動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件 一階電路的時(shí)域分析

01 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件

電容元件、電感元件這種電壓、電流的約束關(guān)系是通過(guò)導(dǎo)數(shù)(或積分)表示的，稱為動(dòng)態(tài)元件，或稱為儲(chǔ)能元件。 含有動(dòng)態(tài)元件的電路被稱為動(dòng)態(tài)電路。 動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)特征是當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或者元件的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可改變電路的工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變往往需要一個(gè)過(guò)程，在工程上稱為過(guò)渡過(guò)程。 上述電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為“換路”，并認(rèn)為換路是在t=0時(shí)刻進(jìn)行的。 為了敘述方便，把換路前的最終時(shí)刻記為把換路后的最初時(shí)刻記為換路經(jīng)歷的時(shí)間為到。 分析動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程的方法之一是：根據(jù)KCL、KVL和支路的VCR建立描述電路的方程，這類方程是以時(shí)間為自變量的線性常微分方程，然后求解常微分方程，從而得到電路所求變量(電壓或電流)。 此類方法稱為經(jīng)典法，這是一種在時(shí)間域中進(jìn)行的分析方法。

對(duì)于線性電容，在任意時(shí)刻t時(shí)，它的電荷、電壓與電流的關(guān)系為：

式中q,uc和ic分別為電容的電荷、電壓和電流。 令，則得

如果在換路前后，即到的瞬間，電流為有限值，上式中右方的積分項(xiàng)將為零，此時(shí)電容上的電荷和電壓就不會(huì)發(fā)生躍變，即

即在換路的瞬間，帶電電容可視為一個(gè)電壓值為U0的電壓源。 同理，對(duì)于不帶電荷的電容，在換路瞬間電容相當(dāng)于短路。

線性電感的磁通鏈、電流和電壓的關(guān)系為

令

，則得

如果在換路前后，即到

的瞬間，電壓為有限值，上式中右方的積分項(xiàng)將為零，此時(shí)電感中的磁通鏈和電流不發(fā)生躍變，即

電感在換路瞬間可視為一個(gè)電流值為的電流源。 同理對(duì)于電流為零的電感，此電感在換路瞬間相當(dāng)于開路。

02 一階電路零輸入響應(yīng)

動(dòng)態(tài)電路中無(wú)外施激勵(lì)電源，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)。

03 一階電路零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)就是電路在零初始狀態(tài)下(動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零)由外施激勵(lì)所引起的響應(yīng)。

04 一階電路的全響應(yīng)

一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí)，電路的響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。 在下圖所示電路為已充電的電容經(jīng)過(guò)電阻接到直流電壓源Us。 設(shè)電容原有電壓uc=U0，開關(guān)閉合后，根據(jù)KVL有

即有

初始條件

方程的通解

取換路后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的電容電壓為特解，則

為上述微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解

其中

為電路的時(shí)間常數(shù)，所以有

得積分常數(shù)為

所以電容電壓

這就是電容電壓在t>0時(shí)的全響應(yīng)。 上式可以改寫為

即全響應(yīng) =(零輸入響應(yīng))+(零狀態(tài)響應(yīng))全響應(yīng) = (強(qiáng)制分量)+(自由分量)全響應(yīng) =
(穩(wěn)態(tài)分量)+(瞬態(tài)分量)全響應(yīng)是由初始值、特解和時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素決定的。

在直流電源激勵(lì)下，若初始值為，特解為穩(wěn)態(tài)解，時(shí)間常數(shù)為τ，則全響應(yīng)

只需要知道這三個(gè)要素，則可以根據(jù)上式直接寫出直流激勵(lì)下一階電路的全響應(yīng)，這種方法稱為三要素法。 如果電路中僅含一個(gè)儲(chǔ)能元件(L或C)，電路的其他部分有電阻和獨(dú)立電源或受控源連接而成，這種電路仍是一階電路。 求解這類電路時(shí)，可以把儲(chǔ)能元件以外的部分，使用戴維寧定理或者諾頓定理進(jìn)行等效變換，然后求得儲(chǔ)能元件上的電壓和電流。 如果還要求其他支路上的電壓和電流，則可以按照變換前的原電路進(jìn)行。