奈奎斯特-香農(nóng)定理：了解采樣系統(tǒng)

奈奎斯特采樣定理，或更準確地說是奈奎斯特-香農(nóng)定理，是支配混合信號電子系統(tǒng)設計的基本理論原則。

如果沒有模數(shù)轉換和數(shù)模轉換，就不會存在我們所知道的現(xiàn)代技術。事實上，這些操作已經(jīng)變得如此普遍，以至于說模擬信號可以轉換為數(shù)字信號再轉換回模擬信號而不會丟失任何重大信息，這聽起來像是不言而喻。

但是我們怎么知道確實是這樣呢？為什么采樣是一種非破壞性操作，當它似乎丟棄了我們在各個樣本之間觀察到的如此多的信號行為時？

我們究竟如何從一個看起來像這樣的信號開始：

并將其數(shù)字化為：

然后還敢聲稱可以在不丟失信息的情況下恢復原始信號？

奈奎斯特-香農(nóng)定理

這樣的說法是可能的，因為它符合現(xiàn)代電氣工程最重要的原則之一：

如果系統(tǒng)以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進行均勻采樣，則可以從采樣產(chǎn)生的離散值中完美地恢復原始模擬信號。

關于這個定理還有很多要說的，但首先，讓我們試著弄清楚如何稱呼它。

香農(nóng)？奈奎斯特？科捷利尼科夫？惠特克？

我當然不是決定誰應該因制定、證明或解釋香農(nóng)-奈奎斯特-科特尼科夫-惠特克采樣和插值理論而獲得最多榮譽的人。所有這四個人都有某種顯著的參與。

然而，Harry Nyquist 的角色似乎已經(jīng)超出了其原有的意義。例如，在Tan 和 Jiang 的Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications中，上述原理被確定為“Shannon sampling theorem”，在Sedra 和 Smith 的Microelectronic Circuits中，我發(fā)現(xiàn)以下句子：“The fact that we可以對有限數(shù)量的樣本進行處理……而忽略樣本之間的模擬信號細節(jié)是基于……香農(nóng)的采樣定理。”

因此，我們可能應該避免使用“奈奎斯特采樣定理”或“奈奎斯特采樣理論”。如果我們需要將一個名稱與這個概念相關聯(lián)，我建議我們只包括 Shannon 或包括 Nyquist 和 Shannon。事實上，也許是時候過渡到更匿名的東西了，比如“基本采樣定理”。

如果您覺得這有點迷惑，請記住，上述采樣定理與奈奎斯特速率不同，后者將在本文后面進行解釋。我認為沒有人試圖將奈奎斯特與其速率分開，所以我們最終得到了一個很好的折衷方案：香農(nóng)得到定理，奈奎斯特得到速率。

時域采樣理論

如果我們將采樣定理應用于頻率為 f SIGNAL的正弦波，如果我們想要實現(xiàn)完美重建，就必須在 f SAMPLE ≥ 2f SIGNAL處對波形進行采樣。換句話說，我們每個正弦周期至少需要兩個樣本。讓我們首先嘗試通過在時域中思考來理解這個要求。

在下圖中，正弦波的采樣頻率遠高于信號頻率。

每個圓圈代表一個采樣時刻，即測量模擬電壓并將其轉換為數(shù)字的精確時刻。

為了更好地可視化此采樣過程為我們提供的內容，我們可以繪制樣本值，然后用直線將它們連接起來。下圖中顯示的直線近似看起來與原始信號完全一樣：采樣頻率相對于信號頻率非常高，因此線段與相應的曲線正弦曲線段沒有明顯不同。

當我們降低采樣頻率時，直線近似的外觀與原來的不同。

每個周期 20 個樣本（f樣本= 20f信號）

每個周期 10 個樣本（f樣本= 10f信號）

每個周期 5 個樣本（f樣本= 5f信號）

在 fSAMPLE= 5fSIGNAL時，離散時間波形不再是連續(xù)時間波形的令人滿意的表示。但是請注意，我們仍然可以清楚地識別離散時間波形的頻率。信號的循環(huán)性質并沒有丟失。

閾值：每個周期兩個樣本

當我們將每個周期的樣本數(shù)減少到五個以下時，采樣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點將繼續(xù)保留模擬信號的循環(huán)性質。然而，最終我們達到了頻率信息被破壞的程度?？紤]以下情節(jié)：

每個周期 2 個樣本（f樣本= 2f信號）

當 fSAMPLE= 2fSIGNAL時，正弦曲線形狀完全消失。盡管如此，采樣數(shù)據(jù)點產(chǎn)生的三角波并沒有改變正弦波的基本周期性。三角波的頻率與原始信號的頻率相同。

但是，一旦我們將采樣頻率降低到每個周期少于兩個樣本的程度，就無法再做出這種說法。因此，對于原始波形中的最高頻率，每個周期兩個樣本是混合信號系統(tǒng)中至關重要的閾值，相應的采樣頻率稱為奈奎斯特速率：

如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率對模擬信號進行采樣，我們將無法完美地重建原始信號。

接下來的兩個圖展示了當采樣頻率降至奈奎斯特速率以下時發(fā)生的循環(huán)等效性損失。

每個周期 2 個樣本（f樣本= 2f信號）

每個周期 1.9 個樣本（f樣本= 1.9f信號）

在 fSAMPLE= 1.9fSIGNAL時，離散時間波形從根本上獲得了新的循環(huán)行為。采樣模式的完全重復需要一個以上的正弦周期。

然而，當我們每個周期有 1.9 個樣本時，采樣頻率不足的影響有點難以解釋。接下來的情節(jié)使情況更加明朗。

每個周期 1.1 個樣本（f樣本= 1.1f信號）

如果您對正弦曲線一無所知并使用以 1.1f SIGNAL采樣產(chǎn)生的離散時間波形進行分析，您將對原始信號的頻率形成嚴重錯誤的想法。此外，如果您擁有的只是離散數(shù)據(jù)，則不可能知道頻率特性已被破壞。采樣創(chuàng)建了原始信號中不存在的新頻率，但您不知道該頻率不存在。

底線是：當我們以低于奈奎斯特速率的頻率進行采樣時，信息將永久丟失，并且無法完美地重建原始信號。

結論

我們已經(jīng)介紹了香農(nóng)采樣定理和奈奎斯特速率，并且我們試圖通過觀察時域中采樣的影響來深入了解這些概念。




審核編輯：劉清