什么是數(shù)?
2是一個(gè)數(shù)嗎?肯定是的咯。 那“二”呢?“two”呢? 相信你能感覺到,它們不但都是數(shù),而且是在用不同的記號(hào)表達(dá)著同樣的一個(gè)“東西”,即那個(gè)我們數(shù)兩個(gè)蘋果或兩個(gè)梨時(shí)天然感覺到的量。這個(gè)感覺說不清道不明,但真真切切地存在——誰(shuí)都會(huì)數(shù)數(shù)嘛。
這就麻煩了,如何刻畫、把握與定義一個(gè)說不清道不明的東西呢?哲學(xué)家維特根斯坦(Wittgenstein)有言“一個(gè)詞的含義是它在語(yǔ)言中的用法”。
在工程界也有著所謂鴨子測(cè)試(Duck Test)的準(zhǔn)則:如果一個(gè)事物看起來(lái)像鴨子、游起來(lái)像鴨子、叫起來(lái)也像鴨子,那它就是個(gè)鴨子。這指引著我們通過概念的性質(zhì)來(lái)定義概念本身。
我們通過性質(zhì)來(lái)定義概念。
換言之,我們不關(guān)心一個(gè)概念是什么,而關(guān)心它滿足什么。正是概念滿足的性質(zhì)定義了這個(gè)概念本身。
為什么要這樣呢?因?yàn)榭赡苡泻芏嗑唧w的對(duì)象都承載著我們關(guān)心的概念,這個(gè)概念不是其中任何一個(gè)具體對(duì)象,而是所有這些對(duì)象所共同承載著的那個(gè)存在,其彰顯于這些對(duì)象所共同具有的性質(zhì)。
如圖所示,如果我們要定義概念“圓形”,會(huì)發(fā)現(xiàn)它既不是“盤子”,也不是“車輪”,而是盤子與車輪所共享的那種怎么轉(zhuǎn)都不變的形狀。關(guān)于定義的這一點(diǎn)認(rèn)識(shí)對(duì)后文進(jìn)入抽象世界至關(guān)重要。
除此之外,我們不描述概念是什么還有一個(gè)很重要的原因——很遺憾,我們可能永遠(yuǎn)無(wú)法知道某個(gè)概念真正是什么。
最經(jīng)典的例子當(dāng)屬柏拉圖(Plato)的洞穴寓言(allegory of the cave)。
想象你自打出生便被關(guān)在一個(gè)洞穴里,洞口有一塊峭壁,陽(yáng)光將洞外人們?nèi)粘I畹挠白哟蛟谶@塊峭壁上。日復(fù)一日,你能看到的世界只有這塊二維峭壁上的倒影,誠(chéng)然其中有日出日落、陰晴圓缺、人頭攢動(dòng)…… 那些都只是表象,只是我們這個(gè)“更加真實(shí)”的三維世界在你的二維世界中的投影!很遺憾,你永遠(yuǎn)不可能知道這些,你永遠(yuǎn)不可能真正知道峭壁上的那些活動(dòng)著的東西是什么。
基于以上兩點(diǎn),我們不談?wù)摳拍钍鞘裁?,而只關(guān)心其性質(zhì),并由此定義概念本身。
那么,我們選取哪些性質(zhì)呢?不能太多,否則范圍縮得太窄而可能有遺漏;也不能太少,不然范圍太大就海納百川了。這道邊界劃在哪里呢?不要忘了,任何時(shí)候,當(dāng)我們?cè)谡務(wù)撘粋€(gè)概念時(shí),一定是有語(yǔ)境、有上下文、有目的、有話題的。
我們基于所在討論的話題,選擇恰好充分的若干期望被滿足的性質(zhì)來(lái)定義概念。
具體來(lái)說,我們現(xiàn)在要定義“數(shù)”,我們的語(yǔ)境是什么呢?是今天的天氣?是一二三四的味道?當(dāng)然不是。我們能懵懂地感覺到,我們?cè)谡務(wù)摰臇|西,關(guān)乎數(shù)(第三聲),關(guān)乎運(yùn)算。 于是,如果一個(gè)東西能用于計(jì)數(shù),還能進(jìn)行加減乘除,那不管它是什么,于我們討論的話題就足以被稱為“數(shù)”了!
在加減乘除四則運(yùn)算中,減是加的逆運(yùn)算,除是乘的逆運(yùn)算,故我們可以進(jìn)一步將要求降低到能進(jìn)行加法與乘法。于是,這些就是我們要找的那恰好充分的性質(zhì)! 數(shù)是這樣的存在,其可以用于計(jì)數(shù),彼此間可以相加、相乘。反之,如此這般的存在,便可以被認(rèn)為是數(shù)。
可這還沒完,那什么叫“計(jì)數(shù)”,什么又叫“相加”“相乘”呢?我們先來(lái)看第一個(gè)問題。 門前大橋下,游過一群鴨。快來(lái)快來(lái)數(shù)一數(shù),二四六七八。這首膾炙人口的兒歌想必你能哼出來(lái)。相比于一、二、三、四、五這些數(shù)(第四聲),一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)地?cái)?shù)(第三聲),幾乎是生而為人與生俱來(lái)的能力。計(jì)數(shù)不過就是數(shù)數(shù)的同義詞。作為如此習(xí)以為常的天生能力,要如何定義數(shù)數(shù)呢?
讓我們來(lái)想一想,數(shù)數(shù)時(shí)數(shù)到的“二”,其本質(zhì)是個(gè)什么。英國(guó)人叫其“two”,所以顯然“二”“two”這些名稱本身并無(wú)關(guān)乎其本質(zhì)。還有一個(gè)角度,我們可以說“二”是“一”后面的那個(gè)數(shù),是“三”前面的那個(gè)數(shù)。 那什么是“一”,什么又是“三”呢?什么是“前面”,什么又是“后面”呢? 仿佛到了一個(gè)死胡同??磥?lái)我們不能盯著“一”“二”“三”這些具體的孤立數(shù)字不放,而是要把視角抬高,先把“數(shù)數(shù)”這個(gè)概念明確了!畢竟每一個(gè)數(shù)的存在是由數(shù)數(shù)這個(gè)概念的存在衍生來(lái)的。不難發(fā)現(xiàn),數(shù)數(shù)這個(gè)概念完全由如下兩個(gè)性質(zhì)刻畫:
1. 有一個(gè)計(jì)數(shù)的開始;
2. 我們可以一個(gè)一個(gè)不停地?cái)?shù)下去。
基于此,我們可以做出如下定義:
? 定義“一”為第一點(diǎn)所規(guī)定的那個(gè)計(jì)數(shù)的開始;
? 定義“二”為從“一”數(shù)下去的下一個(gè)對(duì)象;
? 定義“三”為從“二”數(shù)下去的下一個(gè)對(duì)象;
? …… 拋開措辭不談,深究起來(lái),這里還有問題。這個(gè)定義并沒有排除一種可能性: 數(shù)著數(shù)著會(huì)不會(huì)兜回來(lái)?一、二、三、二?也即,一個(gè)數(shù)的下一個(gè)數(shù)會(huì)不會(huì)等于之前的某個(gè)數(shù)?光看定義是有這種可能的,雖然我們可以說這一點(diǎn)已經(jīng)被“能不停地?cái)?shù)下去”所排除,因?yàn)椴蝗坏脑?,我們?shù)數(shù)就變成“一二三二三二……”,沒有“下去”呀! 話雖如此,但想必你也意識(shí)到了,這正是自然語(yǔ)言的模糊與歧義所在,根本沒有辦法用它來(lái)明確定義如數(shù)數(shù)這般已然模糊不清難以明言的人類本能。使用一種更加純粹、規(guī)范、無(wú)歧義的語(yǔ)言勢(shì)在必行!
語(yǔ)言是什么?
要上手一門新的語(yǔ)言,第一步自然是要掌握這個(gè)語(yǔ)言的字母、單詞和語(yǔ)法。數(shù)學(xué)這門語(yǔ)言的字母、單詞和語(yǔ)法,統(tǒng)稱為形式。
何謂形式?
形式(form)即無(wú)意義的符號(hào)(symbol)。
那進(jìn)而何謂符號(hào)?
符號(hào)即有限長(zhǎng)度的字符序列(sequence of letters)。
那又何謂字符序列呢?
這就觸及這本書的邊界了——我們不再嘗試對(duì)“字符序列”加以定義,而是需要由你訴諸自己的直覺來(lái)理解。比如,“你好”就是一個(gè)由兩個(gè)字符“你”與“好”組成的字符序列。
當(dāng)然,我們一看到它便會(huì)立馬不自覺地為其賦予意義,知道它是在表達(dá)打招呼的意思。
不妨再來(lái)看個(gè)符號(hào):“KILIG”,這是一個(gè)由五個(gè)字符構(gòu)成的符號(hào),它對(duì)你來(lái)說完全沒有意義了吧!它不是英文,而是來(lái)自一個(gè)叫 Tagalog 的菲律賓呂宋島中部的民族。對(duì)于那里的人們,這個(gè)符號(hào)是有意義的,用于形容浪漫或有趣的事情發(fā)生后肚子里仿佛有蝴蝶在飛舞一般的感覺。
從這兩例我們能看到,符號(hào)與其意義是兩件獨(dú)立的事情,符號(hào)本身是沒有意義的,以純粹形式存在,只有當(dāng)它被置于一個(gè)語(yǔ)境之中后,才獲得了意義。 讓我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子??疾?1 + 1 = 2 這個(gè)斷言。 它成立嗎?當(dāng)然成立! 可是要知道,僅當(dāng)我們賦予了 1、2、+、= 這些符號(hào)我們慣常的含義后,它才成了一個(gè)算術(shù)意義上正確的等式。
但在形式上它顯然是不成立的!為啥?因?yàn)榧词刮覀優(yōu)?= 賦予了慣常的“等于”之含義,其左邊有三個(gè)字符1、+、1,右邊只有一個(gè)字符 2,當(dāng)然是不同的字符序列呀!
有了一堆符號(hào)后,我們首先能做的便是隨意組合它們。比如,給你兩個(gè)符號(hào) 和 ,我們能組合出如下這些:, , , , , · · · 再比如,給你三個(gè)符號(hào)“你”“好”“呀”,我們能組合出你好,你好呀,呀好你,好呀你,你呀呀,好好好, · · · 然而,并不是所有的組合都應(yīng)被采納。
比如第二個(gè)例子中,若我們是想研究中 文,那么顯然只有“你好”“你好呀”可以接受,“呀好你”這種胡言亂語(yǔ)應(yīng)該被丟掉。這種對(duì)符號(hào)組合進(jìn)行的選擇,便是我們俗稱的語(yǔ)法。 再以英語(yǔ)為例。假如我們有符號(hào) I, l, o, v, e, y, u 以及空格,我們可以組合出:I love you,I you love,you love I,ouyi evool uy,… 顯然,只有第一句是合乎語(yǔ)法的。
語(yǔ)法(grammar)是對(duì)符號(hào)組合的選擇。我們稱符號(hào)組合為公式(formula)。稱符合語(yǔ)法的公式為合式公式(well-formed formula)。
至此,我們有了字母、單詞和語(yǔ)法,一門語(yǔ)言便誕生了! 形式語(yǔ)言(formal language)由如下兩部分構(gòu)成:
? 由有限個(gè)符號(hào)構(gòu)成的字母表(alphabet),
? 一個(gè)語(yǔ)法。
進(jìn)而,我們說:數(shù)學(xué)是一門形式語(yǔ)言。
審核編輯:劉清
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關(guān)注
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原文標(biāo)題:?“2”是一個(gè)數(shù)嗎?那“二”呢?“two”呢?
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