控制系統(tǒng)微分方程是在時(shí)間域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型,在給定外作用及初始條件下,求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。
應(yīng)用微分方程列寫控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法比較直觀,對于復(fù)雜的高階微分方程,特別適合于計(jì)算機(jī)編程求解,采用迭代的方法循環(huán)計(jì)算一定時(shí)間后獲得輸出量波形曲線。缺點(diǎn)是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)改變時(shí),需要重新列寫并求解微分方程,才能獲得系統(tǒng)的性能指標(biāo)數(shù)據(jù),不方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。
用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)微分方程時(shí),可以獲得控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型,即傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,并且可以在不求系統(tǒng)輸出解的情況下,研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo),特別適合于不借助于計(jì)算機(jī)情況下分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的性能,當(dāng)然,也可以利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)性能分析,由此可見,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。
1.傳遞函數(shù)概念
定義:線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比;
設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階微分方程為:
這里,c(t)是系統(tǒng)輸出量,r(t)是系統(tǒng)輸入量,ai,bj是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)常系數(shù);
在零初始條件下,即輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為0;對上式兩側(cè)分別求取拉氏變換,可獲得s的代數(shù)方程為:
于是,可求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:
已知RLC串聯(lián)無源網(wǎng)絡(luò),求電容電壓Uo(s)與輸入電壓Ui(s)之間的傳遞函數(shù)
RLC網(wǎng)絡(luò)電容電壓微分方程為:
在零初始條件下,對上式中各項(xiàng)求拉氏變換,可得到關(guān)于s的代數(shù)方程,
令Uo(s)=L[Uo(t)],Ui(s)=L[Ui(t)],則關(guān)于s的代數(shù)方程為:
根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換比值為:
傳遞函數(shù)示意圖如下:
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