從時(shí)域和頻域闡述Σ-Δ ADC提高SNR的原因

現(xiàn)實(shí)世界是一個(gè)模擬世界，我們需要將現(xiàn)實(shí)世界的模擬信號(hào)送給DSP，供其處理，這就需要模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)之間的一個(gè)接口，ADC和DAC。隨著DSP運(yùn)算速度的加快，隨之而來(lái)的是ADC的高速和高精度性能同樣需要進(jìn)一步提高。

ADC概況

我們首先來(lái)看一下常規(guī)的電學(xué)系統(tǒng)框圖，如下圖所示，將現(xiàn)實(shí)世界的模擬信號(hào)感應(yīng)、放大、濾波，再經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換，送給DSP處理，處理之后送給D/A，接著濾波、放大，送給執(zhí)行器輸出。這個(gè)系統(tǒng)具有普適性，當(dāng)然如果考慮射頻系統(tǒng)的話，再加上混頻器即可。從這個(gè)系統(tǒng)框圖中，我們可以看出ADC和DAC在整個(gè)電學(xué)系統(tǒng)中所處的位置和作用。其性能往往成為系統(tǒng)的瓶頸，設(shè)計(jì)高性能的ADC和DAC是非常有挑戰(zhàn)的。

對(duì)于ADC來(lái)講，主要的設(shè)計(jì)指標(biāo)是精度和速度，遺憾的是，ADC的高速和高精度的滿足是一對(duì)矛盾。不同結(jié)構(gòu)的ADC要么是犧牲速度來(lái)?yè)Q取精度，要么是犧牲精度來(lái)?yè)Q取速度。當(dāng)然，隨著集成電路工藝的進(jìn)步，以及電路設(shè)計(jì)人員的不懈努力，這對(duì)矛盾可以稍微緩解。

下圖給出了常見(jiàn)的ADC結(jié)構(gòu)及其可實(shí)現(xiàn)的精度和速度的對(duì)比情況，可以看到，沒(méi)有一種結(jié)構(gòu)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)高精度和高速度。本文接下來(lái)要介紹的是Σ-Δ ADC (Oversampled）,它是以犧牲速度來(lái)?yè)Q取精度的。

Σ-Δ ADC

為什么要首先介紹它呢？

正如題目所寫，它是一個(gè)非常神奇而又有趣的結(jié)構(gòu)，比如，它可以采用一個(gè)單比特的量化器，實(shí)現(xiàn)多比特輸出的效果。和其它ADC結(jié)構(gòu)相比，它是結(jié)構(gòu)上的一種完全的創(chuàng)新，接下來(lái)我們一起來(lái)揭開(kāi)它的神秘面紗。

在引入Σ-Δ ADC之前，首先引入一個(gè)實(shí)際的例子，以便大家理解。

小孟在國(guó)外留學(xué)時(shí)，面對(duì)繁重的課業(yè)壓力，他每天需要喝一杯咖啡來(lái)提神。幸好學(xué)校附近有一家百年咖啡老店，以醇香的味道深深地吸引著他。這家店一杯咖啡的售價(jià)是3.47刀，不支持刷卡支付（百年老店的倔強(qiáng)）。剛開(kāi)始時(shí)，每天他付給店員5刀，然后店員給他找零1.53刀。日積月累，大家都覺(jué)得這樣有點(diǎn)兒麻煩，店員需要準(zhǔn)備大量的零錢以供找零，而小孟拿了一堆零錢也不是很方便。所以大家達(dá)成一個(gè)協(xié)議，小孟每次要不付5刀，要不不付錢，多付的或者虧欠的金額采用記賬的方式。那么小孟什么時(shí)候需要付錢呢？每當(dāng)小孟買完咖啡時(shí)，如果虧欠的金額超過(guò)2.5刀時(shí)，則需要付5刀，否則不需要付錢。這個(gè)過(guò)程可以用如下的示意圖來(lái)表示，這里只給出了前三天的情況，后面的可以以此類推。其實(shí)大家可以想象到，雖然每天看起來(lái)彼此會(huì)互欠一些金額，但是長(zhǎng)此以往，小孟所付的金額之和，和他所買咖啡的價(jià)格之和幾乎是完全一樣的，而且極大地方便了彼此。

我們可以將上述過(guò)程轉(zhuǎn)換為電路語(yǔ)言，如下圖所示。其中，輸入u代表一杯咖啡的價(jià)格，y代表當(dāng)前交易時(shí)小孟欠店主的金額，將這個(gè)金額和2.5比較，來(lái)決定當(dāng)前交易是否需要付錢，比較的過(guò)程可以用一個(gè)單比特量化器表示。v表示當(dāng)前付款的情況，為0，或者為5，類似一個(gè)單比特量化器的輸出結(jié)構(gòu)。然后將y和v做差，表示當(dāng)前交易結(jié)束后，交易雙方互欠金額的情況，z^-1^為一個(gè)延遲單元，表示將這個(gè)互欠金額的結(jié)果送到第二天，并和第二天的咖啡價(jià)格累加，以此類推。如果將長(zhǎng)時(shí)間v的輸出結(jié)果累加并求平均，得到的，可以認(rèn)為近似等于輸入u。

從下圖可以看出，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，v的平均輸出非常接近輸入u。

從某種意義上來(lái)講，上述過(guò)程類似于一個(gè)模數(shù)轉(zhuǎn)換的過(guò)程。輸入的3.47為模擬值，采用二值化的量化輸出結(jié)果v的長(zhǎng)時(shí)間平均值來(lái)表示輸出u，雖然二值化輸出結(jié)果v并不能代表模擬輸入u，但是其長(zhǎng)時(shí)間均值卻可以代表u，這意味著將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成了數(shù)字信號(hào)。

其它類型ADC的SQNR(Signal-to-Quantization-Noise Ration)取決于量化器的量化間隔，這也符合人們直觀的認(rèn)識(shí)，當(dāng)用一個(gè)數(shù)字信號(hào)表示模擬信號(hào)時(shí)，自然劃分的格子越細(xì)，數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)越接近，意味著實(shí)現(xiàn)的精度越高。但是在Σ-Δ ADC中，采用1-bit的量化器就可以實(shí)現(xiàn)很高的分辨率，正如前文所提到的，這是一種結(jié)構(gòu)上的完全創(chuàng)新，其包含了以時(shí)間換精度的思想。

利用信號(hào)流圖的化簡(jiǎn)，上述電路結(jié)構(gòu)可以等效成下圖所示的結(jié)構(gòu)，這是Σ-Δ ADC更為常用的一種結(jié)構(gòu)，稱為誤差累積結(jié)構(gòu)，而上述結(jié)構(gòu)稱為誤差反饋結(jié)構(gòu)。其中1/(1-z ^-1^ ）為累加器，這就是Σ的由來(lái)，Σ的輸入是u和v的差（Δ運(yùn)算），所以稱為Σ-Δ 。該ADC除去輸出濾波和降采樣部分，稱為Σ-Δ調(diào)制器，至于為什么叫調(diào)制器呢，也許大家第一次接觸到的調(diào)制的概念就是通信領(lǐng)域的調(diào)制解調(diào)器，調(diào)制是指基帶信號(hào)對(duì)高頻載波信號(hào)的幅度、頻率或者相位進(jìn)行改變，從而將基帶信號(hào)的信息加載到了高頻載波上。在這里，調(diào)制可以認(rèn)為是對(duì)信號(hào)處理的一個(gè)過(guò)程。

對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的Σ-Δ ADC，量化器的平均輸入為有界信號(hào)，這也意味著累加器的平均輸入為0，所以u(píng)和v的平均值相等。

過(guò)采樣（Oversampling）

其實(shí)，上述情況是假設(shè)輸入u為一個(gè)恒定值，通過(guò)環(huán)路的迭代才使得v的平均值等于u。如果環(huán)路迭代一次，輸入u就變化一次，那么就無(wú)法實(shí)現(xiàn)多次迭代。所以，上述環(huán)路的工作速度要遠(yuǎn)大于輸入變化的速度，因此為過(guò)采樣結(jié)構(gòu)。

從頻域上來(lái)看，量化噪聲在2π范圍內(nèi)平均分布，由于是過(guò)采樣，所以信號(hào)只處于一個(gè)非常窄的范圍之內(nèi)，通過(guò)濾波操作就極大地減小了量化噪聲。這是Σ-Δ ADC利用單比特量化實(shí)現(xiàn)了多比特輸出效果的一個(gè)原因。

過(guò)采樣本身并不能改善SQNR，而是過(guò)采樣技術(shù)和濾波操作結(jié)合才能改善SQNR。

該結(jié)構(gòu)后面的求平均的過(guò)程就是上述所提到的濾波器的濾波操作，該數(shù)字濾波器后面再接上一個(gè)降采樣的結(jié)構(gòu)，將高速率的v降到和輸入u同樣的速率。

噪聲整形（Noise-shaping）

考慮量化器的量化噪聲為一個(gè)加性白噪聲。利用梅森定理，Σ-Δ調(diào)制器的量化噪聲的閉環(huán)輸出為：

其功率譜密度為：

用s變換和z變換的關(guān)系得：

注意這里的ω表示數(shù)字角頻率，對(duì)應(yīng)于上一篇的Ω的。這里用ω是為了和很多文獻(xiàn)保持一致性。

其中，稱為噪聲傳輸函數(shù)（NTF），其幅度的平方如下圖所示，呈現(xiàn)一個(gè)高通特性。這使得處于信號(hào)帶內(nèi)的噪聲被進(jìn)一步抑制，這是Σ-Δ ADC利用單比特量化實(shí)現(xiàn)了多比特輸出效果的另一個(gè)原因。

定義過(guò)采樣率為：

fB為信號(hào)的最高頻率。

假設(shè)量化噪聲為白噪聲（通常成立），那么帶內(nèi)量化噪聲為：

上式可以看出，隨著OSR的增加，量化噪聲減小。當(dāng)OSR增加一倍，量化噪聲減小9dB，也就是ENOB(effective number of bits)增加1.5bit。#### 二階Σ-Δ調(diào)制器

為了進(jìn)一步提高分辨率，可以考慮將一階結(jié)構(gòu)的量化器用一個(gè)一階Σ-Δ調(diào)制器替代，如下圖所示：

此時(shí)，輸出V的表達(dá)式為：

從該式可以看出，現(xiàn)在的噪聲整形傳函為二階，應(yīng)該可以得到更好的噪聲整形效果。同理可得此時(shí)的帶內(nèi)量化噪聲為：

此時(shí)，OSR增加一倍，量化噪聲減小15dB，也就是ENOB增加2.5bit，表現(xiàn)出更好的噪聲整形效果。#### 高階Σ-Δ調(diào)制器

我們可以將上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行推廣到L階，帶內(nèi)噪聲功率表達(dá)式為：

此時(shí)，當(dāng)OSR增加一倍，ENOR增加(L+0.5)bit。那么我們可以一直將階數(shù)增加下去，以至實(shí)現(xiàn)一個(gè)非常好的SQNR性能的ADC嗎？

當(dāng)然是不可能的，高階環(huán)路會(huì)引入穩(wěn)定性問(wèn)題，后續(xù)文章會(huì)介紹這一問(wèn)題。

多級(jí)噪聲整形結(jié)構(gòu)（MASH）

由于多級(jí)Σ-Δ結(jié)構(gòu)會(huì)有穩(wěn)定性問(wèn)題，可以考慮將多個(gè)低階結(jié)構(gòu)進(jìn)行級(jí)聯(lián)，該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性由低階環(huán)路決定，而實(shí)現(xiàn)的噪聲整形特性卻是高階的。如下圖所示，這是一個(gè)兩級(jí)結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)的MASH結(jié)構(gòu)，將第一級(jí)的量化噪聲送入到第二級(jí)結(jié)構(gòu)的信號(hào)輸入端，并將兩級(jí)各自的輸出經(jīng)過(guò)一定處理后疊加。如果每一級(jí)都是一個(gè)兩級(jí)的Σ-Δ調(diào)制器，那么該MASH結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了一個(gè)四階噪聲整形效果。如下式所示，V1和V2疊加時(shí)要將第一級(jí)的量化噪聲抵消掉：

這個(gè)結(jié)構(gòu)看似完美，解決了高階環(huán)路的穩(wěn)定性問(wèn)題，而又實(shí)現(xiàn)了高階噪聲整形效果，但是由于需要實(shí)現(xiàn)兩式相消，所以它們之間的匹配性成為了很重要一個(gè)問(wèn)題。

多比特Σ-Δ調(diào)制器

我們將前述的Σ-Δ結(jié)構(gòu)進(jìn)一步具體化，如下圖所示。用一個(gè)ADC來(lái)表示量化器。之前的結(jié)構(gòu)將量化器輸出直接反饋回去和輸入的模擬信號(hào)相減，我們不可能將模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)直接進(jìn)行運(yùn)算，量化輸出結(jié)果在反饋到輸入端之前首先需要D/A變換。

為什么要引入多比特結(jié)構(gòu)呢？

比特?cái)?shù)越多的量化器的量化噪聲越小，因此在同樣階數(shù)，同樣OSR的情況下，可以實(shí)現(xiàn)更高的SQNR。

單比特的ADC的增益因子不好確定（后續(xù)文章展開(kāi)），因此在考慮穩(wěn)定性時(shí)，為保證環(huán)路增益變化的情況下，環(huán)路依然穩(wěn)定，輸入信號(hào)幅度需要減小，這降低了SNR。

DAC的非線性會(huì)導(dǎo)致調(diào)制器輸出的非線性。這是由于反饋增益的存在會(huì)使DAC的輸出等于輸入信號(hào)u，因此當(dāng)DAC存在非線性時(shí)，DAC的輸入便會(huì)失真，以使其輸出等于輸入信號(hào)u。

對(duì)于一個(gè)單比特的DAC，則不存在非線性問(wèn)題，因?yàn)槠漭敵鲋挥袃蓚€(gè)電平。類似兩點(diǎn)確定一條直線的思想，單比特不存在非線性。但是，正如前文所述，量化器采用多比特的ADC具有很大的優(yōu)勢(shì)，DAC的位數(shù)應(yīng)該匹配ADC的位數(shù)，因此，DAC的非線性還是我們需要解決的一個(gè)問(wèn)題。Trim手段或者Σ-Δ DAC均可以有效解決這個(gè)問(wèn)題。

小結(jié)

本文從時(shí)域和頻域分別闡述了Σ-Δ ADC可以提高SNR的原因，過(guò)采樣和噪聲整形是Σ-Δ ADC的核心思想，理解了它們，意味著我們窺見(jiàn)了其復(fù)雜內(nèi)涵的一角。為了提高其SNR，可以通過(guò)提高OSR、環(huán)路階數(shù)或者量化器的比特?cái)?shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，但是OSR的提高受限于工作帶寬，階數(shù)受限于穩(wěn)定性，采用高比特的量化器則增加了ADC和DAC的設(shè)計(jì)難度。此外，還介紹了多級(jí)噪聲整形技術(shù)，它解決了穩(wěn)定性的問(wèn)題，卻又引入電路匹配的問(wèn)題。從以上我們可以再次看到模擬電路設(shè)計(jì)的trade-off，這也正是模擬電路的魅力所在。