簡(jiǎn)述游戲中常用的兩種隨機(jī)算法（下）

先說(shuō)結(jié)論，當(dāng)你遇到第i個(gè)元素時(shí)，應(yīng)該有1/i的概率選擇該元素，1 - 1/i的概率保持原有的選擇 ?？创a容易理解這個(gè)思路：

/* 返回鏈表中一個(gè)隨機(jī)節(jié)點(diǎn)的值 */
int getRandom(ListNode head) {
    Random r = new Random();
    int i = 0, res = 0;
    ListNode p = head;
    // while 循環(huán)遍歷鏈表
    while (p != null) {
        i++;
        // 生成一個(gè) [0, i) 之間的整數(shù)
        // 這個(gè)整數(shù)等于 0 的概率就是 1/i
        if (0 == r.nextInt(i)) {
            res = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

對(duì)于概率算法，代碼往往都是很淺顯的，但是這種問(wèn)題的關(guān)鍵在于證明，你的算法為什么是對(duì)的？為什么每次以1/i的概率更新結(jié)果就可以保證結(jié)果是平均隨機(jī)的？

我們來(lái)證明一下，假設(shè)總共有n個(gè)元素，我們要的隨機(jī)性無(wú)非就是每個(gè)元素被選擇的概率都是1/n對(duì)吧，那么對(duì)于第i個(gè)元素，它被選擇的概率就是：

第i個(gè)元素被選擇的概率是1/i，在第i+1次不被替換的概率是1 - 1/(i+1)，在第i+2次不被替換的概率是1 - 1/(i+2)，以此類推，相乘的結(jié)果是第i個(gè)元素最終被選中的概率，也就是1/n。因此，該算法的邏輯是正確的。

同理，如果要在單鏈表中隨機(jī)選擇k個(gè)數(shù)，只要在第i個(gè)元素處以k/i的概率選擇該元素，以1 - k/i的概率保持原有選擇即可 。代碼如下：

/* 返回鏈表中 k 個(gè)隨機(jī)節(jié)點(diǎn)的值 */
int[] getRandom(ListNode head, int k) {
    Random r = new Random();
    int[] res = new int[k];
    ListNode p = head;

    // 前 k 個(gè)元素先默認(rèn)選上
    for (int i = 0; i < k && p != null; i++) {
        res[i] = p.val;
        p = p.next;
    }

    int i = k;
    // while 循環(huán)遍歷鏈表
    while (p != null) {
        i++;
        // 生成一個(gè) [0, i) 之間的整數(shù)
        int j = r.nextInt(i);
        // 這個(gè)整數(shù)小于 k 的概率就是 k/i
        if (j < k) {
            res[j] = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

對(duì)于數(shù)學(xué)證明，和上面區(qū)別不大：

雖然每次更新選擇的概率增大了k倍，但是選到具體第i個(gè)元素的概率還是要乘1/k，也就回到了上一個(gè)推導(dǎo)。

類似的，回到掃雷游戲的隨機(jī)初始化問(wèn)題，我們可以寫(xiě)一個(gè)這樣的sample抽樣函數(shù)：

// 在區(qū)間 [lo, hi) 中隨機(jī)抽取 k 個(gè)數(shù)字
int[] sample(int lo, int hi, int k) {
    Random r = new Random();
    int[] res = new int[k];

    // 前 k 個(gè)元素先默認(rèn)選上
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        res[i] = lo + i;
    }

    int i = k;
    // while 循環(huán)遍歷數(shù)字區(qū)間
    while (i < hi - lo) {
        i++;
        // 生成一個(gè) [0, i) 之間的整數(shù)
        int j = r.nextInt(i);
        // 這個(gè)整數(shù)小于 k 的概率就是 k/i
        if (j < k) {
            res[j] = lo + i - 1;
        }
    }
    return res;
}

這個(gè)函數(shù)能夠在一定的區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選擇k個(gè)數(shù)字，確保抽樣結(jié)果是均勻隨機(jī)的且只需要 O(N) 的時(shí)間復(fù)雜度。

蒙特卡洛驗(yàn)證法

上面講到的洗牌算法和水塘抽樣算法都屬于隨機(jī)概率算法，雖然從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)上可以證明算法的思路是正確的，但如果你筆誤寫(xiě)出 bug，就會(huì)導(dǎo)致概率上的不均等。更神奇的是，力扣的判題機(jī)制能夠檢測(cè)出這種概率錯(cuò)誤。

那么最后我就來(lái)介紹一種方法檢測(cè)隨機(jī)算法的正確性：蒙特卡洛方法。我猜測(cè)力扣的判題系統(tǒng)也是利用這個(gè)方法來(lái)判斷隨機(jī)算法的正確性的。

記得高中有道數(shù)學(xué)題：往一個(gè)正方形里面隨機(jī)打點(diǎn)，這個(gè)正方形里緊貼著一個(gè)圓，告訴你打點(diǎn)的總數(shù)和落在圓里的點(diǎn)的數(shù)量，讓你計(jì)算圓周率。

這其實(shí)就是利用了蒙特卡羅方法：當(dāng)打的點(diǎn)足夠多的時(shí)候，點(diǎn)的數(shù)量就可以近似代表圖形的面積。結(jié)合面積公式，可以很容易通過(guò)正方形和圓中點(diǎn)的數(shù)量比值推出圓周率的。

當(dāng)然，打的點(diǎn)越多，算出的圓周率越準(zhǔn)確，充分體現(xiàn)了大力出奇跡的道理。

比如，我們可以這樣檢驗(yàn)水塘抽樣算法sample函數(shù)的正確性：

public static void main(String[] args) {
    // 在 [12, 22) 中隨機(jī)選 3 個(gè)數(shù)
    int lo = 12, hi = 22, k = 3;
    // 記錄每個(gè)元素被選中的次數(shù)
    int[] count = new int[hi - lo];
    // 重復(fù) 10 萬(wàn)次
    int N = 1000000;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int[] res = sample(lo, hi, k);
        for (int elem : res) {
            // 對(duì)隨機(jī)選取的元素進(jìn)行記錄
            count[elem - lo]++;
        }
    }
    System.out.println(Arrays.toString(count));
}

這段代碼的輸出如下：

[300821, 299598, 299792, 299198, 299510, 300789, 300022, 300326, 299362, 300582]

當(dāng)然你可以做更細(xì)致的檢查，不過(guò)粗略看看，各個(gè)元素被選中的次數(shù)大致是相同的，這個(gè)算法實(shí)現(xiàn)的應(yīng)該沒(méi)啥問(wèn)題。

對(duì)于洗牌算法中的shuffle函數(shù)也可以采取類似的驗(yàn)證方法，我們可以跟蹤某一個(gè)元素x被打亂后的索引位置，如果x落在各個(gè)索引的次數(shù)基本相同，則說(shuō)明算法正確，你可以自己嘗試實(shí)現(xiàn)，我就不貼代碼驗(yàn)證了。

拓展延伸

到這里，常見(jiàn)的隨機(jī)算法就講完了，簡(jiǎn)單總結(jié)下吧。

洗牌算法主要用于打亂數(shù)組，比如我們?cè)?快速排序詳解及運(yùn)用中就用到了洗牌算法保證快速排序的效率。

水塘抽樣算法的運(yùn)用更加廣泛，可以在序列中隨機(jī)選擇若干元素，且能保證每個(gè)元素被選中的概率均等。

對(duì)于這些隨機(jī)概率算法，我們可以用蒙特卡洛方法檢驗(yàn)其正確性。

最后留幾個(gè)拓展題目：

1、本文開(kāi)頭講到了將二維數(shù)組坐標(biāo)(x, y)轉(zhuǎn)化成一維數(shù)組索引的技巧，那么你是否有辦法把三維坐標(biāo)(x, y, z)轉(zhuǎn)化成一維數(shù)組的索引呢？

2、如何對(duì)帶有權(quán)重的樣本進(jìn)行加權(quán)隨機(jī)抽?。勘热缃o你一個(gè)數(shù)組w，每個(gè)元素w[i]代表權(quán)重，請(qǐng)你寫(xiě)一個(gè)算法，按照權(quán)重隨機(jī)抽取索引。比如w = [1,99]，算法抽到索引 0 的概率是 1%，抽到索引 1 的概率是 99%。

3、實(shí)現(xiàn)一個(gè)生成器類，構(gòu)造函數(shù)傳入一個(gè)很長(zhǎng)的數(shù)組，請(qǐng)你實(shí)現(xiàn)randomGet方法，每次調(diào)用隨機(jī)返回?cái)?shù)組中的一個(gè)元素，多次調(diào)用不能重復(fù)返回相同索引的元素。要求不能對(duì)該數(shù)組進(jìn)行任何形式的修改，且操作的時(shí)間復(fù)雜度是 O(1)