從0到1實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Python）

作者 | Victor Zhou

有個(gè)事情可能會(huì)讓初學(xué)者驚訝：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并不復(fù)雜！『神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)』這個(gè)詞讓人覺(jué)得很高大上，但實(shí)際上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法要比人們想象的簡(jiǎn)單。

這篇文章完全是為新手準(zhǔn)備的。我們會(huì)通過(guò)用Python從頭實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理。本文的脈絡(luò)是：

介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)——神經(jīng)元；

在神經(jīng)元中使用S型激活函數(shù)；

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是連接在一起的神經(jīng)元；

構(gòu)建了一個(gè)數(shù)據(jù)集，輸入（或特征）是體重和身高，輸出（或標(biāo)簽）是性別；

學(xué)習(xí)了損失函數(shù)和均方差損失；

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)就是最小化其損失；

用反向傳播方法計(jì)算偏導(dǎo)；

用隨機(jī)梯度下降法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。

磚塊：神經(jīng)元

首先讓我們看看神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單位，神經(jīng)元。神經(jīng)元接受輸入，對(duì)其做一些數(shù)據(jù)操作，然后產(chǎn)生輸出。例如，這是一個(gè)2-輸入神經(jīng)元：

這里發(fā)生了三個(gè)事情。首先，每個(gè)輸入都跟一個(gè)權(quán)重相乘（紅色）：

然后，加權(quán)后的輸入求和，加上一個(gè)偏差b（綠色）：

最后，這個(gè)結(jié)果傳遞給一個(gè)激活函數(shù)f：

激活函數(shù)的用途是將一個(gè)無(wú)邊界的輸入，轉(zhuǎn)變成一個(gè)可預(yù)測(cè)的形式。常用的激活函數(shù)就就是S型函數(shù)：

S型函數(shù)的值域是(0, 1)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是把(?∞, +∞)壓縮到(0, 1) ，很大的負(fù)數(shù)約等于0，很大的正數(shù)約等于1。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子

假設(shè)我們有一個(gè)神經(jīng)元，激活函數(shù)就是S型函數(shù)，其參數(shù)如下：

就是以向量的形式表示?，F(xiàn)在，我們給這個(gè)神經(jīng)元一個(gè)輸入。我們用點(diǎn)積來(lái)表示：

當(dāng)輸入是[2, 3]時(shí)，這個(gè)神經(jīng)元的輸出是0.999。給定輸入，得到輸出的過(guò)程被稱為前饋（feedforward）。

編碼一個(gè)神經(jīng)元

讓我們來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)元！用Python的NumPy庫(kù)來(lái)完成其中的數(shù)學(xué)計(jì)算：

importnumpyasnp

defsigmoid(x):
#我們的激活函數(shù):f(x)=1/(1+e^(-x))
return1/(1+np.exp(-x))

classNeuron:
def__init__(self,weights,bias):
self.weights=weights
self.bias=bias

deffeedforward(self,inputs):
#加權(quán)輸入，加入偏置，然后使用激活函數(shù)
total=np.dot(self.weights,inputs)+self.bias
returnsigmoid(total)

weights=np.array([0,1])#w1=0,w2=1
bias=4#b=4
n=Neuron(weights,bias)

x=np.array([2,3])#x1=2,x2=3
print(n.feedforward(x))#0.9990889488055994

還記得這個(gè)數(shù)字嗎？就是我們前面算出來(lái)的例子中的0.999。

把神經(jīng)元組裝成網(wǎng)絡(luò)

所謂的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是一堆神經(jīng)元。這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

這個(gè)網(wǎng)絡(luò)有兩個(gè)輸入，一個(gè)有兩個(gè)神經(jīng)元（和）的隱藏層，以及一個(gè)有一個(gè)神經(jīng)元（) ）的輸出層。要注意，的輸入就是和的輸出，這樣就組成了一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

隱藏層就是輸入層和輸出層之間的層，隱藏層可以是多層的。

例子：前饋

我們繼續(xù)用前面圖中的網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)每個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重都是，截距項(xiàng)也相同，激活函數(shù)也都是S型函數(shù)。分別用表示相應(yīng)的神經(jīng)元的輸出。

當(dāng)輸入時(shí)，會(huì)得到什么結(jié)果？

這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入的輸出是0.7216，很簡(jiǎn)單。

一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)以及每一層中的神經(jīng)元數(shù)量都是任意的?；具壿嫸家粯樱狠斎朐谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)中向前傳輸，最終得到輸出。接下來(lái)，我們會(huì)繼續(xù)使用前面的這個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

編碼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：前饋

接下來(lái)我們實(shí)現(xiàn)這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前饋機(jī)制，還是這個(gè)圖：

importnumpyasnp

#...codefromprevioussectionhere

classOurNeuralNetwork:
'''
Aneuralnetworkwith:
-2inputs
-ahiddenlayerwith2neurons(h1,h2)
-anoutputlayerwith1neuron(o1)
Eachneuronhasthesameweightsandbias:
-w=[0,1]
-b=0
'''
def__init__(self):
weights=np.array([0,1])
bias=0

#這里是來(lái)自前一節(jié)的神經(jīng)元類
self.h1=Neuron(weights,bias)
self.h2=Neuron(weights,bias)
self.o1=Neuron(weights,bias)

deffeedforward(self,x):
out_h1=self.h1.feedforward(x)
out_h2=self.h2.feedforward(x)

#o1的輸入是h1和h2的輸出
out_o1=self.o1.feedforward(np.array([out_h1,out_h2]))

returnout_o1

network=OurNeuralNetwork()
x=np.array([2,3])
print(network.feedforward(x))#0.7216325609518421

結(jié)果正確，看上去沒(méi)問(wèn)題。

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 第一部分

現(xiàn)在有這樣的數(shù)據(jù)：

接下來(lái)我們用這個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，從而可以根據(jù)身高體重預(yù)測(cè)性別：

我們用0和1分別表示男性（M）和女性（F），并對(duì)數(shù)值做了轉(zhuǎn)化：

我這里是隨意選取了135和66來(lái)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，通常會(huì)使用平均值。

損失

在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)之前，我們需要量化當(dāng)前的網(wǎng)絡(luò)是『好』還是『壞』，從而可以尋找更好的網(wǎng)絡(luò)。這就是定義損失的目的。

我們?cè)谶@里用平均方差（MSE）損失：，讓我們仔細(xì)看看：

是樣品數(shù)，這里等于4（Alice、Bob、Charlie和Diana）。

表示要預(yù)測(cè)的變量，這里是性別。

是變量的真實(shí)值（『正確答案』）。例如，Alice的就是1（男性)。

變量的預(yù)測(cè)值。這就是我們網(wǎng)絡(luò)的輸出。

被稱為方差（squared error）。我們的損失函數(shù)就是所有方差的平均值。預(yù)測(cè)效果越好，損失就越少。

更好的預(yù)測(cè) = 更少的損失！

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò) = 最小化它的損失。

損失計(jì)算例子

假設(shè)我們的網(wǎng)絡(luò)總是輸出0，換言之就是認(rèn)為所有人都是男性。損失如何？

代碼：MSE損失

下面是計(jì)算MSE損失的代碼：

importnumpyasnp

defmse_loss(y_true,y_pred):
#y_trueandy_predarenumpyarraysofthesamelength.
return((y_true-y_pred)**2).mean()

y_true=np.array([1,0,0,1])
y_pred=np.array([0,0,0,0])

print(mse_loss(y_true,y_pred))#0.5

如果你不理解這段代碼，可以看看NumPy的快速入門(mén)中關(guān)于數(shù)組的操作。

好的，繼續(xù)。

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 第二部分

現(xiàn)在我們有了一個(gè)明確的目標(biāo)：最小化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失。通過(guò)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，我們可以改變其預(yù)測(cè)結(jié)果，但如何才能逐步地減少損失？

這一段內(nèi)容涉及到多元微積分，如果不熟悉微積分的話，可以跳過(guò)這些數(shù)學(xué)內(nèi)容。

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)我們的數(shù)據(jù)集中只有Alice：

假設(shè)我們的網(wǎng)絡(luò)總是輸出0，換言之就是認(rèn)為所有人都是男性。損失如何？

那均方差損失就只是Alice的方差：

也可以把損失看成是權(quán)重和截距項(xiàng)的函數(shù)。讓我們給網(wǎng)絡(luò)標(biāo)上權(quán)重和截距項(xiàng)：

這樣我們就可以把網(wǎng)絡(luò)的損失表示為：

假設(shè)我們要優(yōu)化，當(dāng)我們改變時(shí)，損失會(huì)怎么變化？可以用來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題，怎么計(jì)算？

接下來(lái)的數(shù)據(jù)稍微有點(diǎn)復(fù)雜，別擔(dān)心，準(zhǔn)備好紙和筆。

首先，讓我們用來(lái)改寫(xiě)這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道，所以我們可以計(jì)算

現(xiàn)在讓我們來(lái)搞定。分別是其所表示的神經(jīng)元的輸出，我們有：

由于只會(huì)影響（不會(huì)影響)，所以：

對(duì)，我們也可以這么做：

在這里，是身高，是體重。這是我們第二次看到（S型函數(shù)的導(dǎo)數(shù))了。求解：

稍后我們會(huì)用到這個(gè)。

我們已經(jīng)把分解成了幾個(gè)我們能計(jì)算的部分：

這種計(jì)算偏導(dǎo)的方法叫『反向傳播算法』(backpropagation)。

好多數(shù)學(xué)符號(hào)，如果你還沒(méi)搞明白的話，我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際例子。

例子：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)

我們還是看數(shù)據(jù)集中只有Alice的情況：

把所有的權(quán)重和截距項(xiàng)都分別初始化為1和0。在網(wǎng)絡(luò)中做前饋計(jì)算：

網(wǎng)絡(luò)的輸出是，對(duì)于Male(0)或者Female(1)都沒(méi)有太強(qiáng)的傾向性。算一下

提示：前面已經(jīng)得到了S型激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

搞定！這個(gè)結(jié)果的意思就是增加也會(huì)隨之輕微上升。

訓(xùn)練：隨機(jī)梯度下降

現(xiàn)在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)萬(wàn)事俱備了！我們會(huì)使用名為隨機(jī)梯度下降法的優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)損失的最小化。核心就是這個(gè)更新等式：

是一個(gè)常數(shù)，被稱為學(xué)習(xí)率，用于調(diào)整訓(xùn)練的速度。我們要做的就是用減去

如果是正數(shù)，變小，會(huì)下降。

如果是負(fù)數(shù)，會(huì)變大，會(huì)上升。

如果我們對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)權(quán)重和截距項(xiàng)都這樣進(jìn)行優(yōu)化，損失就會(huì)不斷下降，網(wǎng)絡(luò)性能會(huì)不斷上升。

我們的訓(xùn)練過(guò)程是這樣的：

從我們的數(shù)據(jù)集中選擇一個(gè)樣本，用隨機(jī)梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化——每次我們都只針對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行優(yōu)化；

計(jì)算每個(gè)權(quán)重或截距項(xiàng)對(duì)損失的偏導(dǎo)（例如、等)；

用更新等式更新每個(gè)權(quán)重和截距項(xiàng)；

重復(fù)第一步；

代碼：一個(gè)完整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

我們終于可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)完整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了：

importnumpyasnp

defsigmoid(x):
#Sigmoidactivationfunction:f(x)=1/(1+e^(-x))
return1/(1+np.exp(-x))

defderiv_sigmoid(x):
#Derivativeofsigmoid:f'(x)=f(x)*(1-f(x))
fx=sigmoid(x)
returnfx*(1-fx)

defmse_loss(y_true,y_pred):
# y_true和y_pred是相同長(zhǎng)度的numpy數(shù)組。
return((y_true-y_pred)**2).mean()

classOurNeuralNetwork:
'''
Aneuralnetworkwith:
-2inputs
-ahiddenlayerwith2neurons(h1,h2)
-anoutputlayerwith1neuron(o1)

***免責(zé)聲明***:
下面的代碼是為了簡(jiǎn)單和演示，而不是最佳的。
真正的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代碼與此完全不同。不要使用此代碼。
相反，讀/運(yùn)行它來(lái)理解這個(gè)特定的網(wǎng)絡(luò)是如何工作的。
'''
def__init__(self):
#權(quán)重，Weights
self.w1=np.random.normal()
self.w2=np.random.normal()
self.w3=np.random.normal()
self.w4=np.random.normal()
self.w5=np.random.normal()
self.w6=np.random.normal()

#截距項(xiàng)，Biases
self.b1=np.random.normal()
self.b2=np.random.normal()
self.b3=np.random.normal()

deffeedforward(self,x):
# X是一個(gè)有2個(gè)元素的數(shù)字?jǐn)?shù)組。
h1=sigmoid(self.w1*x[0]+self.w2*x[1]+self.b1)
h2=sigmoid(self.w3*x[0]+self.w4*x[1]+self.b2)
o1=sigmoid(self.w5*h1+self.w6*h2+self.b3)
returno1

deftrain(self,data,all_y_trues):
'''
-dataisa(nx2)numpyarray,n=#ofsamplesinthedataset.
-all_y_truesisanumpyarraywithnelements.
Elementsinall_y_truescorrespondtothoseindata.
'''
learn_rate=0.1
epochs=1000#遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)集的次數(shù)

forepochinrange(epochs):
forx,y_trueinzip(data,all_y_trues):
#---做一個(gè)前饋(稍后我們將需要這些值)
sum_h1=self.w1*x[0]+self.w2*x[1]+self.b1
h1=sigmoid(sum_h1)

sum_h2=self.w3*x[0]+self.w4*x[1]+self.b2
h2=sigmoid(sum_h2)

sum_o1=self.w5*h1+self.w6*h2+self.b3
o1=sigmoid(sum_o1)
y_pred=o1

#---計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。
#---Naming:d_L_d_w1represents"partialL/partialw1"
d_L_d_ypred=-2*(y_true-y_pred)

#Neurono1
d_ypred_d_w5=h1*deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_w6=h2*deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_b3=deriv_sigmoid(sum_o1)

d_ypred_d_h1=self.w5*deriv_sigmoid(sum_o1)
d_ypred_d_h2=self.w6*deriv_sigmoid(sum_o1)

#Neuronh1
d_h1_d_w1=x[0]*deriv_sigmoid(sum_h1)
d_h1_d_w2=x[1]*deriv_sigmoid(sum_h1)
d_h1_d_b1=deriv_sigmoid(sum_h1)

#Neuronh2
d_h2_d_w3=x[0]*deriv_sigmoid(sum_h2)
d_h2_d_w4=x[1]*deriv_sigmoid(sum_h2)
d_h2_d_b2=deriv_sigmoid(sum_h2)

#---更新權(quán)重和偏差
#Neuronh1
self.w1-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h1*d_h1_d_w1
self.w2-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h1*d_h1_d_w2
self.b1-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h1*d_h1_d_b1

#Neuronh2
self.w3-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h2*d_h2_d_w3
self.w4-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h2*d_h2_d_w4
self.b2-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_h2*d_h2_d_b2

#Neurono1
self.w5-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_w5
self.w6-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_w6
self.b3-=learn_rate*d_L_d_ypred*d_ypred_d_b3

#---在每次epoch結(jié)束時(shí)計(jì)算總損失
ifepoch%10==0:
y_preds=np.apply_along_axis(self.feedforward,1,data)
loss=mse_loss(all_y_trues,y_preds)
print("Epoch%dloss:%.3f"%(epoch,loss))

#定義數(shù)據(jù)集
data=np.array([
[-2,-1],#Alice
[25,6],#Bob
[17,4],#Charlie
[-15,-6],#Diana
])
all_y_trues=np.array([
1,#Alice
0,#Bob
0,#Charlie
1,#Diana
])

#訓(xùn)練我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)!
network=OurNeuralNetwork()
network.train(data,all_y_trues)

隨著網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)，損失在穩(wěn)步下降。

現(xiàn)在我們可以用這個(gè)網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)性別了：

#做一些預(yù)測(cè)
emily=np.array([-7,-3])#128磅,63英寸
frank=np.array([20,2])#155磅,68英寸
print("Emily:%.3f"%network.feedforward(emily))#0.951-F
print("Frank:%.3f"%network.feedforward(frank))#0.039-M

接下來(lái)？

搞定了一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，快速回顧一下：

介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)——神經(jīng)元；

在神經(jīng)元中使用S型激活函數(shù)；

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是連接在一起的神經(jīng)元；

構(gòu)建了一個(gè)數(shù)據(jù)集，輸入（或特征）是體重和身高，輸出（或標(biāo)簽）是性別；

學(xué)習(xí)了損失函數(shù)和均方差損失；

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)就是最小化其損失；

用反向傳播方法計(jì)算偏導(dǎo)；

用隨機(jī)梯度下降法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)；

接下來(lái)你還可以：

用機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)實(shí)現(xiàn)更大更好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，例如TensorFlow、Keras和PyTorch；

其他類型的激活函數(shù)；

其他類型的優(yōu)化器；

學(xué)習(xí)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這給計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域帶來(lái)了革命；

學(xué)習(xí)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，常用于自然語(yǔ)言處理；

審核編輯：湯梓紅