濾波器設(shè)計(jì)中的橢圓函數(shù)

是翻譯自IEEE上關(guān)于濾波器設(shè)計(jì)中所用到的橢圓函數(shù)知識，文章非常經(jīng)典，值得拜讀。限于譯者水平，文中有不少翻譯不恰當(dāng)?shù)牡胤?，希望讀者提出寶貴意見，批評指正。英文原文見附錄。

摘要

本文簡要介紹了雅可比橢圓函數(shù)(Jacobian elliptic functions)和蘭登變換(Landen transformation)的基本性質(zhì)，將它們與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)聯(lián)系起來，從而提供了一個評估橢圓函數(shù)的最準(zhǔn)確方法。解釋了橢圓函數(shù)在創(chuàng)建等波紋低通濾波器中的應(yīng)用，并通過示例說明了它們的數(shù)值計(jì)算方法。包括一個用于設(shè)計(jì)的Fortran程序，并給出了一個更快、更準(zhǔn)確的替代Matlab的ellipap函數(shù)的方案。

I. 引言

自1930年代以來，人們就知道在通帶和阻帶中具有等紋波響應(yīng)的低通濾波器的傳遞函數(shù)可以用雅可比橢圓函數(shù)(Jacobian elliptic function)來精確描述[1]。這種濾波器也被稱作卡爾濾波器(Cauer filter)、橢圓函數(shù)濾波器(elliptic-function filter)，有時(shí)干脆被稱為橢圓濾波器(elliptic filter)，最后一個名字不推薦使用，因?yàn)樗凳緸V波器是蛋形的！它們過去被廣泛用于各種模擬濾波器，現(xiàn)在也經(jīng)常應(yīng)用于IIR數(shù)字濾波器中。

遺憾的是，很少有工程師在他們的教育過程中接受過任何關(guān)于橢圓函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)課程，并且人們認(rèn)為他們的數(shù)值計(jì)算(如濾波器設(shè)計(jì)的那樣)既復(fù)雜又困難。這也促使了幾位作者設(shè)計(jì)出無需使用橢圓函數(shù)的設(shè)計(jì)此類濾波器的方法[2]-[5]。達(dá)林頓(Darlington)在文獻(xiàn)[6]、[7]中提供了一種巧妙的方法是將切比雪夫有理分?jǐn)?shù)改為一系列的變換，最終得到了奇數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器的傳遞函數(shù)。

本文章的目的是簡單描述雅可比橢圓函數(shù)的性質(zhì)，以及它們在應(yīng)用于濾波器問題時(shí)與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的關(guān)系。在這里并沒有試圖給出該理論在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格和形式化的結(jié)果，或者證明；目的只是傳達(dá)對這些函數(shù)的一般特性的理解。假定讀者接受了典型的工程本科教育，其中包括復(fù)變理論的課程。強(qiáng)烈推薦有興趣想要更詳細(xì)地研究該主題的讀者閱讀Neville 的經(jīng)典著作[8]，必須承認(rèn)這是一本不太適合隨便參考的書。

對雅可比橢圓函數(shù)的討論引出了對蘭登變換的描述，從而引出了非常準(zhǔn)確的計(jì)算這些函數(shù)的方法。在此背景下，我們展示了如何使用橢圓函數(shù)通過一對參數(shù)方程的方式來定義所需的濾波器響應(yīng)，其與使用三角函數(shù)來定義切比雪夫?yàn)V波器的方式完全相同。最后，我們討論了如何通過蘭登變換計(jì)算傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的細(xì)節(jié)。該論文包括一個用于執(zhí)行設(shè)計(jì)的Fortran程序和一個數(shù)值示例來說明這些步驟。本文還給出了一個更快、更準(zhǔn)確的替代Matlab的ellipap函數(shù)的方法。

II. 周期函數(shù)

A. 單周期函數(shù)

在復(fù)數(shù)域下的所有函數(shù)中，橢圓函數(shù)的特點(diǎn)是其雙周期性質(zhì)。在這方面，它們類似于非常常見的單周期初等函數(shù)，但比它們復(fù)雜一些。具有周期為的單周期函數(shù)對于所有滿足關(guān)系，對于所有整數(shù)也滿足。

基本初等函數(shù)是單周期的，具有虛周期，并且這個虛周期由雙曲函數(shù)和共享，原因是它們只是與的線性組合。將指數(shù)函數(shù)中的替換為會將其轉(zhuǎn)換為具有實(shí)周期的單周期函數(shù)，它由三角函數(shù)和共享。

單周期函數(shù)變量的復(fù)平面根據(jù)周期性可以看作被分解為無限個寬度為且等于周期值的全等周期帶。對位于這些條帶中的任意點(diǎn)，在每個其他條帶中都會有一個全等點(diǎn)，這樣所有這些點(diǎn)的函數(shù)值都是相同的。和的周期帶寬度為并且無限長，并排平行于虛軸，而和的周期帶形狀與之相同，只是它們平行于實(shí)軸，如圖1所示。

圖1 (a) 和(b) 的周期帶

相比之下，函數(shù)和的周期分別為和，因此它們的周期帶的寬度為，而不是。如果，其中是三角或雙曲正弦或余弦，我們會發(fā)現(xiàn)一條寬度為的無限帶，以函數(shù)的零點(diǎn)為中心，即，周期帶的一半，將一一映射到整個-平面上，而如果是正切函數(shù)，則是整個周期帶映射到整個-平面。

B. 雙周期函數(shù)(橢圓函數(shù))

單周期函數(shù)的存在引出了一個問題，即，是否存在具有兩個或更多個不同周期的函數(shù)？不難證明：1)一個函數(shù)不能有三個或更多個周期，2)如果一個函數(shù)有兩個周期，周期的比不可能是實(shí)數(shù)；換句話說，周期必須指向復(fù)平面中的不同方向，而不是沿著同一條直線上。僅受此限制，我們可以構(gòu)造一個單值雙周期函數(shù)，其中兩個周期分別是復(fù)數(shù)和，因此對于所有和所有整數(shù)和有。

雙周期讓-平面上的所有所構(gòu)成的無限二維點(diǎn)陣相互關(guān)聯(lián)。在這些點(diǎn)周圍可以看到無限個周期平行四邊形陣列，每個平行四邊形的邊分別為和，這樣，對于任何值，網(wǎng)格在平行四邊形中會形成一組全等點(diǎn)。由于點(diǎn)陣可以同樣很好地被或描述，可以取如,和中的任意兩個，很明顯，周期不是很具代表性，這將改變相應(yīng)周期平行四邊形的形狀，但不會改變面積。

在每個周期內(nèi)，平行四邊形必須至少具有一個奇點(diǎn)，要么就什么都沒有，因此根據(jù)劉維爾定理(Liouville’s theorem)它將是一個常數(shù)。此外，在周期平行四邊形邊界周圍的積分必須為零，因?yàn)橛捎谥芷谛裕叫兴倪呅螌厡Ψe分的貢獻(xiàn)將抵消。因此，根據(jù)柯西留數(shù)定理(Cauchy residue theorem)，平行四邊形內(nèi)奇點(diǎn)處的留數(shù)之和也必須為零。由于具有零留數(shù)的簡單極點(diǎn)根本就不是極點(diǎn)，因此最簡單的橢圓函數(shù)要么有一個具有零留數(shù)的雙極點(diǎn)，要么有兩個具有相等且相反的留數(shù)的簡單極點(diǎn)。

橢圓函數(shù)的復(fù)雜性或階數(shù)（order）由包含在周期平行四邊形內(nèi)的極點(diǎn)階數(shù)之和來衡量。我們看到?jīng)]有一階的橢圓函數(shù)，以及兩種不同的二階橢圓函數(shù)。很容易理解，如果是一個橢圓函數(shù)，那么也是，且具有相同的階數(shù)和周期。由此可知，二階橢圓函數(shù)在每個周期平行四邊形中具有一個雙零點(diǎn)或兩個單零點(diǎn)。

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)首先描述了一個二階橢圓函數(shù)，每個平行四邊形有一個零留數(shù)的雙極點(diǎn)，并以他的名字命名。它的簡單性使其成為該學(xué)科理論的基本工具，也可以用作系統(tǒng)構(gòu)造每個平行四邊形有兩個簡單極點(diǎn)的二階橢圓函數(shù)的"墊腳石"，魏爾斯特拉斯函數(shù)適當(dāng)歸一化后就變?yōu)槲覀兯P(guān)注的雅可比函數(shù)。對于實(shí)際應(yīng)用，雅可比函數(shù)比魏爾斯特拉斯函數(shù)更有用，而且雅可比函數(shù)的發(fā)現(xiàn)要早了幾十年，它們每個平行四邊形也有兩個簡單的零點(diǎn)以及兩個簡單的極點(diǎn)。

III. 雅可比函數(shù)

就像有六種不同的三角函數(shù)一樣，即正弦、余弦、正切和它們的倒數(shù)，雅可比橢圓函數(shù)有十二種。正如正弦和正切的周期分別為和，所以雅可比函數(shù)也有一組周期與另一組之間相差兩倍的周期，長期以來，標(biāo)準(zhǔn)的做法是用被稱為四分之一周期的量來描述周期，它對橢圓函數(shù)的作用與對三角函數(shù)和雙曲函數(shù)所起的作用相同。

雅可比函數(shù)應(yīng)用到的實(shí)際問題的性質(zhì)通常要求一個四分之一周期是實(shí)數(shù)(用表示)，而另一個四分之一周期是虛數(shù)(用表示)，我們將把討論限制在這個特殊但非常重要的實(shí)例上。變量復(fù)平面第一象限的四個角分別在、、和的矩形稱為基本矩形(the fundamental rectangle)。這個矩形的四個角分別用字母表示，原點(diǎn)(起點(diǎn), Start，譯注，也可以用相位為0的sin助記)的角是S，對角(Diagonally)的角是D，重合(Coincides，譯注，也可以用相位為的cos助記)于實(shí)軸的角是C，垂直(Normal)于實(shí)軸的角是N(本描述中的頭韻用作助記符！)，具體排列如圖2所示。

圖2 基本矩形

每個雅可比函數(shù)在這個矩形的一個角處都有一個零點(diǎn)，在另一個角處有一個極點(diǎn)。由于零點(diǎn)可以先放置在4個角中的任何一個，然后將極點(diǎn)放置在其余3個角中的任何一個，所以總共有種可能性；這就是上面所提到的12種不同的雅可比函數(shù)。每個函數(shù)都有一個由兩個字母構(gòu)成的名稱，其巧妙地表明了他們的零極點(diǎn)組合模式，第一個字母表示包含零點(diǎn)的角，第二個字母表示包含極點(diǎn)的角。因此，如函數(shù)表示在S處具有零，在N處具有極點(diǎn)，以此類推。

然后，12個函數(shù)中的每一個的零極點(diǎn)模式都相當(dāng)簡單地從基本矩形延伸到復(fù)平面的其余部分。每個函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都排列在相同的基本格點(diǎn)上，即所有整數(shù)和的，并且僅通過格點(diǎn)距原點(diǎn)的位移來彼此區(qū)分。該位移等于基本矩形角處特定函數(shù)的極點(diǎn)或零點(diǎn)的位移。例如，函數(shù)的極點(diǎn)在N，，因此極點(diǎn)集合在，而零點(diǎn)在S，其中，所以零集合位于。三個典型函數(shù)、、的零極點(diǎn)模式如圖3所示。

圖3 a) , b) , c) 的零極點(diǎn)模式

當(dāng)然，在基本矩形的邊界周圍，從零點(diǎn)到每個雅可比函數(shù)的極點(diǎn)有兩條可能的路徑。一條包含矩形的邊位于正實(shí)軸上的路徑，函數(shù)將其映射到整個正實(shí)軸上，而另一條路徑將被映射到整個正或負(fù)虛軸上?；揪匦芜吔缟系暮瘮?shù)值總是在有極點(diǎn)或零點(diǎn)的角處由實(shí)數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，反之亦然。這意味著每個雅可比函數(shù)都將基本矩形映射到第一象限或第四象限。

如果我們將變量的整個平面可視化為由與橢圓函數(shù)的基本矩形一致的矩形所覆蓋，并且矩形的角在處，如圖3所示，然后每個這樣的矩形將被映射到-平面的四個象限之一。其中四個矩形的任何其中心處函數(shù)值為零的塊將始終映射到整個-平面上。例如，函數(shù)在原點(diǎn)有一個零，圍繞這個零的四個矩形將映射到整個-平面上，如圖4所示。

圖4 對于，-平面中顯示的四個矩形映射到整個-平面上，每個矩形中的數(shù)字是其映射到的-平面中象限數(shù)字

如果需要，可以將三角函數(shù)的周期指定為函數(shù)的獨(dú)立參數(shù)，但對于定義和制表來說，將周期固定為或并讓用戶調(diào)整變量的比例來確定周期會更簡單。同理，雅可比函數(shù)可以將它們的實(shí)部和虛部四分之一周期作為兩個獨(dú)立的參數(shù)。但是函數(shù)的基本屬性只取決于基本矩形的形狀，而不是其絕對大小，標(biāo)準(zhǔn)做法是用一個參數(shù)來指定這個形狀，讓大小自動調(diào)整以滿足某些規(guī)范化的約束。

雅可比橢圓函數(shù)起源于計(jì)算橢圓弧長時(shí)使用的積分求逆，并由此衍生出它們的名稱含有橢圓二字。例如，函數(shù)完全由如下積分定義在這個積分中出現(xiàn)的參數(shù)被稱為模數(shù)(不要與表示復(fù)數(shù)大小的模長相混淆)，對于我們正在考慮的實(shí)際情況，它是滿足的實(shí)數(shù)。它通常通過模角確定為。與相關(guān)的另外一個量是補(bǔ)模。通常，一個正在待求的函數(shù)的模是已知的，并且不需要在每個函數(shù)出現(xiàn)時(shí)明確說明它，但如果必須明確，我們會寫成。

這種定義雅可比函數(shù)的方式不僅會使四分之一周期的比率固定為單個參數(shù)，而且它們的絕對大小也固定，從而實(shí)現(xiàn)了所有十二個函數(shù)非常簡單的歸一化。特別是，在原點(diǎn)處具有零或極點(diǎn)的六個函數(shù)(、、、、、)是奇函數(shù)，如果為零點(diǎn)則導(dǎo)數(shù)為1，如果極點(diǎn)則留數(shù)為1. 其余六個函數(shù)(、、、、、)是偶函數(shù)，并且在原點(diǎn)處為1。這種歸一化的另一個結(jié)果是，如果表示, , , 中的任意三個，則雅可比函數(shù)滿足公式。、、這三個函數(shù)是雅可比在1827年通過反轉(zhuǎn)橢圓積分獲得的原始函數(shù)，其他九個函數(shù)是1882年由Glaisher引入的，作為前三個函數(shù)的倒數(shù)和商。

如果在(1)中，我們令并注意到，我們得到四分之一周期的一個以模數(shù)的積分表達(dá)式，即如果在(2)中將替換為，則所得積分給出而不是。當(dāng)時(shí)，(1)中的積分簡化為函數(shù)的積分，我們得到。由，我們從(2)中看到當(dāng)時(shí)。類似地，當(dāng)時(shí)，(1)中的積分簡化為函數(shù)的積分，我們得到。在這種情況下，當(dāng)時(shí)，(1)中的積分發(fā)散，因此從(2)我們看到當(dāng)時(shí)。通過在(2)中將替換為，我們可以推導(dǎo)出當(dāng)(并且)和時(shí)當(dāng)(并且)。

三角函數(shù)和雙曲正弦和余弦的平方滿足簡單的線性關(guān)系，即從這些可以找到所有剩余的其他三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。雅可比函數(shù)具有與這些完全相似的性質(zhì)。它們位于共極點(diǎn)的三個函數(shù)、、中的任意兩個之間。三個經(jīng)典函數(shù)形成這樣一個極點(diǎn)在的集合，并且滿足使用上面給出的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出其他三組共極點(diǎn)函數(shù)之間的關(guān)系。

最后，我們考慮將雅可比函數(shù)的參數(shù)從更改為的效果，有時(shí)稱為雅可比虛變換。這種變換相當(dāng)于將-平面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)應(yīng)用于三角函數(shù)或雙曲函數(shù)時(shí)，會將一類函數(shù)的周期帶旋轉(zhuǎn)到另一類函數(shù)的周期帶中。例如，我們得到如下眾所周知的結(jié)果對于雅可比函數(shù)的基本矩形，這個圍繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)等同于平面圍繞通過原點(diǎn)的線的旋轉(zhuǎn)。然后很明顯，在基本矩形中，實(shí)數(shù)和虛數(shù)的四分之一周期和相互交換，對于和也是如此。除了位置互換外，四分之一周期的大小并沒有變化。

基本矩形的這種旋轉(zhuǎn)在其兩個角處帶有極點(diǎn)和零點(diǎn)。因此，在旋轉(zhuǎn)后標(biāo)記為S或D的拐角處的極點(diǎn)或零點(diǎn)仍將位于這些相同的標(biāo)記拐角處，但標(biāo)記為C的拐角處的極點(diǎn)或零點(diǎn)將出現(xiàn)在標(biāo)記為N的拐角處，反之亦然。因此，在任何如此變換的雅可比函數(shù)的名稱中，我們必須將更改為并將更改為，然后將模數(shù)從更改為。對于三個經(jīng)典函數(shù)，我們得到以下結(jié)果：其余九個函數(shù)的結(jié)果可以通過這三個函數(shù)的商和倒數(shù)得到。六個奇函數(shù)將包含因子，與函數(shù)一樣，而六個偶函數(shù)將還是保持實(shí)數(shù)值，與和函數(shù)一樣。

盡管我們一開始注意到雙周期是所有橢圓函數(shù)的顯著特征，但詳細(xì)了解十二個雅可比函數(shù)中的每一個都具有哪些周期對我們目前所討論的內(nèi)容用處不大，讀者可能已經(jīng)推斷出，我們稍后將繼續(xù)深入討論周期是和的和函數(shù)。

IV. 蘭登變換

如果模數(shù)趨于零，則比率將趨于無窮大，雅可比函數(shù)及其周期矩形將分別退化為三角函數(shù)及其周期帶。相反，如果趨于1，將趨于零，雅可比函數(shù)及其周期矩形將退化為雙曲函數(shù)及其周期帶。在三角函數(shù)極限, , 和，而在雙曲函數(shù)極限, ，，。帶撇號參數(shù)和不帶撇號參數(shù)之間完全對稱。

這表明橢圓函數(shù)占據(jù)了從一端的三角函數(shù)到另一端的雙曲函數(shù)的連續(xù)路徑，和作為沿其位置的對稱度量。在路徑的中心，基本矩形是一個正方形，和。蘭登變換是一種通過修改或以使每一步中的比率加倍或減半，并沿此路徑在任一方向上以離散步驟移動的方法。這種變換前后的函數(shù)值的變化在代數(shù)上可以非常簡單地實(shí)現(xiàn)。

四或五次連續(xù)變換通常足以滿足設(shè)計(jì)要求，這樣在濾波器設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的任何實(shí)際值移動到橢圓函數(shù)在數(shù)值上達(dá)到與極限的三角函數(shù)或雙曲函數(shù)無法區(qū)分的點(diǎn)。三角函數(shù)或雙曲函數(shù)是可以被計(jì)算出來的，然后通過計(jì)算中間橢圓函數(shù)，并通過連接它們的代數(shù)關(guān)系，最終找到所需的橢圓函數(shù)。在濾波器設(shè)計(jì)中，即使從雙曲函數(shù)端可能需要稍微少一些變換步驟，但從三角函數(shù)端執(zhí)行這個計(jì)算會更簡單，這是因?yàn)殚_始計(jì)算所需的三角函數(shù)比雙曲函數(shù)更容易找到。考慮函數(shù)其中，我們將作為變量上的比例因子，以便使基本矩形沿-平面中實(shí)軸的邊歸一化而與值無關(guān)。公式第一項(xiàng)在處有極點(diǎn)，而第二項(xiàng)在分母中的函數(shù)的零點(diǎn)處有極點(diǎn)。所有這些極點(diǎn)上關(guān)于變量的留數(shù)值為。第二項(xiàng)分子中的因子是必需的，因?yàn)榉帜钢?span>函數(shù)零點(diǎn)對具有的導(dǎo)數(shù)。因此，整個函數(shù)在處有極點(diǎn)，留數(shù)為。這些正是其模數(shù)被選擇為使其四分之一周期比率的一半的函數(shù)的極點(diǎn)。

給出函數(shù)，其中選擇模數(shù)使得四分之一周期和滿足。使用這個結(jié)果，我們看到的極點(diǎn)位于。當(dāng)時(shí)，和都等于1，因此需要一個因子來滿足以下恒等式：具有模數(shù)的函數(shù)是比具有模數(shù)的函數(shù)更遠(yuǎn)離三角函數(shù)末端路徑的一個蘭登變換，并且(8)是上面提到的代數(shù)關(guān)系。由四分之一周期因子對實(shí)現(xiàn)的歸一化以及由變換引起的形狀變化導(dǎo)致模數(shù)的基本矩形恰好占據(jù)模數(shù)矩形的下半部分。

與(8)相同的結(jié)果也適用于函數(shù)。和函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都沿著平行于虛軸的線交錯排列，即平行于三角函數(shù)的周期帶，這使得它們適合從三角函數(shù)端跟蹤路徑。接下來，為了補(bǔ)充(8)中的關(guān)系，我們需要知道如何從計(jì)算。

這可以通過在以模數(shù)的基本矩形的D角處來評估公式(8)兩側(cè)的等式，即在點(diǎn)處。從上面的注解可以看出，模數(shù)矩形的D角僅是模數(shù)矩形中從C角到D角的邊的一半。函數(shù)在其D角處的值等于其模數(shù)，而從C到D中間的值等于模數(shù)的平方根。使用這些信息，我們發(fā)現(xiàn)(8)在這個值下減少到。

為了以更適合以計(jì)算的形式來組織符號，我們用和分別表示橢圓函數(shù)的模數(shù)和四分之一周期，這些橢圓函數(shù)是個連續(xù)向三角函數(shù)端的蘭登變換，其中是一個整數(shù)，對應(yīng)于所求函數(shù)。在這種表示法中，上面的結(jié)果變?yōu)?span>將(9)求逆得到關(guān)于的一個二次方程，其兩個根互為倒數(shù)。因?yàn)?span>要小于1，我們必須在這里選擇較小的那個值，它可以寫成數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定的形式(10)中的遞推生成一個模數(shù)序列，隨著的增加迅速趨于零，當(dāng)模數(shù)小于時(shí)終止，其中是小數(shù)位數(shù)。請注意，模數(shù)大小的減小不是通過減法來實(shí)現(xiàn)的，而是通過除法和平方來實(shí)現(xiàn)的，這可能會對數(shù)值精度產(chǎn)生除了通常的舍入影響外的不利影響，整個序列將保持完整的位數(shù)字精度。

雖然只有十二個雅可比函數(shù)中的兩個，即和，可以從三角函數(shù)端回溯，其他十一個函數(shù)中的任何一個都可以通過使用從(4)導(dǎo)出的關(guān)系從而可以從這兩個中的任何一個求解。幸運(yùn)的是，濾波器問題主要使用或，它們只需要依據(jù)對應(yīng)函數(shù)的倒數(shù)來求解。另外函數(shù)是函數(shù)移動了四分之一周期，即。在新表示法中，和函數(shù)都滿足(8)的重寫版本，即與(8)中一樣，所有橢圓函數(shù)的參數(shù)都表示為適當(dāng)四分之一周期的某個分?jǐn)?shù)，這里用a表示。這對于濾波器應(yīng)用來說特別方便，因?yàn)閹缀跛行枰臋E圓函數(shù)都有這樣的參數(shù)自然地顯示為四分之一周期的固定分?jǐn)?shù)。因此當(dāng)路徑接近三角函數(shù)的末端時(shí)，這個參數(shù)的極限值是，式(11)中的遞歸從開始。的與之類似的過程將從開始。

如果我們將橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換為路徑末端是雙曲函數(shù)，那么用于跟蹤橢圓函數(shù)的是，而不是。我們再次將整數(shù)下標(biāo)附加到模數(shù)和四分之一周期以指示在向雙曲函數(shù)末端進(jìn)行次蘭登變換后獲得的值。不應(yīng)與前面描述的下標(biāo)混淆，因?yàn)槲覀儾粫瑫r(shí)使用兩條路徑。

與從三角函數(shù)端開始的路徑一樣，從雙曲函數(shù)端只能尋得兩個雅可比函數(shù)。這些是和函數(shù)，它們的極點(diǎn)和零點(diǎn)沿著平行于實(shí)軸的線交錯排列，即平行于雙曲函數(shù)的周期帶。或公式的推導(dǎo)，對應(yīng)于(8)，幾乎遵循相同的套路，但有一點(diǎn)不同，現(xiàn)在，用于模數(shù)的-平面中的基本矩形必須占據(jù)用于模數(shù)的矩形的左半部分(而不是下半部分)。這需要選擇，使得，并在左側(cè)的變量上用一個因子代替。與的相鄰值相關(guān)的公式與(10)中的相同，并且是這與增加的方式與前述完全相同，就像(10)中的一樣，序列以相同的方式終止。

與函數(shù)的(11)對應(yīng)的是函數(shù)的遞歸方式函數(shù)的遞歸與之前唯一不同點(diǎn)只是在方括號內(nèi)的兩主項(xiàng)之間的符號。

在三角函數(shù)的末端具有極限值，因此起始三角函數(shù)具有簡單的參數(shù)。但是，在雙曲函數(shù)的末端，趨于無窮大，只有具有唯一的極限值。因此，起始雙曲函數(shù)的參數(shù)是乘以這個極限值。如果我們采用次變換來達(dá)到與雙曲函數(shù)的數(shù)值相等，我們必須首先使用例如以下近似值來計(jì)算，該近似值源自函數(shù)[8]的理論，當(dāng)非常小時(shí)，有然后，(13)中遞歸的起始雙曲函數(shù)是我們通過展示尋找函數(shù)值的步驟來說明這些計(jì)算方法，首先從三角函數(shù)端開始，然后從雙曲函數(shù)端開始。整個過程都使用了相當(dāng)于14位小數(shù)的雙精度計(jì)算。表I顯示了從三角函數(shù)端計(jì)算所涉及的量。為了簡化顯示，只給出了所用14位數(shù)字中的前十位。五次變換足以將模數(shù)減小到小于，并且在表中與這個最小模數(shù)相鄰的是，它是起始的三角函數(shù)。在通過(11)跟蹤到之后，我們得到相應(yīng)的函數(shù)值。其倒數(shù)是。

表II顯示了從雙曲函數(shù)端的類似計(jì)算。這里還需要五次遞歸來將補(bǔ)模降低到以下。在這個階段，我們使用(14)找到實(shí)際四分之一周期然后除以得到。其值的三分之一作為函數(shù)的參數(shù)代入，得到的值放入與最小的補(bǔ)模相鄰的位置上。然后使用(13)將函數(shù)遞歸到，并通過(4)找到想要的函數(shù)，重新寫作為. 這給出了與之前從三角函數(shù)端計(jì)算的函數(shù)相同的值，到14位小數(shù)精度。

V. 橢圓函數(shù)濾波器

在電子濾波器發(fā)明之后的前半個世紀(jì)里，設(shè)計(jì)師使用了一種似乎是描述其行為的最自然的方式，即輸入/輸出傳遞函數(shù)。但是，隨著使用輸出/輸入傳遞函數(shù)的系統(tǒng)理論的發(fā)展，濾波器設(shè)計(jì)者被說服(委婉地說)采用相同的慣例，例如，我們現(xiàn)在將純無源濾波器的響應(yīng)繪制為增益，以分貝(dB)為單位，所有縱坐標(biāo)均為負(fù)值！我們無意在此爭論這兩種選擇的優(yōu)點(diǎn)，而只是指出在本文中我們使用輸入/輸出傳遞函數(shù)來描述行為(譯注，本文使用了傳統(tǒng)的插入損耗，全部是正值，和我們平?？吹降臑V波器頻響曲線上下顛倒)。

我們希望討論的低通濾波器，在通帶中損耗具有等紋波響應(yīng)，在阻帶中具有等最小值響應(yīng)，這可以看作是通帶中的損耗是等紋波并且在阻帶中單調(diào)遞增的切比雪夫?yàn)V波器的推廣。為了使前者的描述更容易理解，我們先分析切比雪夫?yàn)V波器，然后由簡入繁的逐步推廣到橢圓函數(shù)濾波器。

我們由三個復(fù)變量、和所構(gòu)成的參數(shù)方程來定義歸一化的切比雪夫?yàn)V波器其中是峰峰值幅度的等紋波通帶損耗且。當(dāng)然，可以聯(lián)立(16a)和(16b)消掉參數(shù)并最終得到一個包含切比雪夫多項(xiàng)式的方程，但以這種形式進(jìn)行分析更加困難。在這里使用代替單個參數(shù)變量，以便能夠在稍后作為雅可比四分之一周期出現(xiàn)因子。整數(shù)定義為多項(xiàng)式的階數(shù)，并滿足(16a)中余弦的周期帶寬度是(16b)中余弦周期帶寬度的，因此前者周期帶的倍恰好和后者并排重合。

為了找到濾波器的自然頻率，即的零點(diǎn)，我們令(16a)為零并求解以獲得的相應(yīng)值。然后將這些代入(16b)以獲得和的所需值，令(16a)為零，得到要使成為復(fù)數(shù)，那么必須是位于-平面中映射到余弦平面的虛軸上的那些線上。這些是平行于-平面中虛軸的線，實(shí)軸值為。因此，如果，有或對于這些的值因此從(18)我們可以讓對右側(cè)取負(fù)值會使有與(21)完全相同的一組零點(diǎn)。從這些我們必須提取位于-平面左半部分的那些以獲得的零點(diǎn)，對于求解(21)給出令我們得到自然頻率的表達(dá)式為由于是一個多項(xiàng)式，它在處有一個階極點(diǎn)。

要將切比雪夫?yàn)V波器推廣到橢圓函數(shù)濾波器，只需將(16)中出現(xiàn)的余弦函數(shù)更改為與它們等價(jià)的橢圓函數(shù)。但是我們發(fā)現(xiàn)有兩個不同的橢圓函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，它們的極限都是退化為同一余弦函數(shù)，讓我們的應(yīng)用變得清晰的唯一正確選擇是考慮通過式(16b)映射到正實(shí)軸的-平面的路徑。實(shí)軸映射到通帶，而虛軸映射到阻帶。-平面中的原點(diǎn)是將等波紋通帶與單調(diào)遞增阻帶分隔點(diǎn)(譯注，即所謂的3dB截止頻率點(diǎn))。切比雪夫?yàn)V波器本身沒有明確的過渡帶，與阻帶不同，盡管它必須滿足的指標(biāo)中通常包括有一個。

另一方面，橢圓函數(shù)濾波器在等波紋通帶和等最小阻帶之間確實(shí)有一個顯式過渡帶，這需要在-平面上映射到具有對應(yīng)于通帶、過渡帶和阻帶的三個不同段的正實(shí)軸上，只有函數(shù)可以做到這一點(diǎn)。圍繞基本矩形的路徑，從C處的零點(diǎn)到D處的極點(diǎn)，映射到函數(shù)的正實(shí)軸，穿過矩形的三個邊，然后可以將它們設(shè)置為對應(yīng)于三個所需的帶。

我們首先定義濾波器方程，然后再解釋它們之間的關(guān)系，他們是其中和是與(25b)中的與模數(shù)相關(guān)的四分之一周期，而和類似與(25a)中的模數(shù)相關(guān)。如前所述，整數(shù)定義為有理函數(shù)的階數(shù)(degree)，通帶紋波由(17)給出。

(25b)的-平面中基本矩形的邊界到-軸的映射如圖5(a)所示，它表示值與矩陣角的關(guān)系，角的三條邊分別對應(yīng)于通帶、過渡帶和阻帶。對于切比雪夫?yàn)V波器和橢圓函數(shù)濾波器，由于在變量中包含了四分之一因子或，歸一化的通帶映射到相同的范圍。阻帶的邊緣在，這定義了模數(shù)。

另一個橢圓函數(shù)的模是通過滿足(25c)中所規(guī)定的四分之一周期條件的需要而隱式選擇的。這種情況導(dǎo)致的基本矩形的形狀和大小(在變量中)必須滿足個這樣的矩形可以精確地并排重合于。圖5(b)顯示了對于的情況，的零極點(diǎn)模式和函數(shù)值如何疊加在的基本矩形上。

圖5 在條件下, (a) 和 (b) 在-平面上的映射

正是通過選擇來滿足(25c)，以及由此產(chǎn)生的兩個基本矩形的簡單幾何關(guān)系，使得成為的有理函數(shù)，正如是中的多項(xiàng)式一樣。請注意，當(dāng)趨于零時(shí)，也趨于零，然后(25a)和(25b)分別退化為(16a)和(16b)。這將使橢圓函數(shù)濾波器在極限條件下轉(zhuǎn)化為切比雪夫?yàn)V波器。事實(shí)上，橢圓函數(shù)濾波器的過渡帶，而不是它的阻帶，在這個極限下變成了切比雪夫?yàn)V波器的阻帶。

要找到的自然頻率，我們使用與切比雪夫?yàn)V波器相同的方法，令(25a)為零，得到為了使是虛數(shù)，必須位于-平面中映射到函數(shù)為虛軸的那些線上。這些是平行于-平面中虛軸的線，它們穿過的極點(diǎn)和零點(diǎn)，并且在實(shí)軸上的值為，因此或這正是切比雪夫?yàn)V波器在(19)中所找到的值。可使用(6)直接推廣(20)，得到所以由(26)我們可以取這和式(21)對應(yīng)。

下面我們通過一系列蘭登變換將(25)中的橢圓函數(shù)及其參數(shù)變換到蘭登鏈的三角函數(shù)末端。我們首先使用(10)生成模量的降序序列，并在橢圓函數(shù)與三角函數(shù)在數(shù)值上無法區(qū)分時(shí)以終止。然后我們創(chuàng)建對應(yīng)的序列。然而，我們沒有顯示地給出，只有它與(25c)隱含的與的關(guān)系。當(dāng)后者在次蘭登變換后可以看到，和將在處相等，因此(25c)簡化為正如我們可以使用(14)在雙曲函數(shù)端從計(jì)算，所以當(dāng)非常小時(shí)我們可以使用(14)的補(bǔ)從三角函數(shù)端的中找到。在一些簡單初等代數(shù)計(jì)算后后，得到根據(jù)的這個值，我們可以使用遞歸式(9)將序列后向構(gòu)造到，得到對于較大的值，(31) 可能會生成一個小于浮點(diǎn)運(yùn)算下限(非零)的，因此無法通過(32)計(jì)算的蘭登鏈。如果發(fā)生這種情況，可以從計(jì)算，甚至可能是。這為提供了比更短的蘭登鏈，并反映了與相比減小了的大小。在這些非常小的值下，可以安全地用統(tǒng)一替換為，然后(32)簡化為，將其代入(31)得到和一旦我們有了，我們可以使用(25a)中函數(shù)在阻帶損耗最小處的值等于的事實(shí)，通過公式求得損耗為計(jì)算出模數(shù)和的兩個序列后，剩下的任務(wù)就是找到的零點(diǎn)和極點(diǎn)。我們首先考慮復(fù)零點(diǎn)的稍微復(fù)雜的情況。蘭登變換被描述為通過(11)中的遞歸從實(shí)數(shù)極限三角函數(shù)值中獲得實(shí)數(shù)橢圓函數(shù)的值。但這些都是解析函數(shù)，因此遞歸也適用于這些函數(shù)的復(fù)數(shù)也就不足為奇了。我們只需要為正確的切比雪夫?yàn)V波器找到的復(fù)數(shù)值，如(24)所示，并通過(11)將函數(shù)的倒數(shù)從模數(shù)轉(zhuǎn)換回模數(shù)。這些變換的最終結(jié)果的倒數(shù)便給出了想要的自然頻率。

切比雪夫?yàn)V波器由兩個參數(shù)定義，階數(shù)和控制通帶波紋大小的量。顯然，正確的切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)將與所需橢圓濾波器的階數(shù)相同，但兩個濾波器的通帶紋波幅度表明彼此之間略有不同。原因在于(29)，它表明橢圓函數(shù)濾波器的值本身等于一個橢圓函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)鏈的末端。我們必須考慮在這個過程中如何修改的給定值。

我們首先寫出(29)的倒數(shù)，并在的給定值上附加一個下標(biāo)零，以準(zhǔn)備生成一系列值，就像我們對和所做的那樣：在完整的蘭登變換鏈中，模為的橢圓函數(shù)在處歸結(jié)為三角函數(shù)，在處歸結(jié)為雙曲函數(shù)。但是對于模為的橢圓函數(shù)，情況正好相反；當(dāng)時(shí)，它們將簡化為雙曲函數(shù)，因?yàn)槟菚r(shí)。因此，當(dāng)我們將(25)的主要橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換為末端為三角函數(shù)蘭登鏈時(shí)，我們必須意識到出現(xiàn)在(35)中的函數(shù)，其模為，實(shí)際上將是雙曲函數(shù)的終點(diǎn)。

從雙曲函數(shù)端跟蹤函數(shù)的遞歸在(13)中給出，但不同的是這里的模是，而不是，所以這兩個量所起的作用是互換的。因此，從到跟蹤它的(代替它所代表的橢圓函數(shù))的遞歸將是但是我們從開始，想要，而不是相反，所以我們必須求(36)的逆，得到其中在大多數(shù)情況下，從到的值變化非常小，并且(37)中的遞歸經(jīng)常被省略。切比雪夫?yàn)V波器中的通帶紋波大小簡單地等于橢圓函數(shù)濾波器的指標(biāo)值，然后最終得到的紋波大小比設(shè)計(jì)的要小一些。紋波的精確幅度通常不是很關(guān)鍵。

下一步是使用(24)找到切比雪夫?yàn)V波器的自然頻率，的值從(37)中找到。函數(shù)在(11)中的遞歸涉及倒數(shù)的值，如(25b)中所定義，并且必須修改為倒數(shù)的遞歸。這只需要改變最后一項(xiàng)的符號。因此，如果是典型復(fù)自然頻率的倒數(shù)，從作為切比雪夫?yàn)V波器的倒數(shù)，我們得到遞歸的倒數(shù)是橢圓函數(shù)濾波器的相應(yīng)自然頻率或零。

的極點(diǎn)，即無限損耗的頻率，位于軸上，值由下式給出其中表示的整數(shù)部分。我們使用(11)計(jì)算的值，起始三角函數(shù)值為，然后除以模數(shù)。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在無窮遠(yuǎn)處會有的一個極點(diǎn)。

圖6給出了用于執(zhí)行上述所有計(jì)算的Fortran程序（譯注，圖略）。所有浮點(diǎn)變量，無論是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，都是雙精度的，并且已被選擇以盡可能地反映文本中使用的變量。Matlab 信號處理工具箱中提供了一種非常流行的、用于設(shè)計(jì)橢圓函數(shù)濾波器的商用程序，其函數(shù)名為“ellipap”。上述設(shè)計(jì)方案以階數(shù)、通帶波紋和橢圓模量作為起始參數(shù)，而Matlab程序使用、和阻帶最小損耗。用(17)和(35)可以很容易地從和計(jì)算，但是在濾波器設(shè)計(jì)開始之前，我們必須得到定義了主橢圓函數(shù)的模數(shù)。

Matlab程序首先通過算術(shù)-幾何平均值A(chǔ)GM從中找到兩個四分之一周期和。然后使用優(yōu)化程序找到，使其四分之一周期和滿足(25c)。另一個優(yōu)化程序步驟用于找到滿足(29)的。參數(shù)和模數(shù)的、和函數(shù)是通過經(jīng)典算術(shù)-幾何平均方法計(jì)算的，的極點(diǎn)幾乎可以直接從這些中找到(39)。

最后，通過的加法定理得到的復(fù)零點(diǎn)，其中如式(27)；達(dá)林頓在他的方程(65)中對此進(jìn)行了描述[1]。這兩個優(yōu)化步驟相當(dāng)耗時(shí)，并且按照預(yù)先設(shè)定，將Matlab計(jì)算的極點(diǎn)和零點(diǎn)的精度限制為四位或五位。

我們所描述的設(shè)計(jì)方案，使用帶有作為給定參數(shù)的蘭登變換，只需進(jìn)行微小的更改即可接受來代替. 就像在 Matlab 程序中一樣從和計(jì)算，然后形成的蘭登鏈，終止于剛好高于浮點(diǎn)算術(shù)下限的值。通過(31)從中找到，的蘭登鏈?zhǔn)褂?32)反向計(jì)算到，其中替換。因此，和的蘭登鏈與以開頭的版本一樣可用，而設(shè)計(jì)的其余部分保持不變。

這種方法以作為起始設(shè)計(jì)參數(shù)，是在 Matlab 中編程的。該程序(M 文件，ellipap1.m，在圖 7 中給出)(譯注，圖改代碼如下，盡管這是20多年前的代碼，和現(xiàn)在最新Matlab代碼ellipap2比還有約6倍的優(yōu)勢！Matlab代碼中是找不到ellipap1的，貌似是對這篇文章致敬)是“ellipap”的直接替代品，但不需要其他子程序，其運(yùn)行時(shí)間比“ellipap”短約80倍，并給出零極點(diǎn)的全精度浮點(diǎn)運(yùn)算。

% ELLIPAP1 Elliptic analog lowpass filter prototype. % [Z, P, K] = ELLIPAP1(N, Rp, Rs) returns the zeros, poles, and gain % of an N-th order normalized prototype elliptic analog lowpass % filter with Rp decibels of ripple in the passband and a % stopband Rs decibels down. % % This program is a faster and more accurate replacement for % the standard Matlab program ELLIPAP. % % Authors: H. J. Orchard and A. N. Willson, Jr., 9-25-95 % Copyright (c) 1995 % % Reference: % [1] H. J. Orchard and A. N. Willson, Jr., "Elliptic Functions % for Filter Design," IEEE Transactions on Circuits and % Systems-I: Fundamental Theory and Applications, April 1997. function [z, p, k] = ellipap1(n, rp, rs) % special case; for n == 1, reduces to Chebyshev type 1 if n == 1 z = []; p = -sqrt(1/(10^(rp/10)-1)); k = -p; return end dbn = log(10)/20; no = rem(n,2); n3 = (n-no)/2; apn = dbn*rp; asn = dbn*rs; e(1) = sqrt(2*exp(apn)*sinh(apn)); g(1) = e(1)/sqrt(exp(2*asn) - 1); v = g(1); m2 = 1; while v>1e-150 v = (v/(1 + sqrt(1 - v^2)))^2; m2 = m2 + 1; g(m2) = v; end for index = 0:10 m1 = m2 + index; ek(m1) = 4*(g(m2)/4)^((2^index)/n); if(ek(m1)<1e-14), break, end end for en = m1:-1:2 ek(en-1) = 2*sqrt(ek(en))/(1+ek(en)); end % compute poles and zeros for en = 2:m2 a = (1+g(en))*e(en-1)/2; e(en) = a + sqrt(a^2 + g(en)); end u2 = log((1 + sqrt(1 + e(m2)^2))/e(m2))/n; z = []; p = []; for index = 1:n3 u1 = (2*index - 1)*pi/(2*n); c = -1i/cos(-u1+1i*u2); d = 1/cos(u1); for en = m1:-1:2 c = (c - ek(en)/c)/(1 + ek(en)); d = (d + ek(en)/d)/(1 + ek(en)); end af(index) = 1/c; df(index) = d/ek(1); p = [conj(af(index));af(index);p]; z = [-df(index)*1i;df(index)*1i;z]; end if no == 1 a = 1/sinh(u2); for en = m1:-1:2 a = (a - ek(en)/a)/(1 + ek(en)); end p = [p; -1/a]; end % gain k = real(prod(-p)/prod(-z)); if ~rem(n,2) k = k/sqrt(1 + epsilon^2); end end

是否使用或作為起始參數(shù)取決于個人喜好。階數(shù)必須是整數(shù)的事實(shí)意味著滿足指標(biāo)的的最小值通常會提供一些性能余量，這些余量應(yīng)該留在、和中。如何最好地做到這一點(diǎn)需要一些工程判斷，并且無論采用何種參數(shù)選擇策略，設(shè)計(jì)者都需要多次運(yùn)行程序才能在設(shè)計(jì)中實(shí)現(xiàn)該余量的最佳選擇。

VI. 數(shù)值示例

我們以一個典型的7階濾波器作為我們的數(shù)值實(shí)例，通帶紋波為0.1 dB，歸一化的阻帶邊緣頻率為。這給出了模，這與我們在第IV節(jié)中蘭登變換的說明中所使用的值相同。表III首先給出了的值，通過使用(10)找到和表I中一樣的值。

通過式(31)我們可以由找到，其中。然后使用(32)計(jì)算的值，從開始，并在表III的列旁邊給出。是從規(guī)定的通帶波紋中找到的，以dB為單位，通過求解(14)得到，其公式為當(dāng)較小時(shí)，(40)中的減法會導(dǎo)致一些精度損失?？梢酝ㄟ^以下技巧避免這種情況。我們通過乘以將從其以分貝(decibel, dB)為單位的給定值改為以奈培(neper)為單位的等效值，現(xiàn)在用表示這個量，更準(zhǔn)確的表達(dá)式是，然后有在這里(40)中的減法發(fā)生在雙曲正弦內(nèi)部，并且的大多數(shù)子例程將返回完全準(zhǔn)確的函數(shù)值，而不管的大小。使用的值，現(xiàn)在可以使用(37)計(jì)算表III中列。從該列可以看出，已經(jīng)達(dá)到了限制值。這種行為對于大多數(shù)濾波器來說是相當(dāng)?shù)湫偷?。只有?dāng)條件變?yōu)樾枰鄬^大的值(例如，低階和小阻帶損耗)時(shí)，我們才會發(fā)現(xiàn)的變化更大。一旦我們有了橢圓函數(shù)濾波器的和的值，就可以找到(34)所給出的最小阻帶損耗，這里是55.43 dB。

下一個主要步驟是計(jì)算橢圓函數(shù)濾波器的復(fù)自然頻率。我們首先使用的極限值和(22)–(24)中的公式找到七階切比雪夫?yàn)V波器的自然頻率。表IV給出了-平面上半部分的值，然后使用式(38)和表III中的，將這些復(fù)零點(diǎn)的倒數(shù)一次一個地追溯到模數(shù)為0.8的橢圓函數(shù)。表V中僅顯示了一個零點(diǎn)的倒數(shù)(表IV中時(shí)的倒數(shù))的所有這些中間步驟顯示為復(fù)。此列中的倒數(shù)是表VI中標(biāo)記為列中顯示的所需橢圓函數(shù)濾波器的-平面上半復(fù)零點(diǎn)的條目。其他零點(diǎn)(包括一個實(shí)數(shù)零點(diǎn))的計(jì)算以完全相同的方式進(jìn)行。

最后，(39)中給出的極點(diǎn)的實(shí)值是通過使用(11)將轉(zhuǎn)換為，然后除以0.8來計(jì)算的。時(shí)的極點(diǎn)計(jì)算中間步驟如表V右側(cè)所示。它以開始并以結(jié)束。這個量除以0.8就是表VI中的。以同樣的方式可以找到其他極點(diǎn)。

讀者可能有興趣將上述計(jì)算中的步驟與Gazsi在他的示例4中給出的步驟[7]進(jìn)行比較。這也適用于7階濾波器，其中dB和。他論文的最終目標(biāo)是IIR數(shù)字濾波器，但他必須首先在域中設(shè)計(jì)模擬濾波器。他的計(jì)算是針對達(dá)林頓描述的設(shè)計(jì)方法[6]，該方法是基于切比雪夫有理分?jǐn)?shù)的遞歸。頻率被歸一化為通帶和阻帶邊緣頻率的幾何平均值，而不僅僅是通帶邊緣，這從理論的角度來看很好，但在實(shí)際中是個麻煩。這在一定程度上解釋了Gazsi變量和的出現(xiàn)，而不是使用和。

乍一看，達(dá)林頓遞歸似乎只不過是另一種形式的蘭登變換。但是進(jìn)一步研究表明，這是一種更通用的方法，專門用于橢圓函數(shù)的情況，并且它的一些公式(但不是全部)與蘭登變換的公式略有不同。然而，該方法的更大通用性并未用于允許橢圓函數(shù)濾波器的任何推廣。達(dá)林頓指出他的方案僅限于奇數(shù)階濾波器，盡管它可以很容易地?cái)U(kuò)展到偶數(shù)階的情況[9]。所涉及的精度和編程量與此處描述的橢圓函數(shù)的經(jīng)典方法大致相同。后者對任何正整數(shù)階都同樣適用。

VII. 替代計(jì)算方法

盡管前面的部分已經(jīng)可以根據(jù)蘭登變換描述了所有需要的計(jì)算，但如果沒有提及用函數(shù)的替代方法，這篇教程論文將是不完整的，事實(shí)證明，該方法已引起了幾位作者的注意。函數(shù)是整函數(shù)(integral functions)，即，其孤立奇點(diǎn)(singularities)在無窮遠(yuǎn)處的解析函數(shù)。多項(xiàng)式是整函數(shù)的最簡單示例，具有有限數(shù)量的零點(diǎn)。函數(shù)是一個稍復(fù)雜的例子，它有無窮多個零，沿實(shí)軸均勻分布。函數(shù)更復(fù)雜一點(diǎn)，因?yàn)樗鼈冇幸粋€雙周期的零陣列，其值覆蓋了整個復(fù)平面。對于所有整數(shù)和，這些零點(diǎn)在處，正如在第III節(jié)中描述的雅可比函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)一樣。

與之前一樣，參數(shù)可以采用與基本矩形的角S、C、N和D相對應(yīng)的四個值中的任何一個，這會引導(dǎo)我們按照Neville在[8]中表示的四個不同的函數(shù)那樣得到、、和。函數(shù)在原點(diǎn)處為零，并且那里的導(dǎo)數(shù)為1。其他三個函數(shù)在基本矩形的其他三個角之一處都有一個零點(diǎn)，由其下標(biāo)指定，并且在原點(diǎn)處具有一個常數(shù)值1。文獻(xiàn)中出現(xiàn)了θ函數(shù)的各種歸一化，但劉維爾給出的上述似乎是最合乎邏輯的。然后，如果和表示、、、中的任意兩個，則雅可比函數(shù)。

即使函數(shù)具有雙周期的零點(diǎn)模式，它們作為整函數(shù)也不能是雙周期的。然而，它們可以是單周期的，并且在經(jīng)典形式中，它們沿著實(shí)軸排列。這允許它們由傅里葉級數(shù)表示，奇函數(shù)使用傅里葉正弦級數(shù)表示，以及其他三個偶函數(shù)使用傅里葉余弦級數(shù)表示，這些正弦或余弦的系數(shù)僅僅是的整數(shù)冪，如下所示它將函數(shù)稍微間接地關(guān)聯(lián)到橢圓函數(shù)的模上。對于實(shí)數(shù)且，也有實(shí)數(shù)且。對于濾波器設(shè)計(jì)中的大多數(shù)實(shí)際值，例如，小于0.23。的冪，即第項(xiàng)的系數(shù)，是或，這于小值相結(jié)合，導(dǎo)致函數(shù)的傅里葉級數(shù)極快地收斂。

我們通過給出其中一個函數(shù)的級數(shù)來說明函數(shù)的典型形式，即其中。如果我們將橢圓函數(shù)變量設(shè)置為，如在第三節(jié)的(11)所示，傅立葉級數(shù)的基本參數(shù)變?yōu)?span>。這展示了與從三角函數(shù)端的蘭登變換中出現(xiàn)的四分之一周期的固定分?jǐn)?shù)相同的值。

濾波器指標(biāo)通常規(guī)定模數(shù)，而不是，因此后者必須首先從中求解，可以通過下式得到這大約需要與計(jì)算值的蘭登鏈一樣多的計(jì)算量。

此后，找到由給出的的極點(diǎn)，如(39)所示，無論使用蘭登變換還是函數(shù)，都需要付出相同的努力，因?yàn)檫@些量都是實(shí)數(shù)。正是由于在復(fù)自然頻率的計(jì)算，蘭登變換顯示出其優(yōu)越性，使用(38)，對于自然頻率的倒數(shù)具有復(fù)值，它可以像跟蹤極點(diǎn)的實(shí)數(shù)值一樣容易地用復(fù)數(shù)算法從切比雪夫?yàn)V波器跟蹤到橢圓函數(shù)濾波器。在函數(shù)方法中，還沒有發(fā)現(xiàn)可以直接計(jì)算復(fù)自然頻率的相應(yīng)可能性。取而代之的是，必須生成許多實(shí)橢圓函數(shù)，包括一個實(shí)數(shù)自然頻率的特殊情況(或偶數(shù)階情況的等效)，并通過使用函數(shù)的加法定理找到復(fù)自然頻率，類似于達(dá)林頓(Darlington)在[1]中給出的一樣。

對函數(shù)方法的細(xì)節(jié)第一個主要參考可以在1957年由達(dá)林頓在貝爾實(shí)驗(yàn)室的同事格羅斯曼(Grossman)在[10]中的一篇論文中找到。這項(xiàng)工作僅描述了奇數(shù)階濾波器的情況，這在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是模擬濾波器所必需的。在Antoniou的一本書[11]中，它已經(jīng)被推廣到涵蓋所有整數(shù)階，這是數(shù)字濾波器的要求，它提供了一個很好的、易于理解的計(jì)算步驟。

Amstutz的另一篇論文[12]討論了LC梯形濾波器的完整設(shè)計(jì)，其中包括關(guān)于橢圓函數(shù)及其計(jì)算的部分。在這里，作者對雅可比函數(shù)進(jìn)行縮放以給出一個函數(shù)，其定義為這使得有一個恒定的虛四分之一周期和一個實(shí)四分之一周期，他們分別代替的和。該修改在處理濾波器逼近問題方面具有一些優(yōu)勢，盡管其復(fù)雜性是否值得處理非標(biāo)準(zhǔn)橢圓函數(shù)是讓人懷疑的。

通過使用的無限乘積，可以計(jì)算損耗的極點(diǎn)和復(fù)自然頻率的所有實(shí)橢圓函數(shù)，這相當(dāng)于在虛軸方向上布置周期的函數(shù)，如[13]中所示。如上所述，然后通過加法定理找到復(fù)自然頻率。蘭登變換被簡單地提及，但不清楚它是與的無限乘積一起使用還是代替之。

使用當(dāng)今的計(jì)算機(jī)，通過蘭登變換或任何這些替代方法計(jì)算極點(diǎn)和零點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間幾乎可以忽略不計(jì)，并且兩者都可以在浮點(diǎn)尾數(shù)的最后一位小數(shù)位提供幾個單位的精度。在過去的50年中，其中一位作者嘗試了幾乎所有計(jì)算橢圓函數(shù)的方法，在對函數(shù)[13]產(chǎn)生了最初的熱情之后，最終還是決定采用蘭登變換。因此，編寫這些函數(shù)的當(dāng)前描述是為了自然地引導(dǎo)通過蘭登變換對其進(jìn)行評估，然后將它們用于創(chuàng)建等波紋傳遞函數(shù)。目的是提供對雅可比函數(shù)原理的一些理解，而不是“菜譜”式的計(jì)算方法。

VIII. 結(jié)論

十二個雅可比橢圓函數(shù)被認(rèn)為是最簡單的雙周期函數(shù)，其參數(shù)稱為模數(shù)，用于控制其周期行為。在實(shí)際應(yīng)用中，模數(shù)是實(shí)數(shù)，介于0和1之間。當(dāng)它為0時(shí)，橢圓函數(shù)退化為六個單周期三角函數(shù)之一，而當(dāng)它為1時(shí)，它們退化為六個單周期雙曲函數(shù)之一。雅可比橢圓函數(shù)的許多性質(zhì)是這些基本函數(shù)之間眾所周知的關(guān)系的簡單推廣。

對于模數(shù)的任何值，雅可比橢圓函數(shù)被可視化為位于一條路徑的某個位置，該路徑一端為三角函數(shù)而另一端為雙曲函數(shù)。蘭登變換允許人們沿著這條路徑以離散的步驟移動，并且在這樣的步驟前后，與函數(shù)值及其模數(shù)關(guān)聯(lián)起來的公式非常簡單。將具有典型模量的橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換到在數(shù)值上與三角函數(shù)無法區(qū)分的點(diǎn)，只需四到五個步驟，然后可以通過將這個三角函數(shù)的值沿這條路徑逐步轉(zhuǎn)換回模數(shù)具有所需值的位置來計(jì)算橢圓函數(shù)。編制這些計(jì)算的程序既簡單又準(zhǔn)確。這些計(jì)算的工具已經(jīng)被數(shù)學(xué)家改進(jìn)了150多年，并且目前已知沒有更簡單或更好的方法來計(jì)算此類濾波器設(shè)計(jì)中所需的函數(shù)。