”張正友標定”是指張正友教授1998年提出的單平面棋盤格的攝像機標定方法。文中提出的方法介于傳統(tǒng)標定法和自標定法之間,但克服了傳統(tǒng)標定法需要的高精度標定物的缺點,而僅需使用一個打印出來的棋盤格就可以。同時也相對于自標定而言,提高了精度,便于操作。因此張氏標定法被廣泛應用于計算機視覺方面。
原理
1.計算外參
設(shè)三維世界坐標的點為M=[X,Y,Z,1]T,二維相機平面像素坐標為m=[u,v,1]T,所以標定用的棋盤格平面到圖像平面的單應性關(guān)系為:sm=A[R,t]M
其中
不妨設(shè)棋盤格位于Z = 0,定義旋轉(zhuǎn)矩陣R的第i列為 ri, 則有:
令H=[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]
于是空間到圖像的映射可改為:sm=HM,
其中H是描述Homographic矩陣,H是一個齊次矩陣,所以有8個未知數(shù),至少需要8個方程,每對對應點能提供兩個方程,所以至少需要四個對應點,就可以算出世界平面到圖像平面的單應性矩陣H
外參具體計算公式。注意:R3是 t
一般而言,求解出的R = [r1 r2 t] 不會滿足正交與歸一的標準
在實際操作中,R 可以通過SVD分解實現(xiàn)規(guī)范化(詳見原文)
2.計算內(nèi)參
由r1和r2正交,且r1和r2的模相等,可以得到如下約束:
正交
模相等
可以推到出
根據(jù)推到的結(jié)果可知如果有n組觀察圖像,則V 是 2n x 6 的矩陣
根據(jù)最小二乘定義,V b = 0 的解是 VTV 最小特征值對應的特征向量。
因此, 可以直接估算出 b,后續(xù)可以通過b求解內(nèi)參
因為B中的未知量為6個,
所以當觀測平面 n ≥ 3 時,可以得到b的唯一解
當 n = 2時, 一般可令畸變參數(shù)γ = 0
當 n = 1時, 僅能估算出α 與 β, 此時一般可假定像主點坐標 u0 與 v0 為0
內(nèi)部參數(shù)可通過如下公式計算(cholesky分解):
內(nèi)參具體計算公式
3.最大似然估計
上述的推導結(jié)果是基于理想情況下的解,但由于可能存在高斯噪聲,所以使用最大似然估計進行優(yōu)化。設(shè)我們采集了n副包含棋盤格的圖像進行定標,每個圖像里有棋盤格角點m個。令第i副圖像上的角點Mj在上述計算得到的攝像機矩陣下圖像上的投影點為:
這里的K為相機內(nèi)參矩陣A
其中Ri和ti是第i副圖對應的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量,K是內(nèi)參數(shù)矩陣。則角點mij的概率密度函數(shù)為:
這里的K為相機內(nèi)參矩陣A
構(gòu)造似然函數(shù):
這里的K為相機內(nèi)參矩陣A
讓L取得最大值,即讓下面式子最小。這里使用的是多參數(shù)非線性系統(tǒng)優(yōu)化問題的Levenberg-Marquardt算法[2]進行迭代求最優(yōu)解。
這里的K為相機內(nèi)參矩陣A
4.徑向畸變估計
張氏標定法只關(guān)注了影響最大的徑向畸變。則數(shù)學表達式為:
其中,(u,v)是理想無畸變的像素坐標,(u,v)(u,v)是實際畸變后的像素坐標。(u0,v0)代表主點,(x,y)是理想無畸變的連續(xù)圖像坐標,(x,y)(x,y)是實際畸變后的連續(xù)圖像坐標。k1和k2為前兩階的畸變參數(shù)。
化作矩陣形式:
記做:Dk=d
則可得:
計算得到畸變系數(shù)k。
使用最大似然的思想優(yōu)化得到的結(jié)果,即像上一步一樣,LM法計算下列函數(shù)值最小的參數(shù)值:
這里的K為相機內(nèi)參矩陣A
到此,張氏標定法介紹完畢。我們也得到了相機內(nèi)參、外參和畸變系數(shù)。
相機標定步驟
打印一張棋盤格A4紙張(黑白間距已知),并貼在一個平板上
針對棋盤格拍攝若干張圖片(一般10-20張)
在圖片中檢測特征點(Harris特征)
利用解析解估算方法計算出5個內(nèi)部參數(shù),以及6個外部參數(shù)
根據(jù)極大似然估計策略,設(shè)計優(yōu)化目標并實現(xiàn)參數(shù)的refinement。
審核編輯:劉清
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原文標題:張正友標定算法原理詳解
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