邊界層的理論及其特點

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邊界層理論的提出

“邊界層理論”的概念最早可以追溯到十九世紀時的流體力學。當時的理論流體力學從無粘不可壓縮的歐拉方程進行推導，由于忽視粘性影響導致理論與實驗結(jié)果存在明顯的矛盾，難以解釋管路壓降等問題。在當時其實已經(jīng)提出了有摩擦的納維斯托克斯方程 ，但受限于數(shù)學水平無法求解方程，故理論與實際一直存在巨大誤差。最后從實際出發(fā)發(fā)展出了水力學，通過實驗數(shù)據(jù)避開了理論分析。

在此基礎(chǔ)上，普朗特 (Ludwig Prandtl) 提出了邊界層的概念，在海德爾堡第三屆國際數(shù)學家大會上發(fā)表了 “關(guān)于摩擦極小的流體運動” 一文。在該論文中，普朗特提出繞固體流動的流體可分為兩個區(qū)域：

在物體表面很薄的一層，在其中粘性力起著重要作用

在該層外的主流區(qū)域，此處的摩擦可以忽略不記

“邊界層”這一理論的提出，極大化簡了理論求解動量方程。

后來，在實驗中科學家們發(fā)現(xiàn)，邊界層具有以下特點：

與物體特征長度相比，邊界層厚度遠小于特征長度；

邊界層內(nèi)存在很大的速度梯度；

邊界層厚度隨流動方向增加；

邊界層各截面壓強等同于主流上的壓強；

邊界層內(nèi)粘性力與慣性力位于同一量級；

邊界層有層流和紊流兩種狀態(tài)；

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邊界層方程組

我們首先考慮二維定常不可壓縮流動，規(guī)定沿流動方向為x軸，垂直壁面方向為y軸。

我們可以得到連續(xù)方程：

動量方程：

邊界條件：

在經(jīng)過邊界層化簡后，方程仍含有非線性項，在1907年，布拉修斯通過方程化簡得到了著名的布拉修斯方程：

1921年，馮·卡門提出了邊界層動能積分方程以計算邊界層問題，通過上述方法我們能對邊界層方程進行求解。

邊界層

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分離和轉(zhuǎn)捩

“分離” 指的是 邊界層出現(xiàn)脫離表面并回流 的現(xiàn)象。壁面對邊界層的 粘性力 和與流動方向相反的 壓差阻力 使得在物體某處的邊界層發(fā)生分離，形成回流區(qū)，導致很大的能量耗散。這種分離有一些典型的例子，例如繞流過圓柱、圓球等鈍頭物體后的流動；角度大的錐形擴散管內(nèi)的流動等等。當層流邊界層在到達分離點前已轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲿r，由于湍流的強烈混合效應，分離點會后移。這樣雖然增大了摩擦阻力，但壓差阻力大為降低，從而減少能量損失。

“轉(zhuǎn)捩” 指的是 邊界層內(nèi)的流動狀態(tài)發(fā)生變化 ，在低雷諾數(shù)時是 層流 ，在高雷諾數(shù)時是 紊流 。當粘性流體繞流物體時，在物體前緣附近的是層流。隨著離前緣的距離的不斷增加，雷諾數(shù)也逐漸加大，層流邊界層流動隨雷諾數(shù)增加會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。流體中不可避免地存在著擾動，使層流發(fā)生變化，向紊流過渡，最終完全變成了紊流。層流向紊流的過渡稱為轉(zhuǎn)捩。

審核編輯：劉清