最大限度降低單運(yùn)算放大器濾波器的元件變化靈敏度

通過(guò)更深入地研究Sallen-Key濾波器的元件靈敏度，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“最佳點(diǎn)”，它允許設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的單運(yùn)算放大器濾波器，其性能可與更復(fù)雜的濾波器相媲美。這種方法在擴(kuò)展Sallen-Key濾波器的實(shí)用性方面很有用。

多年來(lái)，已經(jīng)設(shè)計(jì)了數(shù)十種濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，每種拓?fù)涠加凶约旱膬?yōu)勢(shì)。然而，工程師通常依賴于這些拓?fù)渲械囊粋€(gè)小而流行的子組，這些子組可以使用“食譜”設(shè)計(jì)方法。他們?yōu)椴惶珡?fù)雜的低階設(shè)計(jì)選擇更簡(jiǎn)單的單運(yùn)放濾波器。但是，當(dāng)相關(guān)的食譜方法無(wú)法開(kāi)發(fā)行為良好的復(fù)雜濾波器時(shí)，工程師通常會(huì)轉(zhuǎn)向更復(fù)雜的拓?fù)洹５?，如果深入分析常?jiàn)的單運(yùn)算放大器拓?fù)洌⊿allen-Key濾波器），則可以得出一些有趣的結(jié)果。

典型的濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程有三個(gè)主要階段。首先，根據(jù)系統(tǒng)要求確定要通過(guò)的頻率范圍、允許的通帶紋波等。接下來(lái)，您確定滿足要求的傳遞函數(shù)（數(shù)學(xué)濾波器描述），通常通過(guò)選擇標(biāo)準(zhǔn)類型之一：巴特沃斯、切比雪夫、貝塞爾、橢圓等。該過(guò)程中的這一步超出了本文的范圍，但可以從末尾列出的參考文獻(xiàn)中獲得詳細(xì)信息。

最后一步是設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)提供所需傳遞函數(shù)的電路。設(shè)計(jì)器通常遵循類似于以下內(nèi)容的策略，該策略在應(yīng)用于說(shuō)明書(shū)拓?fù)鋾r(shí)非常簡(jiǎn)單：

將傳遞函數(shù)分解為二階部分。

選擇允許獨(dú)立合成每個(gè)二階函數(shù)的電路拓?fù)洹?/p>

將每個(gè)級(jí)設(shè)計(jì)為獨(dú)立的二階濾波器。

串聯(lián)連接的二階濾波器。

此時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)說(shuō)明書(shū)方法的共同限制。單運(yùn)算放大器濾波器通常對(duì)其無(wú)源元件值的變化表現(xiàn)出很高的敏感性，而具有高Q值的濾波器（即大多數(shù)高階濾波器）特別敏感。對(duì)于完美的無(wú)源元件來(lái)說(shuō)，這種靈敏度不是問(wèn)題，但實(shí)際元件僅在有限數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)值中可用。說(shuō)明書(shū)計(jì)算可能需要 10.095k 電阻，但實(shí)際可用的最接近值可能是 10.0k。

實(shí)際組件值也因單元而異，并響應(yīng)溫度和其他環(huán)境因素的變化。濾波器對(duì)這些分量變化的敏感性可能導(dǎo)致其明顯偏離其所需的頻率響應(yīng)。在許多情況下，設(shè)計(jì)人員會(huì)轉(zhuǎn)向更復(fù)雜的濾波器拓?fù)洹?/p>

薩倫基拓?fù)?/p>

Sallen-Key濾波器（基準(zhǔn)電壓源1）是最常見(jiàn)的單運(yùn)算放大器濾波器之一。其低通版本（圖1）具有以下設(shè)計(jì)公式：

Q是“品質(zhì)因數(shù)”（在固有頻率附近發(fā)生的峰值的量度），K = 1 + RB/R一個(gè)是直流增益。

圖1.

過(guò)濾器對(duì)組件變化的敏感性

固有頻率和Q靈敏度有助于評(píng)估傳遞函數(shù)穩(wěn)定性。對(duì)于Sallen-Key濾波器（在第2頁(yè)的參考文獻(xiàn)159中給出），這些靈敏度如下：

靈敏度用“S”表示。它的上標(biāo)是正在評(píng)估其靈敏度的電路特性，其下標(biāo)是正在評(píng)估其對(duì)該特性的影響的電路元件。因此，第一個(gè)靈敏度方程（2a）顯示了Q對(duì)R變化的靈敏度1或 R3.

S是提高元件變化以計(jì)算電路特性中相應(yīng)變化的功率。例如，您可能已經(jīng)注意到，所有固有頻率靈敏度的功率為 -1/2 或 0。當(dāng) S = -1/2 且分量變化系數(shù)為“A”時(shí)，固有頻率變化 A-0.5（即1/√A）。因此，新的固有頻率將是原始頻率除以√A。當(dāng) S = 0 時(shí)，頻率不會(huì)改變，因?yàn)?A0= 1。

參考文獻(xiàn)2更詳細(xì)地介紹了靈敏度，它包括上面列出的許多靈敏度方程的推導(dǎo)。參考文獻(xiàn)3和4也對(duì)這一重要主題進(jìn)行了很好的處理。這些方程非常復(fù)雜，通常很難為所需的固有頻率和Q選擇六個(gè)無(wú)源分量，同時(shí)實(shí)現(xiàn)低Q靈敏度，除非您玩弄方程并注意到當(dāng)增益（K）設(shè)置為1時(shí)發(fā)生的一些有趣的事情。

K = 1 簡(jiǎn)化了薩倫鍵濾波器

我們可以通過(guò)選擇K = 1作為直流增益值來(lái)大大簡(jiǎn)化Sallen-Key濾波器方程。在這種情況下，Q的方程（公式1c）簡(jiǎn)化為

我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)K = 1時(shí)，Q對(duì)RA和RB的靈敏度為零（等式2d）。這并不奇怪。設(shè)置K = 1時(shí)，運(yùn)算放大器的輸出直接連接到反相輸入，從而將運(yùn)算放大器配置為電壓跟隨器，從而消除了RA和RB。

將Q的簡(jiǎn)化方程（公式3）代入靈敏度方程2a和2c可簡(jiǎn)化這些方程：

通過(guò)將電阻值設(shè)置為相等，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化Q對(duì)電阻的靈敏度。當(dāng)R1和R3完全相等時(shí)，靈敏度為零。但實(shí)際電阻的值永遠(yuǎn)不會(huì)真正相等。當(dāng)它們偏離其標(biāo)稱值時(shí)，靈敏度變?yōu)榉橇?，但仍然非常小。例如，容差?5% 的電阻會(huì)導(dǎo)致最壞情況的靈敏度

因此，5%的電阻變化會(huì)產(chǎn)生0.12%的Q變化，與其他靈敏度相比可以忽略不計(jì)。即使電阻值不相等，該靈敏度也在-1/2和+1/2之間。仔細(xì)觀察Q方程，可以發(fā)現(xiàn)設(shè)置R1 = R3的其他原因：

當(dāng) n = 1 時(shí)（即當(dāng) R3= R1），數(shù)量 （n+1/n） 的最小值為 2。因此，當(dāng)Q = 1/2且電阻彼此相等時(shí)，濾波電容的值將相等。對(duì)于所有高于 1/2 的 Q（迄今為止最常見(jiàn)的情況），C2必須大于 C4.如果電阻不相等，則C的比值2到 C4必須做得更大。因此，為了最小化電容值的分布，電阻值應(yīng)相等。

對(duì)于相等的電阻值，Q 的公式簡(jiǎn)化為

重新排列這個(gè)方程，得到C2的C4，

我們可以將此表達(dá)式代入等式中：

n（公式 1b）并求解 C4：

將此結(jié)果代入 C2 的方程（公式 7），我們得到

簡(jiǎn)化的設(shè)計(jì)流程

將Sallen-Key濾波器增益設(shè)置為單位并設(shè)置R1 = R3，可通過(guò)求解兩個(gè)簡(jiǎn)單方程來(lái)設(shè)計(jì)低靈敏度單運(yùn)放濾波器。簡(jiǎn)化的設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

選擇合適的電阻值。

使用公式8和9求解電容值。

如果C2太大，則從較大的電阻值重新開(kāi)始。

如果C4太小，則從較小的電阻值重新開(kāi)始。

如果 C4 太小而 C2 太大，則您已達(dá)到 此篩選器的限制。

選取最接近計(jì)算值的標(biāo)準(zhǔn)值。

兩個(gè)例子說(shuō)明了這種方法及其使用所帶來(lái)的好處。

將新方法與食譜方法進(jìn)行比較

第一個(gè)例子來(lái)自作者幾年前所做的工作。為了盡量減少生產(chǎn)中的電路變化，他重新設(shè)計(jì)了一個(gè)電路（最初是用食譜技術(shù)創(chuàng)建的），以實(shí)現(xiàn)頻率為-3dB的4.8kHz的三階巴特沃茲低通濾波器。重新設(shè)計(jì)消除了修剪鍋及其相關(guān)的調(diào)整需求。

該濾波器需要一個(gè)Q = 1、固有頻率為4.8kHz的二階級(jí)。它最初采用Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和參考文獻(xiàn)2第156至157頁(yè)的設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)，該方法將電阻值設(shè)置為相等（R1 = R3 = R），電容值相等（C2 = C4 = C）。選擇 C = 0.001μF 會(huì)導(dǎo)致增益 （K） = 2 和 R = 33.2K。該電路的Q靈敏度如下：

濾波器采用我們的新方法重新設(shè)計(jì)，使用相同的電阻值（33.2kΩ）。等式8和9得出C2 = 2000pF和C4 = 500pf。靈敏度如下：

圖2顯示了用于仿真這些電路的原理圖，圖3顯示了SPICE仿真的結(jié)果。這些頻率響應(yīng)圖是每個(gè)濾波器使用100%容差電阻和1%電容對(duì)每個(gè)濾波器進(jìn)行5種不同“構(gòu)建”的蒙特卡羅運(yùn)行的結(jié)果。對(duì)于每個(gè)“構(gòu)建”，SPICE 模擬器在其指定的公差范圍內(nèi)隨機(jī)改變組件值。請(qǐng)注意，對(duì)于通帶中的所有頻率（尤其是接近固有頻率的頻率），新濾波器的變化明顯小于舊濾波器。

圖2.

圖3.

同樣重要的是要注意，這些仿真結(jié)果并不是證明電路運(yùn)行所需的唯一步驟;您還應(yīng)該構(gòu)建和測(cè)試電路。一旦SPICE仿真器指示交流性能與標(biāo)稱元件值的實(shí)際電路相同，您就可以使用SPICE仿真器中常見(jiàn)的蒙特卡羅函數(shù)來(lái)評(píng)估電路響應(yīng)如何隨元件的變化而變化。

級(jí)聯(lián)級(jí)實(shí)現(xiàn)高階濾波器

單位增益Sallen-Key方法有兩個(gè)缺點(diǎn)。它不能提供增益，對(duì)于高Q值濾波器，其電容比可能太大，無(wú)法實(shí)現(xiàn)濾波器。現(xiàn)有的放大器級(jí)通?？梢蕴峁┧璧脑鲆?但是，如果沒(méi)有，最壞的解決方案是增加一個(gè)單運(yùn)放增益級(jí)。

高階濾波器通常需要至少一個(gè)具有非常高Q值的級(jí)。該級(jí)可以使用更復(fù)雜的拓?fù)鋪?lái)實(shí)現(xiàn)，而其他級(jí)則使用低靈敏度Sallen-Key電路實(shí)現(xiàn)。即使有Q值限制，Sallen-Key拓?fù)湟部梢詧?zhí)行傳統(tǒng)上使用多運(yùn)算放大器拓?fù)鋵?shí)現(xiàn)的高階濾波器。以下示例顯示了設(shè)計(jì)此類篩選器的新過(guò)程，演示了與舊方法相比性能的顯著提高。標(biāo)稱規(guī)格如下：

七階切比雪夫

0.05dB紋波

8kHz -3dB 頻率

增益 = 10

從這些客觀規(guī)范中實(shí)際推導(dǎo)傳遞函數(shù)超出了本文的范圍，但參考文獻(xiàn)詳細(xì)介紹了該主題。傳遞函數(shù)有三個(gè)復(fù)極對(duì)和一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)：

該濾波器的兩個(gè)版本的原理圖如圖4所示。一個(gè)是用食譜方法設(shè)計(jì)的，另一個(gè)是用我們的新方法設(shè)計(jì)的。每個(gè)電路最后級(jí)的單個(gè)運(yùn)算放大器提供所需的增益和第七極。

圖4.

圖5顯示了使用1%電阻和5%電容的蒙特卡羅分析結(jié)果。為了視覺(jué)清晰，結(jié)果在圖表上偏移。食譜版本在固有頻率附近具有大約28dB的變化，使該設(shè)計(jì)毫無(wú)用處。相比之下，單位增益/均阻版本在諧振附近的增益變化僅為4dB。

圖5.

薩倫基與雙二階濾波器

將這種七階Sallen-Key電路與相同傳遞函數(shù)的多運(yùn)算放大器實(shí)現(xiàn)進(jìn)行比較是很有趣的。雙二階濾波器是一種非常常見(jiàn)的三運(yùn)放濾波器，具有低靈敏度和簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)公式。其原理圖如圖6所示。使用參考文獻(xiàn)2中描述的技術(shù)，靈敏度如下：

圖6.

我們規(guī)范的雙二階實(shí)現(xiàn)原理圖如圖7所示。同樣，末端的單運(yùn)放級(jí)執(zhí)行增益和第七個(gè)極點(diǎn)。圖8比較了單位增益Sallen-Key和雙二階實(shí)現(xiàn)的蒙特卡羅分析的頻率響應(yīng)（為了清楚起見(jiàn)，結(jié)果再次偏移）。對(duì)于等效的組件，這兩個(gè)濾波器之間的性能沒(méi)有顯著差異。事實(shí)上，Sallen-Key的低頻增益變化略小于雙二階。

圖7.

圖8.

下表列出了剛才討論的七階濾波器的三種實(shí)現(xiàn)方案的元件數(shù)、通帶變化和電容值的擴(kuò)散：

將這些技術(shù)擴(kuò)展到高通濾波器

我們還可以使用這些技術(shù)設(shè)計(jì)低靈敏度高通濾波器。等效的Sallen-Key高通濾波器如圖9所示。

圖9.

其設(shè)計(jì)公式和靈敏度如下：

至于低通情況，我們可以通過(guò)設(shè)置 K = 1 和（在本例中）將電容器值設(shè)置為相等來(lái)簡(jiǎn)化。然后，方程簡(jiǎn)化為：

結(jié)果是電阻的兩個(gè)簡(jiǎn)單公式，其中C1 = C2 = C：

因此，高通設(shè)計(jì)過(guò)程與低通情況非常相似：

為 C 選擇適當(dāng)?shù)闹怠?/p>

使用公式15a和15b計(jì)算電阻值。

如果 R4 太大，請(qǐng)使用較大的 C 值重新開(kāi)始。

如果 R2 太小，請(qǐng)使用較小的 C 值重新開(kāi)始。

如果 R2 太小而 R4 太大，則您已達(dá)到 此類型篩選器的限制。

選取最接近計(jì)算值的標(biāo)準(zhǔn)值。

為了說(shuō)明這一過(guò)程，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)Q為1.0、固有頻率為8.0kHz的二階高通濾波器級(jí)。首先，選擇 C = 1200 pF。接下來(lái)，使用公式15a和15b設(shè)置電阻值：R2= 8.25kΩ 和 R4= 33.2kΩ。頻率響應(yīng)與前面討論的低通濾波器的頻率響應(yīng)一起繪制（圖 10）。

圖10.

高通濾波器的頻率響應(yīng)擴(kuò)散比低通濾波器更窄，特別是在峰值附近。這是因?yàn)槲覀冏畲笙薅鹊亟档土藢?duì)變化最大的元件（電容器）的敏感性。對(duì)于低通情況，對(duì)電阻的Q靈敏度最小，對(duì)電容的靈敏度為1/2。對(duì)于高通情況，對(duì)電阻的靈敏度為1/2，對(duì)電容的靈敏度降至最低。我們使用1%電阻和5%電容，因?yàn)榈腿莶铍娮璞鹊腿莶铍娙莞菀撰@得。如果選擇5%電阻，則兩個(gè)電路的分布相似。

結(jié)論

通過(guò)更深入地研究Sallen-Key濾波器的元件靈敏度，我們?cè)跀?shù)學(xué)描述中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“最佳點(diǎn)”，允許設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的單運(yùn)算放大器濾波器，其性能可與更復(fù)雜的濾波器相媲美。這種方法有助于將Sallen-Key濾波器的效用擴(kuò)展到高階高Q值濾波器的效用，并且對(duì)其他拓?fù)涞念愃蒲芯靠赡軙?huì)產(chǎn)生類似的結(jié)果。

審核編輯：郭婷