結(jié)構(gòu)光三維重建：相移法的基本原理及應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

在結(jié)構(gòu)光三維重建中，最常見的方法就是相移法，相移是通過投影一系列相移光柵圖像編碼，從而得到物體表面一點(diǎn)在投影儀圖片上的相對(duì)位置或者絕對(duì)位置。下面，筆者將詳細(xì)介紹如何制作相移編碼圖片，以及如何對(duì)獲取的相移圖片進(jìn)行解碼，最后筆將粗淺的談?wù)勏嘁葡啾绕渌椒ǎㄈ绺窭状a）有什么優(yōu)勢(shì)。

常見的三步相移法公式如下所示：

其中 I1,I2,I3是相位圖的灰度值，?是條紋光強(qiáng)的背景值，??為條紋光強(qiáng)的調(diào)制強(qiáng)度，??是相位主值。由于cos的取值范圍是[-1,1],在制作編碼圖片的時(shí)候，我們可以把??和?都設(shè)置成127，這樣就可以保證制作的相位圖片的灰度值在0-255之間，以及一個(gè)高動(dòng)態(tài)的范圍。實(shí)際上由于投影儀投射出來的光的灰度值并不是線性變化的，為了消除這種非線性變化問題，有不少人提出了各種針對(duì)投影光的伽馬矯正方法。如果精度要求不是特別嚴(yán)苛的話，投影儀投影的光在某個(gè)動(dòng)態(tài)區(qū)間（通常是中間灰度值那一段，比如50-200的區(qū)間）會(huì)逼近于線性變化，我們也可以在制作圖片的時(shí)候把動(dòng)態(tài)區(qū)間調(diào)整至逼近線性變換區(qū)間的范圍來消除這種非線性變化的干擾。

如下圖所示，是用三步相移公式做的相移圖片，為了更加清楚地描述，這里使用的是0-55的灰度值范圍。

三步相移法示例圖片

由之前我們知道，編碼主要是為了標(biāo)記投影儀的圖片的實(shí)際位置，在相移中，我們用相位主值 編碼投影儀圖片的像素，對(duì)于某一個(gè)周期內(nèi)的投影坐標(biāo)，我們可以這樣把相位主值換成其在周期內(nèi)的實(shí)際坐標(biāo)：

Pixel即該點(diǎn)在周期內(nèi)的實(shí)際坐標(biāo)，period即一個(gè)相位周期所占的像素列數(shù)，實(shí)際上，我們不可能僅用一個(gè)周期標(biāo)記一整張相位圖片，其實(shí)很正常，我們的圖片列數(shù)常常是幾百甚至上千，而灰度值的動(dòng)態(tài)范圍只有255， 所以我們通常會(huì)設(shè)計(jì)一個(gè)周期所占像素列數(shù)，如上圖所示，一個(gè)相位周期占圖片12列， 一張圖片約有10個(gè)周期。想要知道某個(gè)相位解碼點(diǎn)在投影圖片的實(shí)際坐標(biāo)，我們除了知道其相位主值，還需要知道其是第幾個(gè)周期的相位。一個(gè)像素點(diǎn)的實(shí)際列坐標(biāo)如下所示：

i 是相位所在的周期數(shù)（通常對(duì)第一個(gè)相位周期用0來編碼）, i的數(shù)值常用格雷碼編碼或者其他編碼方法輔助得到。又可以根據(jù)相位展開后的主值在空域上的分布來求解其是第幾個(gè)周期，不過這樣通常不準(zhǔn)。

把相移編碼光投影到物體表面后，我們就可以解碼了，如上面的方程所示，I1,I2,I3是相機(jī)圖片的灰度值，那么上述三個(gè)方程就只剩三個(gè)未知數(shù)，?三個(gè)方程解三個(gè)未知數(shù)在滿秩的情況下一定是可解的，而且對(duì)于這三個(gè)未知數(shù)來說，我們其實(shí)只需要關(guān)心 ，相位主值的大小。解碼公式如下所示：

如果?解成??,則需要把其換算到??區(qū)間。上述相移編碼的解碼結(jié)果如下圖所示：

解碼后的相位主值圖

除了三步相移法，我們還可以設(shè)計(jì)四步甚至更多步相移法，具體編碼和解碼方式如下，對(duì)于N步相移法，我們需要N幅編碼圖片，對(duì)于第 ( )幅編碼圖片（通常我們用0標(biāo)記第一幅圖片）, 其編碼如下:

其對(duì)應(yīng)的N步相移法的解碼公式為：

如何選定相移步長(zhǎng)呢? 一般來說，步長(zhǎng)越多越精確和穩(wěn)定，但是在實(shí)際的應(yīng)用中，考慮到三維成像幀率等原因，用三步或四步像移方法的較多。如果不考慮幀率的話，在論文[1]中有提到，如果能使用飽和式的相移圖片（saturated fringe patterns），即讓相移步長(zhǎng) N等于一個(gè)相位周期編碼列數(shù)的整數(shù)倍，如果編碼列數(shù)是偶數(shù)m的話，相移步長(zhǎng)N可以是 m/2 的整數(shù)倍，這樣的話，解相移的時(shí)候?qū)Ω叻垂獗砻嫦辔恢髦狄材芙獬霰容^好的結(jié)果。不過要對(duì)高反光表面的相移解碼得到非常好的效果，相移步長(zhǎng)N通常都要在10以上，對(duì)于追求速度的三維重建，可能沒有那么吸引人。

最后，想和大家聊聊相移法比起格雷碼的優(yōu)勢(shì)，首先，相移可以看成連續(xù)變化的值，比如說我們解相位換算成像素點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，通?？梢赃_(dá)到小數(shù)級(jí)（亞像素級(jí)）的精度，如果我們用格雷碼，在不使用插值的情況下，通常只能達(dá)到像素級(jí)的精度。為什么相移達(dá)到的亞像素級(jí)的精度是正確的呢？認(rèn)為和光本身就是一種正弦波有關(guān)，光打在物體表面上，會(huì)以正弦波的形式向周邊散開，所以使用相移時(shí)得到的亞像素級(jí)的解碼精度往往是比較準(zhǔn)確的。此外，我們用的相移是時(shí)序，利用光的在時(shí)間中（不同投影圖片下）的變化量來解碼，相比格雷碼用閾值二值化，受到物體紋理的影響會(huì)更小。比如相移光打在暗色物體上，可能解出來的 會(huì)比較小，但是不影響我們解出正確的相位主值 。

審核編輯：郭婷