如何在PMSM中建立合適的坐標系(一)

Clarke變換是“矢量坐標變換”中的一種變換方式，在永磁同步電機中，電動機的定子磁場是由定子的三相繞組的磁動勢產(chǎn)生的，根據(jù)電動機旋轉(zhuǎn)磁場理論就知，向?qū)ΨQ的三相繞組中通以對稱的三相正弦電流時，就會產(chǎn)生合成的磁動勢，并以w的速度在空間中旋轉(zhuǎn)。所以，為了簡化交流電機的分析方法，Clarke提出了一種以電機定子為靜止參考系的電機參數(shù)變換分析方式，即依據(jù)功率不變和磁勢不變的原理，將定子三相物理量從三維坐標轉(zhuǎn)換到二維坐標，簡稱3S/2S變換，其中S表示靜止。

在PMSM中建立合適的坐標系

圖1-1中兩個坐標系，其中ABC是PMSM靜止坐標系，另一個坐標系是PMSM經(jīng)過Clarke要變換后的坐標系：

圖1-1 Clarke坐標變換示意圖

圖1-1中PMSM三相繞組每相的有效線圈匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效線圈匝數(shù)為N2，兩種坐標系中每相的磁動勢均為有效線圈匝數(shù)與該相電流的乘積。

原理分析

矢量坐標變換就是用磁勢或者電流空間矢量來描述等效的三相磁場、兩相磁場和旋轉(zhuǎn)直流磁場，并對它們進行坐標變換。因此矢量坐標變化必須要遵循以下兩個原則：

1、變換前后電流所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場等效;

2、變換前后兩系統(tǒng)的電動機功率不發(fā)生變化。

根據(jù)矢量變換原則，Clarke變換前后的磁場應(yīng)該完全等效，即合成的磁勢矢量分別在兩個坐標系坐標軸上的投影應(yīng)該相等。設(shè)磁動勢是正弦分布的，當三相總磁動勢與兩相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在兩相坐標系上的投影都應(yīng)相等。

因此根據(jù)圖1-1可以得出磁勢守恒的式子為：

將式(1.1)變形又可化為矩陣形式為：

因為式(1.2)中矩陣不是方陣不能求的逆矩陣，所以需要引入新變量零軸電流：

將式(1.3)和式(1.2)合并可以得到兩相坐標系方程為：

所以定義Clarke矩陣為：

Clarke最終表達形式

其中Clarke矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為：

Clarke矩陣的逆矩陣為：

在Clarke變換下需要保證發(fā)電機的輸出功率在變換前后不能發(fā)生變換，因此計算公式為：

由式(1.8)可知，為了確保變換前后輸出功率不變化，可以其中參數(shù)求得：

因此，Clarke變換式為：

如果忽略零軸變量，那么Clarke變換式又可化為：

Clarke如何應(yīng)用

如何得到永磁同步電機在靜止兩相坐標的電機電壓方程?

永磁同步電機的定子電壓方程在三相靜止坐標系下為：

將式(1.12)乘以Clarke矩陣可以得到永磁同步電機在兩相靜止坐標系下的電機電壓方程為：