了解積分非線性誤差

要了解積分非線性誤差的影響，最直接的方法是分析簡單的正弦波，并將眾所周知的三角恒等式應(yīng)用于包含INL誤差的非理想模數(shù)輸出傳遞函數(shù)。

對于理想的系統(tǒng)，具有振幅A和頻率fo的單音正弦波，

X(t) = Asin(2π fot)

使用周期為T的ADC采樣會產(chǎn)生離散信號：

X[n]=Asin(2π fonT),

其中 X[n] 是從每 T 秒對 X（t） 進(jìn)行均勻采樣獲得的離散時間信號。倒數(shù) 1/T = F 稱為采樣率或采樣頻率。

一類特別重要的系統(tǒng)由線性和時間不變的系統(tǒng)組成，或“LTI”。這兩個屬性相結(jié)合，為此類系統(tǒng)提供了特別方便的表示形式。最重要的是，LTI 系統(tǒng) X[n] 的輸入和輸出 Y[n] 之間的關(guān)系可以通過卷積和給出。卷積是分析和描述LTI系統(tǒng)的基礎(chǔ)。在這個例子中，我們將只分析系統(tǒng)的線性度。

線性系統(tǒng)是滿足疊加原理的系統(tǒng)。簡單地說，疊加原理要求系統(tǒng)對信號加權(quán)和的響應(yīng)等于系統(tǒng)對每個單獨輸入信號的響應(yīng)（輸出）的相應(yīng)加權(quán)和。疊加特性大大簡化了線性系統(tǒng)的分析。由于分解屬性，您可以分別計算輸出的不同組件。

將理想的ADC傳輸曲線與具有INL誤差的傳輸曲線進(jìn)行比較，很容易演示具有INL誤差的系統(tǒng)如何產(chǎn)生非線性輸出。當(dāng)輸出 Y3[n] = X1[n] + X2[n] 時，輸出 Y3[n] 不等于輸出 Y1[n] +Y2[n] 的總和。更準(zhǔn)確地說，F(xiàn)（X1 + X2）≠F（X1）+ F（X2）。因此，非線性誤差會產(chǎn)生額外的、不需要的內(nèi)部生成的正弦波，從而增加設(shè)計成本和濾波器復(fù)雜性。（電氣工程師將內(nèi)部生成的正弦波的這種影響視為互調(diào)失真。

圖1.箭頭 A 的尖端和箭頭 B 的尖端之間的距離是 INL 誤差的度量。

在上圖中，理想的傳遞函數(shù)繪制為直線。在本例中，包括INL誤差的非理想傳遞曲線繪制為二階函數(shù)Y[n] = k[X[n]]^2。實際上，非理想傳遞函數(shù)還可以包含二階、三階、四階等，分量 Y[n] = kX1[n] + k2X[n]^2 + k3X[n]^3 + k4X[n]^4 + ...

對于以下分析，僅考慮二階分量。

X1[n] = sin（2π × fo × nT） fo = 1Hz（為清楚起見，將fo分開），振幅A=1，無相位

Y1[n] = kX1[n]X1[n] 為簡單起見，在本例中設(shè)置常量 k = 1

Y1[n] = sin（2π × 1 × nT）sin（2π × 1 × nT）

注意：從三角恒等式中回想一下，Sin（A）Sin（B） = Cos（A-B）/2 - Cos（A+B）/2

Y1[n] = cos（2π × 1 × nT - 2π × 1 × nT）/2 - cos（2π × 1 × nT + 2π × 1 × nT）/2

Y1[n] = cos（0）/2 - cos（4π × 1 × nT）/2

Y1[n] = 1/2 - cos（2π × 2 × nT）/2 （fo = 2Hz 且峰值振幅為 -0.5 的余弦波）

圖2.Y2[n] = X2[n]2= 1/2 - cos（2π × 6 × nT）/2.

X2[n] = sin（2π × fo × nT），fo = 3Hz，振幅 A=1

Y2[n] = sin（2π × 3 × nT）sin（2π × 3 × nT）

Y2[n] = cos（2π × 3 × nT - 2π × 3 × nT）/2 - cos（2π × 3 × nT + 2π × 3 × nT）/2

Y2[n] = cos（0）/2 - cos（4π × 3 × nT）/2

Y2[n] = 1/2 - cos（2π × 6 × nT）/2 （fo = 6Hz 且峰值振幅為 -0.5 的余弦波）

圖3.Y1[n] = X1[n]2= 1/2 - cos（2π × 2 × nT）/2.

我們現(xiàn)在可以應(yīng)用 X3[n] = X1[n] + X2[n] ，其中 Y3[n] = [X[3]]^2

Y3[n] = [ X1[n] + X2[n] ]^2

Y3[n] = X1[n]X1[n] + 2 X1[n]X2[n] + X2[n]X2[n]

如前所述：

X1[n]X1[n] 導(dǎo)致恒定值為 1/2，余弦波為 2Hz，振幅為 -0.5

X2[n]X2[n] 導(dǎo)致恒定值為 1/2，余弦波為 6Hz，振幅為 -0.5

For 2X1[n]X2[n] = 2sin(2π × 1 × nT)sin(2π × 3 × nT)
                = cos(2π × 1 × nT - 2π × 3 × nT) - cos(2π × 1 × nT + 2π × 3 × nT)
                = cos(-4π × nT) - cos(8π × nT)
                = cos(-2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT)
                = cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT)    (cosine waves of 2Hz and 4Hz)

因此

For Y3[n]   = X1[n]^2 + X2[n]^2
            = Y1[n] + Y2[n]
            = 1 - cos(2π × 2 × nT)/2  - cos(2π × 6 × nT)/2

圖4.Y3[n] = X1[n]^2 = 1 - cos（2π × 2 × nT）/2 - cos（2π × 6 × nT）/2.

然而

For Y3[n]   = ( X1[n] + X2[n] )^2
            = 1 - cos(2π × 2 × nT)/2 - cos(2π × 6 × nT)/2 + cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT)

圖5.Y3[n] = X1[n] + X2[n]）^2 = 1 - cos（2π × 2 × nT）/2 - cos（2π × 6 × nT）/2 + cos（2π × 4 × nT）。

由于積分非線性誤差，我們增加了兩個額外的2Hz和4Hz余弦波。不滿足疊加原理，因此該系統(tǒng)是非線性的，不是線性時不變系統(tǒng)。如上所述，需要應(yīng)用濾波來抑制額外的無用頻率（或旁瓣），從而增加了設(shè)計的復(fù)雜性和成本。