基于改進(jìn)的二階振蕩粒子群算法的參數(shù)估計(jì)方法

引 言

線性調(diào)頻信號(hào)（LFM）在時(shí)域和頻域上具有理想的多普勒頻移和良好的壓縮性能，近年來(lái)，成為低截獲概率雷達(dá)信號(hào)的一種重要形式，在雷達(dá)、聲吶及通信等多領(lǐng)域得到了非常普遍的應(yīng)用。在電子對(duì)抗領(lǐng)域中，有許多重要的任務(wù)，如電子偵察和電子干擾，可以通過(guò)攔截?cái)撤嚼走_(dá)信號(hào)和從 LFM 信號(hào)中提取參數(shù)信息來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，LFM 信號(hào)參數(shù)能否準(zhǔn)確估計(jì)在頻譜估計(jì)中顯得至關(guān)重要。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在 LFM 信號(hào)的參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域做了許多的研究，從時(shí)域和頻域方面提出了一些可行的參數(shù)估計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]提出了基于霍夫變換短時(shí)傅里葉變換（STFT）的單源時(shí)頻域點(diǎn)選擇算法，克服了現(xiàn)有算法對(duì)頻譜重疊 LFM 信號(hào)的局限性；文獻(xiàn)[5]提出基于自適應(yīng)粒子群優(yōu)化（APSO）算法的分段重構(gòu)（SR）方法，對(duì)每個(gè)信號(hào)部分變換后實(shí)現(xiàn) SR，同時(shí)利用互相關(guān)指數(shù)來(lái)表示系統(tǒng)的性能，在信號(hào)增強(qiáng)和噪聲抑制方面有較好的性能；文獻(xiàn)[6]將盒維數(shù)理論引入到 LFM 參數(shù)估計(jì)中，通過(guò)探討信號(hào)參數(shù)與盒維數(shù)的關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的估計(jì)。但是上面的方法都在一定程度上增加了計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[7]采用稀疏傅里葉變換，試圖從不同的角度降低運(yùn)算量，但最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角度的判定與選擇沒(méi)有給出定論；文獻(xiàn)[8]引入了正交匹配追蹤算法，提出了一種估計(jì)分?jǐn)?shù)階帶限 LFM 初始頻率和最終頻率的改進(jìn)優(yōu)化算法，但是由于算法所要求的前提條件較多，對(duì)信號(hào)的估計(jì)有一定的限制；文獻(xiàn)[9?10]提出將基本粒子群算法用于基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的 LFM 信號(hào)參數(shù)估計(jì)中，通過(guò)改進(jìn)最優(yōu)階次的搜索問(wèn)題提高了精確度，但本質(zhì)仍是基于二維峰值搜索的方法，存在計(jì)算量和估計(jì)精度之間的矛盾。

由于實(shí)際的雷達(dá)接收機(jī)工作時(shí)會(huì)受到外界環(huán)境的影響，因此，本文針對(duì)在混合信號(hào)中輻射源信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究，建立輻射源 LFM 相參脈沖串信號(hào)模型，提出一種基于二階振蕩粒子群算法和分?jǐn)?shù)域展寬法（W?FRFT）相結(jié)合的參數(shù)估計(jì)方法。通過(guò)判斷鑒相脈沖幅度的變化來(lái)識(shí)別信號(hào)的相參性，區(qū)分目標(biāo)輻射源的信號(hào)，在此基礎(chǔ)上利用粒子群最優(yōu)值算法對(duì)積累后的信號(hào)計(jì)算最小分?jǐn)?shù)域展寬值得到 FRFT 的最優(yōu)階次，從而求得信號(hào)參數(shù)。與傳統(tǒng)方法相比，本文所提方法解決了最優(yōu)階次的精確與否受限于搜索間隔的問(wèn)題，使精確度和計(jì)算復(fù)雜度在一定程度上得到了改善。

1 相參脈沖串信號(hào)模型

對(duì)于接收機(jī)接收到的脈沖串信號(hào)，可以視作是在不同時(shí)刻對(duì)連續(xù)波信號(hào)加以線性調(diào)制。接收的 LFM 信號(hào)的離散數(shù)學(xué)模型表示為：

式中：P 為脈沖總個(gè)數(shù)；f0 為起始頻率；A0 為接收信號(hào)的幅度；M 為單個(gè)脈沖內(nèi)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；k 為調(diào)頻斜率；?0 為恒定的初始相位；Δt 為采樣間隔；Np為第 p 個(gè)脈沖重復(fù)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)；υ 為復(fù)高斯白噪聲干擾信號(hào)，實(shí)部與虛部噪聲相互獨(dú)立，假設(shè)信號(hào)為單一重頻、幅度不變的線性調(diào)頻信號(hào)。

2 雷達(dá)目標(biāo)輻射源信號(hào)識(shí)別

在多信息源和多傳感器的復(fù)雜環(huán)境中，目標(biāo)輻射源的信號(hào)往往會(huì)受到其他輻射源的干擾或者噪聲的影響，需要從測(cè)量到的混合信號(hào)中提取出目標(biāo)輻射源信號(hào)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，提取有用信息。

雷達(dá)輻射源發(fā)射的相參脈沖串信號(hào)之間的相位具有一致性或連續(xù)性，如果脈沖 1 和脈沖 2 來(lái)自于同一雷達(dá)輻射源，則兩個(gè)脈沖是相參的，即脈沖 1和脈沖 2的雷達(dá)輻射源的初始相位相同[11]；否則，脈沖之間的初始相位不同且信號(hào)是非相參的。因此可以根據(jù)此理論利用鑒相器的特性，采用時(shí)域識(shí)別法判別混合信號(hào)中的輻射源信號(hào)。

假設(shè)輸入的第 m 個(gè)脈沖信號(hào)為：

延遲 M 時(shí)間后，信號(hào)變?yōu)椋?/p>

式中，由于延遲造成的附加相位 θ = 2πfM。設(shè)延遲時(shí)間 M 等于一個(gè)脈沖重復(fù)間隔，因此當(dāng) Sm變成 Sm ( t + M ) 時(shí)，原信號(hào) Sm 的下個(gè)脈沖剛好到達(dá)混頻器：

當(dāng)式（3）和式（4）中 2 路信號(hào)進(jìn)入混頻器后，對(duì)此進(jìn)行共軛相乘運(yùn)算，共軛相乘后的信號(hào)經(jīng)過(guò)低通濾波器。

由于相參脈沖信號(hào)滿足初始相位均相同的特性，因此，若是來(lái)自同一輻射源的相參信號(hào)，則鑒相器輸出的鑒相脈沖幅度的實(shí)部為：

由于輸出的幅度實(shí)部與延遲造成的附加相位 θ、幅度 A0 和噪聲項(xiàng)有關(guān)，而前兩者均為恒定不變的值，因此P 個(gè)脈沖組成的脈沖串輸出的 P-1 個(gè)鑒相脈沖幅度僅僅噪聲組合項(xiàng)不同，而噪聲是均值相同的高斯白噪聲，所以式（6）輸出的幅度近似相同，脈沖幅度在 0.5上下輕微波動(dòng)。而若脈沖串為非相參的脈沖信號(hào)，相位差為一個(gè)周期內(nèi)的隨機(jī)量，則鑒相脈沖幅度會(huì)隨著相位差的隨機(jī)變化而在 0~0.5 范圍內(nèi)波動(dòng)起伏，且有明顯峰值。信號(hào)相參性時(shí)域識(shí)別法的具體識(shí)別流程圖如圖 1所示。

以一個(gè)混合信號(hào)脈沖串為例，其中前 50 個(gè)脈沖和后 150個(gè)脈沖為非相參信號(hào)，51~149個(gè)脈沖為來(lái)自目標(biāo)輻射源的相參信號(hào)。

如圖 2 仿真曲線所示，脈沖串信號(hào)通過(guò)鑒相判別，將相參信號(hào)和非相參信號(hào)通過(guò)幅度值范圍區(qū)分開(kāi)來(lái)，可以看出，非相參信號(hào)脈沖串幅度值不僅波動(dòng)范圍大，而且有明顯峰值，而相參信號(hào)脈沖串幅度值一直呈現(xiàn)平穩(wěn)狀態(tài)，證明此方法對(duì)于識(shí)別目標(biāo)輻射源相參信號(hào)有效。通過(guò)對(duì)接收到的混合信號(hào)進(jìn)行判別，可以準(zhǔn)確獲得目標(biāo)輻射源的信號(hào)，有利于后續(xù)的參數(shù)估計(jì)，獲得有效信息。

3 目標(biāo)輻射源信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

3.1 LFM 信號(hào)的 FRFT表示

在第 2 節(jié)中通過(guò)對(duì)混合脈沖信號(hào)進(jìn)行時(shí)域相參識(shí)別的處理，分離得到輻射源相參脈沖信號(hào)，對(duì)該脈沖信號(hào)進(jìn)行時(shí)域積累后進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。假定時(shí)域積累后脈沖寬度內(nèi)的 LFM 信號(hào)的復(fù)數(shù)表達(dá)式如下：

s ( t )的 FRFT的定義式為：

式中：p 是 FRFT 階次；Fp 是 FRFT算子；Kp(t,u)是 FRFT核[12]，表示為：

式中 Aα = 1 - jcot α ，α = pπ 2 為時(shí)頻平面的變換角度，取值范圍可以為任意實(shí)數(shù)。

LFM 信號(hào)在變換域上的分布如圖 3所示。

在圖 3 中，黑色斜線表示 LFM 信號(hào)的時(shí)頻分布線，β（0β0 ∈ ( 0, π 2 ) 或 β0∈（π 2，π））為時(shí)頻線與 t 軸的夾角，u ⊥ v 軸表示時(shí)、頻軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 角度，此處取 α∈[0，π]，由 α 和 p 的變換關(guān)系可得 p∈[0，2]。隨著旋轉(zhuǎn)角度α 的變化，F(xiàn)RFT 會(huì)形成一個(gè)時(shí)頻平面的變化，且不同的旋轉(zhuǎn)角度會(huì)帶來(lái)不同的聚集特性，包括頻譜在分?jǐn)?shù)域內(nèi)的寬度、頻譜的幅值等，但不變的性質(zhì)是信號(hào)只在其匹配的最佳分?jǐn)?shù)域內(nèi)出現(xiàn)頻譜尖峰。

3.2 基于 FRFT的分?jǐn)?shù)域展寬（W?FRFT）

由于 LFM 信號(hào)觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為 Tp，信號(hào)的時(shí)頻線與時(shí)間軸 t的角度為 β0，則 LFM 信號(hào)的時(shí)頻線長(zhǎng)度 ρ為[13]：

由式（10）可知，信號(hào)參數(shù) Tp 和 β0 已知時(shí)，時(shí)頻線長(zhǎng)度 ρ 是一個(gè)常量。當(dāng)時(shí)頻線在分?jǐn)?shù)域上旋轉(zhuǎn) α 角度后，在 u 軸上的投影為 ρα，即分?jǐn)?shù)域展寬值。此時(shí)設(shè)時(shí)頻線與 u 軸的夾角為 θ=β- α，其中取 β∈（0，π 2），此時(shí)，信號(hào)的分?jǐn)?shù)域展寬值為：

因此，當(dāng)信號(hào)確定時(shí)，LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)域展寬值是一個(gè)僅與旋轉(zhuǎn)角度α相關(guān)的值。α角度的變化影響時(shí)頻線在 u 軸的投影，當(dāng) α = β 時(shí)，ρ?u，此時(shí)，ρα 取得最大值；當(dāng) α =β+π2時(shí)，ρ ⊥ u，ρα 取得最小值，且 ρα趨近于0，此時(shí)α為最佳旋轉(zhuǎn)角度，對(duì)應(yīng)的p為最優(yōu)階次。

文獻(xiàn)[14]中為保持時(shí)域和頻域上的一致性，降低精度誤差，需要對(duì) LFM 信號(hào)進(jìn)行歸一化處理，設(shè)維度歸一化因子為S=(Tpfs1 2)，則初始頻率和調(diào)頻斜率的估計(jì)值為：

3.3 降低分?jǐn)?shù)階次以減小計(jì)算量

根據(jù)式（12），可得：

由奈奎斯特采樣定理可得，采樣頻率 fs 至少是帶寬B 的 2 倍，為了得到無(wú)失真的原始信號(hào)，采樣頻率 fs 必須滿足[15]：

將式（14）代入式（13）可得：

由于 α = pπ 2，所以式（15）可化為：

因此，F(xiàn)RFT 階次 p 從[0，2]縮小到[0.7，1.29]，與傳統(tǒng)的 FRFT方法相比，節(jié)省了 2 3左右的計(jì)算量。

4 基于二階振蕩粒子群算法和W?FRFT的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法

基于 W?FRFT算法進(jìn)行最優(yōu)階次 p求解時(shí)，需要對(duì) p進(jìn)行搜索，搜索間隔越小，誤差越小，估計(jì)精度越高，則所需時(shí)間越長(zhǎng)，反之，則造成參數(shù)估計(jì)誤差越大。因此，本文通過(guò)粒子群算法對(duì)基于分?jǐn)?shù)展寬原理的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行改進(jìn)，避免因搜索間隔問(wèn)題而不能準(zhǔn)確找到最優(yōu)解的情況。以分?jǐn)?shù)域展寬值為目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)，以階次[0.7，1.29]為位置范圍，在位置范圍內(nèi)尋找最小分?jǐn)?shù)域展寬值，從而得到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)階次。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中種群進(jìn)化是由粒子的速度公式和位置公式組成：

式中：Xij 和 Vij 分別是第 i 個(gè)粒子所處的位置和速度的第 j 維；pbestij 為第 i 個(gè)粒子在歷史最優(yōu)位置時(shí)的第 j 維；gbestj 為全局最優(yōu)位置的第 j 維[16]；W 為慣性權(quán)重；C1 和C2 分別為調(diào)節(jié)粒子自身最優(yōu)位置和全局歷史最優(yōu)位置靠近的權(quán)重；R1和 R2為相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。

但是標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中所有粒子的更新僅僅依靠它的個(gè)體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，并沒(méi)有考慮到粒子個(gè)體之間及粒子位置變化對(duì)它自身的影響，使得粒子沒(méi)有充分利用有效信息。

本文將改進(jìn)的二階振蕩粒子群算法引入到信號(hào)處理中，針對(duì)分?jǐn)?shù)域中最優(yōu)階次的搜索進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的粒子群算法的迭代公式如下：

這里的 ξi, i = 1, 2, 3, 4 雖然是隨機(jī)數(shù)，但是取值是有限制的，設(shè)最大迭代次數(shù)為Gmax：

同時(shí)，為了防止后期局部搜索能力變差，陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)[17]，并表示為：

式中 maxgen 為最大迭代次數(shù)。改進(jìn)后的參數(shù)估計(jì)算法充分利用了所有粒子的最優(yōu)位置的有效信息及同一粒子的位置變化信息，更加精確地搜索到最優(yōu)階次，避免了搜索間隔帶來(lái)的誤差，同時(shí)，減小了計(jì)算量，進(jìn)一步提高了算法的優(yōu)化性能。

基于二階振蕩粒子群算法與 W ?FRFT 相結(jié)合的優(yōu)化算法流程如下：

1）在混合信號(hào)中根據(jù)雷達(dá)輻射源發(fā)射信號(hào)的相參性識(shí)別出目標(biāo)輻射源的信號(hào)；

2）經(jīng)過(guò)時(shí)域積累后的信號(hào)在縮小后的階數(shù)范圍[0.7，1.29]內(nèi)，初始化粒子的位置并計(jì)算粒子的適應(yīng)度值，即分?jǐn)?shù)域展寬值；

3） 尋 找 粒 子 的 全 局 極 值 并 更 新 粒 子 的 位 置 和速度；

4）判斷是否滿足精度要求和迭代次數(shù)，如果不滿足，則回到步驟 3）；

5）若適應(yīng)度值滿足精度要求和迭代次數(shù)，則輸出最小適應(yīng)度值即最小分?jǐn)?shù)域展寬值和最優(yōu)階次，根據(jù)式（12）計(jì)算初始頻率 f和調(diào)頻斜率 k。

5 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文以接收寬帶 LFM 信號(hào)為例，其初始頻率 f0 =100 MHz，采樣頻率 fs =2.4 GHz，振幅 Ap = 1，脈沖寬度Tp=1 μs，帶寬 B =500 MHz，調(diào)頻斜率 k = B Tp。

分別對(duì)兩種粒子群算法改進(jìn)的參數(shù)估計(jì)算法進(jìn)行比較：二階振蕩粒子群優(yōu)化算法中選取粒子數(shù)為 50，迭代次數(shù)為 200；標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法選取粒子數(shù)為 60，迭代次數(shù)為 200，其他參數(shù)均相同。

從圖 4 中可以看出，即使在粒子數(shù)較少的條件下，振蕩粒子群算法在迭代 22 次左右就已經(jīng)趨向于穩(wěn)定，而標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在 100 次之后才能達(dá)到近似相同的適應(yīng)度值。

在高斯噪聲條件下，分別對(duì)不同的算法進(jìn)行計(jì)算精度分析。在信噪比為-15~5 dB 范圍內(nèi)，分別采用峰值搜索、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法與二階振蕩粒子群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，每間隔 1 dB 進(jìn)行 100 次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算參數(shù)估計(jì)的均方誤差，衡量算法的計(jì)算精度。其中，相對(duì)誤差的定義為：

式中：η 和 ηi分別為參數(shù)實(shí)際值和第 i 次的估計(jì)值；N 為蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù)。

調(diào)頻斜率和初始頻率的均方根誤差與信噪比的關(guān)系分別如圖 5和圖 6所示。

在低信噪比時(shí)，二維峰值搜索算法比較依賴于信噪比，相對(duì)誤差較大，隨著信噪比的增加，在高信噪比時(shí)相比于改進(jìn)的算法有較小的相對(duì)誤差。文獻(xiàn)[9]中基于粒子群算法和 FRFT 的算法相對(duì)于傳統(tǒng)算法有一定的改進(jìn)，但是基于二階振蕩粒子群算法和 W ?FRFT 的算法在低信噪比時(shí)的相對(duì)誤差更低，且測(cè)量誤差在千赫茲以內(nèi)。由于幅相失真條件更復(fù)雜，參數(shù)估計(jì)性能會(huì)下降。

6 結(jié) 論

針對(duì)混合信號(hào)中的目標(biāo)輻射源的識(shí)別和參數(shù)估計(jì)精度與搜索間隔存在矛盾的問(wèn)題，本文提出一種二階振蕩粒子群算法與 W?FRFT 算法相結(jié)合的 LFM 信號(hào)檢測(cè)方法。仿真結(jié)果表明，本文方法可以準(zhǔn)確識(shí)別出輻射源的信號(hào)，且當(dāng)其他實(shí)驗(yàn)條件相同時(shí)，在信噪比為-9 dB的條件下，相比于其他粒子群改進(jìn)算法，本文算法的迭代過(guò)程能更快趨向于穩(wěn)定，且相對(duì)誤差與峰值搜索算法相差 10-1數(shù)量級(jí)。

審核編輯：郭婷