史密斯圓圖的歷史和來(lái)龍去脈

本文您將了解到史密斯圓圖的歷史和來(lái)龍去脈，以及它與反射系數(shù)的關(guān)系及如何使計(jì)算阻抗更容易。

史密斯圓圖是一種圖形化的 RF 設(shè)計(jì)工具，它使我們能夠輕松計(jì)算將給定阻抗轉(zhuǎn)換為另一個(gè)阻抗所需的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)的組件。

早在 1930 年代，史密斯圓圖就是高頻工作的主要內(nèi)容。對(duì)于今天的計(jì)算機(jī)，這種圖形工具作為計(jì)算輔助工具可能已經(jīng)變得不那么重要了;但是，它仍然是直觀地可視化RF電路不同參數(shù)的有用工具。如此之多，以至于所有射頻電路和系統(tǒng)模擬器以及測(cè)量設(shè)備（如網(wǎng)絡(luò)分析儀）都可以直接在史密斯圓圖上顯示其輸出?？紤]到其廣泛使用，有必要對(duì)史密斯圓圖有透徹的了解，以便能夠使用不同的射頻模擬器和測(cè)量設(shè)備。

史密斯圓圖對(duì)于通過(guò)手工計(jì)算設(shè)計(jì)阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)也非常有用。使用史密斯圓圖設(shè)計(jì)阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)快速、直觀，而且在實(shí)踐中通常足夠準(zhǔn)確。

史密斯圓圖上的反射系數(shù)：一個(gè)表現(xiàn)良好的參數(shù)

史密斯圓圖基本上是反射系數(shù)的極坐標(biāo)圖（以及我們稍后將介紹的一些其他圖）?？紤]到史密斯圓圖的廣泛流通，您可能會(huì)正確地猜到反射系數(shù)參數(shù)在基于 RF 的工作中是最重要的。使用低頻電路的模擬設(shè)計(jì)師通常使用阻抗概念來(lái)分析和建模他們的電路。當(dāng)頻率超過(guò)幾百兆赫茲時(shí)，阻抗的概念就有些失去用處了。在更高頻率下，反射系數(shù)的概念可能更有幫助。

為了更好地理解反射系數(shù)的獨(dú)特特征，請(qǐng)參考圖1中的圖表，該圖顯示了一條以任意阻抗Z L.為終端的傳輸線。

圖 1.傳輸線端接任意阻抗。

傳輸線沿線不同點(diǎn)的輸入阻抗通過(guò)公式 1 給出：

等式 1

其中 (d)中的Γ，距離負(fù)載 d 處的反射系數(shù)，如等式 2 所示：

等式 2

在公式 2 中，β 是相位常數(shù)，Γ0是熟悉的負(fù)載反射系數(shù)，由此得出等式 3：

等式 3

等式 3 很容易理解；它給出了給定ZL的負(fù)載反射系數(shù)。例如，如果 ZL= 50 + j50 Ω 和Z0= 50 Ω，我們得到 Γ0= 0.2 + j0.4。等式 2 顯示了反射系數(shù)如何沿線變化。如您所見(jiàn)， (d)中Γ 的大小是恒定的，等于 Γ0的大小（上述值為0.447）；然而，它的相位角隨與負(fù)載的距離線性變化。

例如，如果βd（稱(chēng)為線路的電氣長(zhǎng)度）為45°，則（d）中Γ的相位角為Γ0的相位減去90°（63.4°- 90° = -26.6°）。圖 2 中的以下極坐標(biāo)圖顯示了如何從 Γ0以圖形方式獲得 (d)中的Γ。

圖 2. 使用上述示例和方程式的示例極坐標(biāo)圖。

可以看出，對(duì)于給定的Γ0，(d)中沿線Γ的反射系數(shù)位于半徑為|Γ0|的圓上?？偠灾?，反射系數(shù)是一個(gè)性能良好的 RF 參數(shù)，因?yàn)樗姆妊鼐€路恒定，并且其相位角隨線路長(zhǎng)度線性變化。線路阻抗不是這種情況。對(duì)于不匹配的負(fù)載，輸入阻抗沿線路連續(xù)變化。對(duì)于 |Γ0|= 1，輸入阻抗的大小可以在零和無(wú)窮大之間的任何地方。

高頻反射系數(shù)——測(cè)量的簡(jiǎn)便性和可靠性

反射系數(shù)在高頻工作中是一個(gè)更具吸引力的參數(shù)還有另一個(gè)原因。阻抗的概念很自然地將我們引向二端口網(wǎng)絡(luò)表示，例如阻抗參數(shù)、導(dǎo)納參數(shù)和混合參數(shù)。為了通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定這些表示的參數(shù)，我們需要開(kāi)路或短路適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)端口。然而，在高頻下，很難提供短路和開(kāi)路條件，尤其是在很寬的頻率范圍內(nèi)。此外，有源高頻電路在開(kāi)路或短路時(shí)可能會(huì)振蕩。

另一方面，反射系數(shù)的概念與S參數(shù)表示密切相關(guān)。使用這種類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)表示，網(wǎng)絡(luò)的適當(dāng)端口終止于線路的特性阻抗。例如，下圖（圖 3）測(cè)量了兩個(gè) S 參數(shù)，即 S11（輸入反射系數(shù)）和S21（從端口 1 到端口 2 的傳輸系數(shù)）。

圖 3. 顯示兩個(gè) S 參數(shù)的示例圖。

與其他類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)表示相比，S 參數(shù)的一大優(yōu)勢(shì)是 S 參數(shù)測(cè)量所需的寬帶電阻終端在實(shí)踐中是可以實(shí)現(xiàn)的。這使我們能夠進(jìn)行準(zhǔn)確且可重復(fù)的射頻測(cè)量。

史密斯圓圖的發(fā)明

AT&T 工程師Philip Smith 于 1933 年發(fā)明了 Smith 圓圖，以簡(jiǎn)化傳輸線的輸入阻抗計(jì)算。如上所述，史密斯圓圖是反射系數(shù)的極坐標(biāo)圖。然而，在那些日子里，工程師們習(xí)慣于使用阻抗概念。反射系數(shù)的圖表對(duì)他們來(lái)說(shuō)沒(méi)有多大意義。

首先，我們?cè)O(shè)置一些背景來(lái)了解史密斯發(fā)明的重要性。S 參數(shù)由 K.Kurokawa 在 1960 年代引入。在史密斯圓圖發(fā)明 30 多年后的1960 年代，還引入了使用 S 參數(shù)將 RF 組件表征為千兆赫區(qū)域的網(wǎng)絡(luò)分析儀。Smith 至少已經(jīng)認(rèn)識(shí)到反射系數(shù)相對(duì)于阻抗的一些優(yōu)勢(shì)，并決定使用 Γ 概念來(lái)解決他所涉及的問(wèn)題。為了能夠用熟悉的阻抗參數(shù)術(shù)語(yǔ)與其他工程師交談，Smith還決定包括一些阻抗圖，以便可以輕松找到給定反射系數(shù)的等效阻抗，反之亦然。通過(guò)繪制 Γ 平面中恒定電阻和電抗的等值線，

圖 4. 史密斯圓圖示例。

在大多數(shù) Smith 圓圖中，Γ 平面的實(shí)軸和虛軸沒(méi)有顯示，因?yàn)閷?shí)際上沒(méi)有必要明確顯示它們。這給我們留下了一些分別對(duì)應(yīng)于恒定電阻和電抗等值線的圓和弧。讓我們看看這些偶爾會(huì)變得令人生畏和困惑的等高線是如何獲得的，以及我們?nèi)绾谓忉屗鼈儭?/p>

史密斯圓圖歸一化阻抗

史密斯圓圖基于Γ0和阻抗之間的關(guān)系（等式3）。請(qǐng)務(wù)必注意，等式3 描述了這兩個(gè)參數(shù)之間的一對(duì)一關(guān)系，因此知道一個(gè)就等同于知道另一個(gè)。此外，史密斯圓圖是使用歸一化阻抗繪制的，定義如下：

等式 4

其中 r 和 x 是歸一化阻抗的實(shí)部和虛部。繪制歸一化阻抗允許我們對(duì)具有不同參考阻抗的系統(tǒng)使用相同的圖表。但是，我們需要記住，我們從圖表中讀取的阻抗應(yīng)該乘以Z0才能找到我們系統(tǒng)的實(shí)際阻抗值。另請(qǐng)注意，使用歸一化阻抗不會(huì)改變 Γ0方程。為了用歸一化阻抗表示 Γ0，我們將等式 3 的分子和分母都除以 Z0 ，這顯然不會(huì)改變等式。根據(jù) z 的Γ0方程如下所示：

等式 5

因此，雖然史密斯圓圖上顯示的阻抗已歸一化，但反射系數(shù)并未歸一化。等式 5 是確定給定 z 如何產(chǎn)生其對(duì)應(yīng) Γ 的映射函數(shù)。這個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)雙線性變換。這個(gè)名字源于它是兩個(gè)線性函數(shù)的比率。雙線性變換將圓映射為圓。請(qǐng)記住，對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，直線也是圓的特例。

恒阻圓

作為雙線性變換，等式 5 將常數(shù) r 的線（或具有常數(shù)實(shí)部的阻抗）映射到 Γ 平面中的圓。例如，直線 z = 0 + jx 被轉(zhuǎn)換為以 Γ 平面原點(diǎn)為中心、半徑為 1 的圓（請(qǐng)參見(jiàn)下方圖 5 中的藍(lán)線和藍(lán)圈）。

圖 5. 雙線性變換示例。

類(lèi)似地，變換將線 z = 1 + jx 映射到以 u = 0.5 和 v = 0 為中心的半徑為 0.5 的圓。通常，可以證明具有常數(shù) r 的阻抗被變換為半徑為?為中心的圓?? 并且v = 0。

恒電抗環(huán)

對(duì)于某些 x 值，具有恒定電抗的阻抗映射如圖 6 所示。

圖 6. 具有恒定電抗的阻抗映射示例。

同樣，等式 5 的雙線性變換將 x 常數(shù)（或具有常數(shù)虛部的阻抗）的線映射到 Γ 平面中的圓。請(qǐng)注意，上圖中僅顯示了這些圓中位于單位圓內(nèi)的部分。使用無(wú)源負(fù)載時(shí)，|Γ|不能超過(guò)unity。這意味著阻抗在單位圓內(nèi)具有 r ≥ 0 映射。這就是為什么我們?cè)谔幚硎访芩箞A圖時(shí)通常對(duì)局限于單位圓的區(qū)域感興趣。只有一部分恒電抗圓落在單位圓內(nèi)，因此，這些曲線表現(xiàn)為一些圓弧而不是完整的圓。

通常，具有常數(shù) x 的阻抗被轉(zhuǎn)換為半徑為1/x 的圓，中心是u=1 和 v=1/x。史密斯圖是反射系數(shù)與上述恒定電阻和電抗輪廓線疊加的極坐標(biāo)圖（上圖4）。

審核編輯 ：李倩