(kuò)展一下，就能讓它也作用于矢量函數(shù)V（x，y，z）。我們只要讓矢量函數(shù)的每個(gè)分量分別去取▽2，就可以定義矢量函數(shù)的▽2：

定義了矢量函數(shù)的拉普拉斯算子，我們稍微注意一下下面的這個(gè)結(jié)論（課下自己去證明）：

然后再看看中間的那個(gè)東西，是不是有點(diǎn)眼熟？

我們?cè)谇箅妶?chǎng)旋度的旋度的時(shí)候，不就剛好出現(xiàn)了（▽·▽）E這個(gè)東西么？現(xiàn)在我們就可以理直氣壯地把它替換成▽2E了，于是，電場(chǎng)旋度的旋度就可以寫(xiě)成這樣：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽2E。

至此，我們利用矢量的三重積公式推電場(chǎng)E的旋度的旋度的過(guò)程就結(jié)束了，然后我們就得到了這個(gè)極其重要的結(jié)論：

它告訴我們：電場(chǎng)的旋度的旋度等于電場(chǎng)散度的梯度減去電場(chǎng)的拉普拉斯。有了它，電磁波的方程立馬就可以推出來(lái)了。

14見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻

我們?cè)賮?lái)看看真空中的麥克斯韋方程組：

它的第三個(gè)方程，也就是法拉第定律是這樣表示的：

我們對(duì)這個(gè)公式兩邊都取旋度，左邊就是上面的結(jié)論，右邊無(wú)非就是對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度B取個(gè)旋度，即：

你看看這幾項(xiàng)，再看看真空中的麥克斯韋方程組：方程1告訴我們▽·E=0，方程4告訴我們▽×B=μ0ε0（?E/ ?t），我們把這兩項(xiàng)代入到上面的式子中去，那結(jié)果自然就變成了：

μ0、ε0都是常數(shù)，那右邊自然就變成了對(duì)電場(chǎng)E求兩次偏導(dǎo)。再把負(fù)號(hào)整理一下，最后的式子就是這樣：

嗯，于是我們就神奇般的把磁感應(yīng)強(qiáng)度B消掉了，讓這個(gè)方程只包含電場(chǎng)E。我們?cè)賹?duì)比一下我們之前嘮叨了那么多得出的經(jīng)典波動(dòng)方程：

我們?cè)谕茖?dǎo)經(jīng)典波動(dòng)方程的時(shí)候只考慮了一維的情況，因?yàn)槲覀冎豢紤]波沿著繩子這一個(gè)維度傳播的情況，所以我們的結(jié)果里只有?2f/ ?x2這一項(xiàng)。如果我們考慮三維的情況，那么不難想象波動(dòng)方程的左邊應(yīng)該寫(xiě)成三項(xiàng)，這三項(xiàng)剛好就是f的三維拉普拉斯：

所以我們的經(jīng)典波動(dòng)方程其實(shí)可以用拉普拉斯算子寫(xiě)成如下更普適的形式：

再看看我們剛剛從麥克斯韋方程組中得到的電場(chǎng)方程：

嗯，我們推出的電場(chǎng)的方程跟經(jīng)典波動(dòng)方程的形式是一模一樣的，現(xiàn)在我們說(shuō)電場(chǎng)E是一個(gè)波，你還有任何異議么？

我們把電場(chǎng)E變成了一個(gè)獨(dú)立的方程，代價(jià)是這個(gè)方程變成了二階（方程出現(xiàn)了平方項(xiàng)）的。對(duì)于磁場(chǎng)，一樣的操作，我們對(duì)真空中麥克斯韋方程組的方程4（▽×B=μ0ε0（?E/ ?t））兩邊取旋度，再重復(fù)一次上面的過(guò)程，就會(huì)得到獨(dú)立的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方程：

這樣，我們就發(fā)現(xiàn)E和B都滿足波動(dòng)方程，也就是說(shuō)電場(chǎng)、磁場(chǎng)都以波動(dòng)的形式在空間中傳播，這自然就是電磁波了。

15電磁波的速度

對(duì)比一下電場(chǎng)和磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是形式是一模一樣的（就是把E和B互換了一下），這樣，它們的波速也應(yīng)該是一樣的。對(duì)比一下經(jīng)典波動(dòng)方程的速度項(xiàng)，電磁波的速度v自然就是這樣：

我們?nèi)ゲ橐幌娄?、ε0的數(shù)值，μ0=4π×10^-7N/A2，ε0=8.854187818×10^ -12 （F/m），代入進(jìn)去算一算：

再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。

前者是我們從麥克斯韋方程組算出來(lái)的電磁波的速度，后者是從實(shí)驗(yàn)里測(cè)出來(lái)的光速。有這樣的數(shù)據(jù)做支撐，麥克斯韋當(dāng)年才敢大膽的預(yù)測(cè)：光就是一種電磁波。

當(dāng)然，“光是一種電磁波”在我們現(xiàn)在看來(lái)并不稀奇，但是你回顧一下歷史：科學(xué)家們是在研究各種電現(xiàn)象的時(shí)候引入了真空介電常數(shù)ε0，在研究磁鐵的時(shí)候引入了真空磁導(dǎo)率μ0，它們壓根就跟光無(wú)關(guān)。麥克斯韋基于理論的美學(xué)和他驚人的數(shù)學(xué)才能，提出了位移電流假說(shuō)（從推導(dǎo)里我們也可以看到：如果沒(méi)有麥克斯韋加入的位移電流這一項(xiàng)，是不會(huì)有電磁波的），預(yù)言了電磁波，然后發(fā)現(xiàn)電磁波的速度只跟μ0、ε0相關(guān)，還剛好就等于人們測(cè)量的光速，這如何能不讓人震驚？

麥克斯韋一直以為自己在研究電磁理論，但是當(dāng)他的電磁大廈落成時(shí)，他卻意外地發(fā)現(xiàn)光的問(wèn)題也被順手解決了，原來(lái)他一直在蓋的是電磁光大廈。搞理論研究還可以買(mǎi)二送一，打折促銷力度如此之大，驚不驚喜，意不意外？

總之，麥克斯韋相信自己的方程，相信光是一種電磁波，當(dāng)赫茲最終在實(shí)驗(yàn)室里發(fā)現(xiàn)了電磁波，并證實(shí)它的速度確實(shí)等于光速之后，麥克斯韋和他的理論獲得了無(wú)上的榮耀。愛(ài)因斯坦后來(lái)卻因?yàn)椴惶嘈抛约旱姆匠蹋ㄕJ(rèn)為宇宙不可能在膨脹）轉(zhuǎn)而去修改了它，于是他就錯(cuò)失了預(yù)言宇宙膨脹的機(jī)會(huì)。當(dāng)后來(lái)哈勃用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)到宇宙確實(shí)在膨脹時(shí)，愛(ài)因斯坦為此懊惱不已。

16結(jié)語(yǔ)

回顧一下電磁波的推導(dǎo)過(guò)程，我們就是在真空麥克斯韋方程組的方程3和方程4的兩邊取旋度，然后就很自然的得出了電磁波的方程，然后得到了電磁波的速度等于光速c。這里有一個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題：這個(gè)電磁波的速度是相對(duì)誰(shuí)的？相對(duì)哪個(gè)參考系而言的？

在牛頓力學(xué)里，我們說(shuō)一個(gè)物體的速度，肯定是相對(duì)某個(gè)參考系而言的。你說(shuō)高鐵的速度是300km/h，這是相對(duì)地面的，你相對(duì)太陽(yáng)那速度就大了。這個(gè)道理在我們前面討論的波那里也一樣，我們說(shuō)波的速度一般都是這個(gè)波相對(duì)于它所在介質(zhì)的速度：比如繩子上的波通過(guò)繩子傳播，這個(gè)速度就是相對(duì)于繩子而言的；水波是在波在水里傳播，那么這個(gè)速度就是相對(duì)水而言的；聲波是波在空氣里傳播（真空中聽(tīng)不到聲音），聲波的速度就自然是相對(duì)空氣的速度。

那么，電磁波呢，從麥克斯韋方程組推導(dǎo)出的電磁波的速度是相對(duì)誰(shuí)的？水？空氣？顯然都不是，因?yàn)殡姶挪ú⒉恍枰蛘呖諝膺@種實(shí)體介質(zhì)才能傳播，它在真空中也能傳播，不然你是怎么看到太陽(yáng)光和宇宙深處的星光的？而且我們?cè)谕茖?dǎo)電磁波的過(guò)程中也根本沒(méi)有預(yù)設(shè)任何參考系。

于是當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家們就假設(shè)電磁波的介質(zhì)是一種遍布空間的叫作“以太”的東西，于是大家開(kāi)始去尋找以太，但是怎么找都找不到。另一方面，電磁波的發(fā)現(xiàn)極大地支持了麥克斯韋的電磁理論，但是它跟牛頓力學(xué)之間卻存在著根本矛盾，這種情況像極了現(xiàn)在廣義相對(duì)論和量子力學(xué)之間的矛盾。怎么辦呢？

1879年，麥克斯韋去世，同年，愛(ài)因斯坦降生，這仿佛是兩代偉人的一個(gè)交接儀式。麥克斯韋電磁理論與牛頓力學(xué)之間的矛盾，以及“以太”這個(gè)大坑都被年輕的愛(ài)因斯坦搞定了，愛(ài)因斯坦搞定它們的方法就是大名鼎鼎的狹義相對(duì)論。其實(shí)，當(dāng)麥克斯韋把他的電磁理論提出來(lái)之后，狹義相對(duì)論的問(wèn)世就幾乎是必然的了，因?yàn)辂溈怂鬼f的電磁理論其實(shí)就是狹義相對(duì)論框架下的理論，這也是它跟牛頓力學(xué)沖突的核心。所以，愛(ài)因斯坦才會(huì)把他狹義相對(duì)論的論文取名為《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》。

麥克斯韋的電磁理論結(jié)束了一個(gè)時(shí)代，卻又開(kāi)啟了一個(gè)新時(shí)代（相對(duì)論時(shí)代），它跟牛頓力學(xué)到底有什么矛盾？為什么非得狹義相對(duì)論才能解決這種矛盾？這些將是我后面要討論的重點(diǎn)。我會(huì)盡力讓大家看到科學(xué)的發(fā)展有它清晰的內(nèi)在邏輯和原因，并不是誰(shuí)拍拍腦袋就提出一個(gè)石破天驚的新理論出來(lái)的。

此外，電磁理論和牛頓力學(xué)的融合是人類解決兩個(gè)非常成功卻又直接沖突理論的一次非常寶貴的經(jīng)驗(yàn)，這跟我們現(xiàn)在面臨的問(wèn)題（廣義相對(duì)論和量子力學(xué)的沖突）非常類似。我希望能夠通過(guò)這種敘述給喜歡科學(xué)的少年們一些啟示，讓他們以后面對(duì)廣義相對(duì)論和量子力學(xué)沖突的時(shí)候，能夠有一些靈感。

嗯，沒(méi)錯(cuò)，我在期待未來(lái)的愛(ài)因斯坦~

審核編輯 ：李倩