線性回歸背景下交互作用術(shù)語(yǔ)的直觀解釋

線性回歸是一種強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)工具，用于對(duì)因變量和一個(gè)或多個(gè)自變量（特征）之間的關(guān)系進(jìn)行建模?；貧w分析中一個(gè)重要且經(jīng)常被遺忘的概念是交互作用項(xiàng)。簡(jiǎn)而言之，交互術(shù)語(yǔ)使您能夠檢查目標(biāo)和自變量之間的關(guān)系是否會(huì)根據(jù)另一個(gè)自變量的值而變化。

交互術(shù)語(yǔ)是回歸分析的一個(gè)關(guān)鍵組成部分，了解它們的工作原理可以幫助從業(yè)者更好地訓(xùn)練模型和解釋數(shù)據(jù)。然而，盡管交互術(shù)語(yǔ)很重要，但它們可能很難理解。

這篇文章提供了線性回歸背景下交互作用術(shù)語(yǔ)的直觀解釋。

回歸模型中的交互項(xiàng)是什么？

首先，這是一個(gè)更簡(jiǎn)單的案例；也就是說(shuō)，一個(gè)沒(méi)有相互作用項(xiàng)的線性模型。這樣的模型假設(shè)每個(gè)特征或預(yù)測(cè)器對(duì)因變量（目標(biāo)）的影響?yīng)毩⒂谀Ｐ椭械钠渌A(yù)測(cè)器。

以下等式描述了具有兩個(gè)特征的此類(lèi)模型規(guī)范：

為了使解釋更容易理解，這里有一個(gè)例子。想象一下，你對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格建模感興趣 (y) 使用兩個(gè)功能：它們的大小 (X1 個(gè)) 以及指示公寓是否位于市中心的布爾標(biāo)志 (2 個(gè)) .是截距，和是線性模型的系數(shù)，以及是誤差項(xiàng)（模型無(wú)法解釋）。

在收集數(shù)據(jù)并估計(jì)線性回歸模型后，可以獲得以下系數(shù)：

知道估計(jì)的系數(shù)和2 個(gè)是一個(gè)布爾功能，您可以根據(jù)的值寫(xiě)出兩種可能的情況2 個(gè).

市中心

市中心外

如何解讀這些？雖然這在房地產(chǎn)領(lǐng)域可能沒(méi)有多大意義，但你可以說(shuō)，市中心一套 0 平方米的公寓的價(jià)格是 310 （截距的價(jià)值）。每增加一平方米的空間，價(jià)格就會(huì)上漲 20 。在另一種情況下，唯一的區(qū)別是截距小于 10 個(gè)單位。圖 1 顯示了兩條最佳擬合線。

圖 1 。市中心和城外房產(chǎn)的回歸線

正如你所看到的，這些線是平行的，它們有相同的斜率 — 系數(shù)由X1 個(gè)，這在兩種情況下都是一樣的。

交互作用術(shù)語(yǔ)表示聯(lián)合效應(yīng)

在這一點(diǎn)上，你可能會(huì)爭(zhēng)辯說(shuō)，在市中心的公寓里多住一平方米比在郊區(qū)的公寓里多花一平方米要貴。換句話說(shuō)，這兩個(gè)特征可能會(huì)對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生共同影響。

所以，你認(rèn)為不僅兩種情況下的截距應(yīng)該不同，而且直線的斜率也應(yīng)該不同。如何做到這一點(diǎn)？這正是互動(dòng)術(shù)語(yǔ)發(fā)揮作用的時(shí)候。它們使模型的規(guī)范更加靈活，并使您能夠考慮到這些模式。

交互項(xiàng)實(shí)際上是你認(rèn)為對(duì)目標(biāo)有共同影響的兩個(gè)特征的乘積。以下等式表示模型的新規(guī)范：

再次假設(shè)你已經(jīng)估計(jì)了你的模型，并且你知道系數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我保留了與前面示例中相同的值。請(qǐng)記住，在現(xiàn)實(shí)生活中，它們可能會(huì)有所不同。

市中心

市中心外

在你寫(xiě)出兩個(gè)場(chǎng)景之后2 個(gè)（市中心或市中心外），您可以立即看到坡度（系數(shù)X1 個(gè)) 兩條線中的一條不同。正如假設(shè)的那樣，現(xiàn)在市中心增加一平方米的空間比郊區(qū)更貴。

用交互項(xiàng)解釋系數(shù)

向模型中添加交互項(xiàng)會(huì)改變對(duì)所有系數(shù)的解釋。如果沒(méi)有交互項(xiàng)，則可以將系數(shù)解釋為預(yù)測(cè)器對(duì)因變量的獨(dú)特影響。

所以在這種情況下，你可以這么說(shuō)是公寓大小對(duì)價(jià)格的獨(dú)特影響。然而，對(duì)于交互項(xiàng)，公寓大小對(duì)不同值的影響是不同的2 個(gè)換句話說(shuō)，公寓規(guī)模對(duì)價(jià)格的獨(dú)特影響不再局限于.

為了更好地理解每個(gè)系數(shù)代表什么，這里再看一看具有交互項(xiàng)的線性模型的原始規(guī)范。作為提醒，2 個(gè)是一個(gè)布爾特征，指示特定公寓是否位于市中心。

現(xiàn)在，您可以通過(guò)以下方式解釋每個(gè)系數(shù)：

: 攔截市中心以外的公寓（或布爾特征為零值的任何組2 個(gè)) .

: 市中心以外公寓的坡度（價(jià)格的影響）。

: 兩組之間的截距差異。

: 市中心和城外公寓之間的坡度差異。

例如，假設(shè)你正在測(cè)試一個(gè)假設(shè)，即無(wú)論公寓是否在市中心，公寓的大小對(duì)價(jià)格的影響都是相等的。然后，您將使用交互項(xiàng)來(lái)估計(jì)線性回歸，并檢查與 0 顯著不同。

關(guān)于交互術(shù)語(yǔ)的一些附加注釋：

我提出了雙向交互術(shù)語(yǔ)；然而，高階相互作用（例如，三個(gè)特征的相互作用）也是可能的。

在這個(gè)例子中，我展示了一個(gè)數(shù)字特征（公寓的大?。┡c布爾特征（公寓在市中心嗎？）的交互。但是，您也可以為兩個(gè)數(shù)字特征創(chuàng)建交互項(xiàng)。例如，您可以創(chuàng)建一個(gè)公寓大小與房間數(shù)量的交互項(xiàng)。有關(guān)詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱相關(guān)資源部分。

這種情況下，相互作用項(xiàng)可能具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但主要影響并不顯著。然后，你應(yīng)該遵循分層原則，即如果你在模型中包括一個(gè)交互項(xiàng)，你也應(yīng)該包括主要影響，即使它們的影響在統(tǒng)計(jì)上并不顯著。

Python 中的實(shí)際操作示例

在所有的理論介紹之后，下面是如何在 Python 中為線性回歸模型添加交互項(xiàng)。一如既往，首先導(dǎo)入所需的庫(kù)。

import numpy as np
import pandas as pd

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# plotting
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# settings
plt.style.use("seaborn-v0_8")
sns.set_palette("colorblind")
plt.rcParams["figure.figsize"] = (16, 8)
%config InlineBackend.figure_format = 'retina'

在本例中，您使用statsmodels圖書(shū)館對(duì)于數(shù)據(jù)集，使用mtcars數(shù)據(jù)集。我敢肯定，如果你曾經(jīng)使用過(guò) R ，你就會(huì)對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)集很熟悉。

首先，加載數(shù)據(jù)集：

mtcars = sm.datasets.get_rdataset("mtcars", "datasets", cache=True)
print(mtcars.__doc__)

執(zhí)行代碼示例將打印數(shù)據(jù)集的全面描述。在這篇文章中，我只展示了相關(guān)部分 — 列的總體描述和定義：

  ====== ===============
  mtcars R Documentation
  ====== ===============

數(shù)據(jù)摘自 1974 年的美國(guó)雜志MotorTrend，由 32 輛汽車(chē)（ 1973-74 車(chē)型）的油耗和汽車(chē)設(shè)計(jì)和性能的 10 個(gè)方面組成。

這是一個(gè) DataFrame ，它對(duì) 11 個(gè)（數(shù)字）變量進(jìn)行了 32 次觀測(cè)：

  ===== ==== ========================================
  [, 1] mpg  Miles/(US) gallon
  [, 2] cyl  Number of cylinders
  [, 3] disp Displacement (cu.in.)
  [, 4] hp   Gross horsepower
  [, 5] drat Rear axle ratio
  [, 6] wt   Weight (1000 lbs)
  [, 7] qsec 1/4 mile time
  [, 8] vs   Engine (0 = V-shaped, 1 = straight)
  [, 9] am   Transmission (0 = automatic, 1 = manual)
  [,10] gear Number of forward gears
  [,11] carb Number of carburetors
  ===== ==== ========================================

然后，從加載的對(duì)象中提取實(shí)際數(shù)據(jù)集：

df = mtcars.data
df.head()

表 1 。的預(yù)覽動(dòng)車(chē)組數(shù)據(jù)集

對(duì)于這個(gè)例子，假設(shè)你想調(diào)查每加侖英里數(shù)之間的關(guān)系 (mpg) 和兩個(gè)特征：重量 (wt，連續(xù)）和變速器類(lèi)型 (am，布爾值）。

首先，繪制數(shù)據(jù)以獲得一些初步見(jiàn)解：

sns.lmplot(x="wt", y="mpg", hue="am", data=df, fit_reg=False)
plt.ylabel("Miles per Gallon")
plt.xlabel("Vehicle Weight");

圖 2 :每加侖英里數(shù)與車(chē)輛重量、每種變速器類(lèi)型顏色的散點(diǎn)圖

通過(guò)觀察圖 2 ，您可以看到 am 變量的兩個(gè)類(lèi)別的回歸線將大不相同。為了進(jìn)行比較，從一個(gè)沒(méi)有交互項(xiàng)的模型開(kāi)始。

model_1 = smf.ols(formula="mpg ~ wt + am", data=df).fit()
model_1.summary()

下表顯示了在沒(méi)有交互項(xiàng)的情況下擬合線性回歸的結(jié)果。

OLS Regression Results                       	 
==============================================================================
Dep. Variable:                	  mpg   	R-squared:             	0.753
Model:                        	  OLS      Adj. R-squared:             	0.736
Method:                 Least Squares         F-statistic:             	44.17
Date:                Sat, 22 Apr 2023  Prob (F-statistic):           1.58e-09
Time:                        23:15:11      Log-Likelihood:            -80.015
No. Observations:              	   32   	      AIC:      	166.0
Df Residuals:                  	   29  	              BIC:          	170.4
Df Model:           	            2                                    	 
Covariance Type:            nonrobust                                    	 
==============================================================================
               coef     std err         t      P>|t|       [0.025       0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept   37.3216  	  3.055    12.218      0.000       31.074  	43.569
wt          -5.3528  	  0.788    -6.791      0.000       -6.965  	-3.741
am          -0.0236  	  1.546    -0.015      0.988       -3.185        3.138
==============================================================================
Omnibus:                    	3.009   Durbin-Watson:                  1.252
Prob(Omnibus):                  0.222   Jarque-Bera (JB):            	2.413
Skew:                       	0.670   Prob(JB):                    	0.299
Kurtosis:                   	2.881   Cond. No.                      21.7
==============================================================================

從匯總表中可以看出， am 特征的系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上并不顯著。使用您已經(jīng)學(xué)習(xí)的系數(shù)的解釋，您可以為 am 特征的兩類(lèi)繪制最佳擬合線。

X = np.linspace(1, 6, num=20)
sns.lmplot(x="wt", y="mpg", hue="am", data=df, fit_reg=False)
plt.title("Best fit lines for from the model without interactions")
plt.ylabel("Miles per Gallon")
plt.xlabel("Vehicle Weight")
plt.plot(X, 37.3216 - 5.3528 * X, "blue")
plt.plot(X, (37.3216 - 0.0236) - 5.3528 * X, "orange");

圖 3 。兩種變速器的最佳匹配線路

圖 3 顯示了線條幾乎重疊，因?yàn)?am 特征的系數(shù)基本為零。

接下來(lái)是第二個(gè)模型，這一次是兩個(gè)功能之間的交互項(xiàng)。以下是如何在statsmodels公式

model_2 = smf.ols(formula="mpg ~ wt + am + wt:am", data=df).fit()
model_2.summary()

以下匯總表顯示了用交互項(xiàng)擬合線性回歸的結(jié)果。

OLS Regression Results                       	 
==============================================================================
Dep. Variable:                	 mpg      R-squared:                  0.833
Model:                        	 OLS      Adj. R-squared:             0.815
Method:                Least Squares      F-statistic:               46.57
Date:               Mon, 24 Apr 2023      Prob (F-statistic):         5.21e-11
Time:                       21:45:40      Log-Likelihood:           -73.738
No. Observations:              	  32      AIC:                      155.5
Df Residuals:                  	  28      BIC:                      161.3
Df Model:                          3                                    	 
Covariance Type:           nonrobust                                    	 
===============================================================================
                coef     std err         t      P>|t|       [0.025       0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept    31.4161  	   3.020    10.402  	0.000  	    25.230  	 37.602
wt           -3.7859  	   0.786    -4.819  	0.000  	    -5.395  	 -2.177
am           14.8784  	   4.264     3.489  	0.002        6.144  	 23.613
wt:am        -5.2984  	   1.445    -3.667  	0.001  	    -8.258  	 -2.339
==============================================================================
Omnibus:                    	3.839   Durbin-Watson:               	1.793
Prob(Omnibus):              	0.147   Jarque-Bera (JB):            	3.088
Skew:                       	0.761   Prob(JB):                    	0.213
Kurtosis:                   	2.963   Cond. No.                      40.1
==============================================================================

以下是您可以從具有交互項(xiàng)的匯總表中快速得出的兩個(gè)結(jié)論：

所有的系數(shù)，包括相互作用項(xiàng)，都具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

通過(guò)檢查 R2 （及其調(diào)整后的變體，因?yàn)槟Ｐ椭杏胁煌瑪?shù)量的功能），您可以聲明具有交互項(xiàng)的模型會(huì)產(chǎn)生更好的擬合。

與前面的情況類(lèi)似，繪制最佳擬合線：

X = np.linspace(1, 6, num=20)
sns.lmplot(x="wt", y="mpg", hue="am", data=df, fit_reg=False)
plt.title("Best fit lines for from the model with interactions")
plt.ylabel("Miles per Gallon")
plt.xlabel("Vehicle Weight")
plt.plot(X, 31.4161 - 3.7859 * X, "blue")
plt.plot(X, (31.4161 + 14.8784) + (-3.7859 - 5.2984) * X, "orange");

圖 4 。兩種類(lèi)型變速器的最佳匹配線路，包括相互作用項(xiàng)

在圖 4 中，您可以立即看到配備自動(dòng)變速器和手動(dòng)變速器的汽車(chē)在截距和坡度方面的擬合線差異。

這里有一個(gè)好處：您還可以使用添加交互術(shù)語(yǔ)scikit-learn的PolynomialFeaturestransformer 不僅提供了添加任意階的交互項(xiàng)的可能性，而且還創(chuàng)建了多項(xiàng)式特征（例如，可用特征的平方值）。有關(guān)詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures.

結(jié)束語(yǔ)

在處理線性回歸中的交互項(xiàng)時(shí)，需要記住以下幾點(diǎn)：

交互術(shù)語(yǔ)使您能夠檢查目標(biāo)和功能之間的關(guān)系是否會(huì)根據(jù)另一個(gè)功能的值而變化。

添加交互項(xiàng)作為原始特征的乘積。通過(guò)將這些新變量添加到回歸模型中，可以測(cè)量它們與目標(biāo)之間相互作用的效果。仔細(xì)解釋相互作用項(xiàng)的系數(shù)對(duì)于理解關(guān)系的方向和強(qiáng)度至關(guān)重要。

通過(guò)使用交互項(xiàng)，可以使線性模型的規(guī)范更加靈活（不同線的斜率不同），從而更好地?cái)M合數(shù)據(jù)并具有更好的預(yù)測(cè)性能。