濾波器與相位關(guān)系的基礎(chǔ)知識

要想知道為什么有些濾波器聽感悅耳，另一些聽起來卻并不盡如人意，你就需要深入了解濾波器的工作原理。很不幸，濾波器是所有合成器中最常被誤解的模塊。常見的誤區(qū)是：濾波器的作用就只是將信號的一部分削弱。實(shí)際上，無論是模擬還是數(shù)字世界，濾波器的功能可遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止減弱信號這么簡單。

為了能夠明確看到音頻信號在被濾波器處理的過程中到底放生了什么，你需要先理解一些相位關(guān)系的基礎(chǔ)知識。讓我們再往回看，從本系列第一篇文章中引入的正弦波開始說起。

首先，想象如果你使用混音器將兩個正弦波混合起來會發(fā)生什么。你可能已經(jīng)猜到了：兩個一致的波形相加得到的還是相同的波形，不過響度會更高（如圖 1）。

圖 1：相位一致的兩個正弦波相加之后得到響度更高的正弦波

但如果你等到上面的波形進(jìn)行到其周期一半的時候再引入下面的波形呢？圖 2 中展示了這一情況，如果你講這樣的兩個波形相加，它們會彼此抵消，因此你將聽不到任何聲音。也就是說，盡管這兩個波形單獨(dú)聽是完全一致的，但將其混合卻得到的是無聲。

圖 2：偏移了 1/2 周期的兩個正弦波疊加之后彼此抵消

這一結(jié)果十分重要，通過該規(guī)律我們可以知道，只需要頻率與響度兩個參數(shù)就可以定義一個單一的正弦波，但如果要將兩個正弦波混合在一起，你還需要考慮兩個波形之間的偏移有多少。這樣的偏移通常被稱為一個波形與另一波形之間的「相位（phase）」。相位以度數(shù)來計(jì)量，和量角器上的度數(shù)一樣（如果你想知道為什么要用度數(shù)來表示相位的話，你可以閱讀本文末尾的「相位的度數(shù)表示」拓展部分，但如果你不想再考慮枯燥的數(shù)學(xué)知識了，可以直接繼續(xù)閱讀下面的文章）。

當(dāng)然，你可以將兩個偏移量（即相位差）任意的任何兩個正弦波混合在一起，混合后的波形的響度會處于圖 1 中的兩倍響度以及圖 2 中的 0 響度之間（但如果你將兩路信號通過立體聲而不是單聲道的方式混合，你將得到一個十分不同的效果。但這是改天的話題了，這篇文章中暫時不予討論）。

讓我們以時間差的角度來看待相位差。假如說你有一個 100Hz 的正弦波，也就是說每秒鐘震蕩 100 個周期，因此，每完成一個周期所需的時間為 0.01 秒。對于該信號來說，半個周期的偏移（如果你已經(jīng)閱讀了文末的拓展知識，你會知道半個周期的偏移等于 180 度的相位差，但如果你還沒讀，也不用擔(dān)心）為 0.005 秒，即 5 毫秒。圖 3 可以幫助你理解這一過程。

圖 3：彼此偏移半個周期（5 毫秒）的兩個正弦波相加之后相互抵消

現(xiàn)在想象兩個頻率為 200Hz 的正弦波，對于 200Hz 的波形來說，5 毫秒的時間可以完成一整個周期。如圖 4，如果使其中一個正弦波偏移 5 毫秒，另一個正弦波已經(jīng)完成了一整個周期，這時這兩個正弦波又回到了同相的狀態(tài)，如果將這樣的兩個正弦波相加，得到的會是一個響度為原波形兩倍的正弦波。

圖 4：同樣偏移 5 毫秒的兩個 200 Hz 正弦波相加之后響度翻倍

讓我們深吸一口氣，然后想想看如果把這一概念應(yīng)用于更為復(fù)雜的波形中會發(fā)生什么。以鋸齒波為例，你可能還記得我們在本系列的第一篇文章中介紹了鋸齒波的每一個諧波均存在，所以如果一個鋸齒波的基頻（即第一諧波）為 100Hz，那么其第二諧波的頻率就為 200Hz，第三諧波為 300Hz...以此類推。如果將同樣頻率，但彼此偏移半個周期的兩個鋸齒波相加，基頻會被抵消；但位于 200Hz 的第二諧波的響度會翻倍；三倍基頻的第三諧波會被抵消，但第四諧波響度翻倍，第五諧波被抵消...以此類推。這樣我們得到的將是一個諧波位于 200Hz、400Hz、600Hz...等等的波形。實(shí)際上，這一波形就是一個響度與原始波形一致，但頻率為原始波形兩倍的鋸齒波。

這一有悖直覺的結(jié)果就是我們今天的第一條結(jié)論：

將「失相」的信號混合在一起并不一定會將其兩者抵消。事實(shí)上在真實(shí)世界里完全抵消的情況幾乎根本不會發(fā)生。

但這還只是相位偏移的幾種最簡單的情況之一。想想看如果將這一規(guī)律運(yùn)用于真實(shí)世界中的復(fù)雜波形上會發(fā)生什么：部分諧波的幅度會減小，另一部分諧波的幅度會增加，還有一些部分的諧波會被完全抵消，剩下一部分的諧波會完全重疊從而幅度翻倍。傅里葉分析告訴我們?nèi)魏螐?fù)雜波形——無論是人的說話聲還是樂器的聲音都可以被看作是由無數(shù)個正弦波組成的頻譜構(gòu)成的。所以說，假設(shè)對于只有相位有一定偏移，其他方面完全相同的兩個波形來說，構(gòu)成這兩個波形的每個諧波之間也會有不同幅度的相位偏移。如果在頻譜分析儀上觀察這一結(jié)果的話，你會看到一個類似于橫放的梳子的圖案，「梳齒」之間的距離（即被抵消的諧波）由時間差決定（見圖 5）。

圖 5：相互偏移 5 毫秒，但其他方面完全相同的兩個波形疊加產(chǎn)生的濾波

換句話說，當(dāng)你將除了相位偏移之外其他方面完全相同的兩個波形混合在一起時，兩個波形的諧波之間的相位差導(dǎo)致了濾波。因?yàn)檫@種濾波的形狀與梳子十分形似，所以使用這一技術(shù)的濾波器被稱為梳狀濾波器（Comb Filter）。梳狀濾波器在合成器中被廣泛運(yùn)用，從經(jīng)典的模擬模塊化合成器 Analogue Systems RS Integrator 到基于 DSP 的 Waldorf Q 上都可以找得到到梳狀合成器的身影。

了解了關(guān)于相位的的知識之后，不難看到相位與音頻濾波之間的密切關(guān)聯(lián)。但想想看，如果相位變化可以導(dǎo)致濾波，那么濾波能否導(dǎo)致相位變化呢？答案是：當(dāng)然可以。

圖 6：一個簡單的 RC 低通濾波器電路

觀察圖 6 中的電路圖，這一電路非常簡單，只使用了兩個電子元器件：一個電阻器與一個電容器，不過這一簡單電路構(gòu)成一個完全可用的濾波器，叫做 RC 低通濾波器。任何新手合成器用戶都知道，低通濾波器允許低于「截止頻率」的所有諧波通過，所有高于截止頻率的諧波則會被削減。對于這一簡單的濾波器來說，它的截止頻率取決于其元器件的參數(shù)，截止頻率以上的信號被削減的速率則由電路的構(gòu)造決定。

我們暫時不考慮信號被削減的速率，這一話題將留給下一篇文章探討。本文我們將專注于這一濾波器會對被輸入進(jìn)去的信號相位造成什么樣的影響。

圖 7：上文 RC 濾波器的相位響應(yīng)

觀察圖 7，該圖是上文的簡單 LPF 的「相位響應(yīng)（phase response）」屬性。該圖展示了任意被輸入進(jìn)濾波器中的頻率及其相位將被偏移的程度。不難看到，該濾波器幾乎沒有對低頻信號的相位產(chǎn)生大幅影響，然而信號頻率越高的位置，其相位被偏移得就越大。位于截止頻率的信號被偏移了八分之一周期（-45 度），信號最高頻的位置則被整整偏移了 -90 度。

由于這些概念有些難懂，讓我們以 100Hz 的方波為例，看看這一 RC 濾波器在實(shí)際的模擬合成器中到底起什么樣的作用。

正如我們在本系列的第一篇文章中介紹的：任何傳統(tǒng)波形都可以被分解成一些列諧波，這些諧波被稱為基礎(chǔ)頻率及其泛音。這一例子中，我們的輸入信號（方波）的基礎(chǔ)頻率為 100Hz，其第二諧波（200Hz）不存在，但擁有位于 300Hz 的第三諧波，并且第三諧波的幅度為基頻幅度的三分之一。接著，第四諧波不存在，幅度五分之一的第五諧波位于 500Hz 的位置，以此類推...當(dāng)其所有諧波均同相的情況下，該波形如圖 8 所示。

圖 8：理想狀態(tài)下的 100Hz 方波

現(xiàn)在，假設(shè)我們的簡易 RC 濾波器擁有 400Hz 的截止頻率，并且該濾波器截止頻率一下的相位響應(yīng)均為 0。這種情況下的結(jié)果應(yīng)該不難想象：波形的基頻與第一泛音（100Hz 與 300Hz）將不會被減弱，但所有高于 500 Hz 的泛音均會根據(jù)相位響應(yīng)發(fā)生相應(yīng)幅度的衰減。經(jīng)過這一處理之后的波形（可能會和你的預(yù)料有些不同）如圖 9 所示。

圖 9：理想狀態(tài)下經(jīng)截止頻率為 400Hz 的 RC 濾波器處理的 100Hz 方波

現(xiàn)在再讓我們把濾波過程中每個諧波產(chǎn)生的相位偏移考慮進(jìn)來，我們現(xiàn)在得到的將會是一個形狀十分不同的波形。可以看到，經(jīng)過濾波之后的真實(shí)波形與原始方波比起來產(chǎn)生了明顯的失真（如圖 10）。

圖 10：濾波產(chǎn)生的實(shí)際波形

由此我們可以得到本文最重要的規(guī)律：

濾波器不光只是使波形的諧波產(chǎn)生衰減，它還可以通過改變諧波的相位偏移從而使得波形失真變形。

不過由于本文列舉的方波與濾波器非常簡單，盡管可以看到經(jīng)過濾波的圖 9 與圖 10 中的波形與原始波形的區(qū)別，你可能并不能聽出濾波造成明顯的差異。但還是那句話，真實(shí)世界中的聲音要比簡單的方波等波形復(fù)雜得多，濾波可以對許多真實(shí)聲音造成巨大的改變。當(dāng)然，濾波器的種類也遠(yuǎn)不是只有本文中列舉的簡易 RC 低通濾波器一種，如果使用的是 Moog 濾波器的話，濾波產(chǎn)生的效果又會與上文大相徑庭...不過我們暫時先把這些留給以后的文章。

拓展知識：為什么相位偏移可以用度數(shù)表示

數(shù)學(xué)中的度數(shù)不是用來描述角度的大小與旋轉(zhuǎn)的幅度的嗎？這要取決于你如何看待這一問題。想象一個正弦波波形，如下圖中的 (c)。在某一時刻，該波形從零點(diǎn)開始上升，運(yùn)動到其周期 1/4 的時刻到達(dá)頂峰，到周期一般的位置重歸零點(diǎn)，運(yùn)動至 3/4 周期的時候跌至最低，然后在周期最末尾重歸零點(diǎn)，往復(fù)循環(huán)進(jìn)行。

然而正弦波的波形可以用另一種方式描述。想象一個圓盤以一個固定的速度旋轉(zhuǎn)，如上圖中的 (a)，如果只考慮圓周上的任意一個點(diǎn)的縱向運(yùn)動軌跡，你得到的將是上圖中 (b) 這樣的上下往返移動。但想象將這一上下移動軌跡畫在一張紙上，但在同時以固定的速度橫向移動這張紙，你得到的也將會是上圖中 (c) 的正弦波，如下圖所示：

通過這一思路我們可以使用度數(shù)這一個單位同時表示圓周旋轉(zhuǎn)的幅度與正弦波的周期。正弦波由 0 度開始，到達(dá)最高點(diǎn)時位于 90 度，進(jìn)行至 180 度時降回 0，到達(dá)最低點(diǎn)時位于 270 度，與 360 度的時候完成一整個周期，與 0 度重疊。

這是一種表示波形屬性的巧妙方式，并且可以非常簡單地描述相對相位。比如說，如果兩個正弦波彼此相位偏移半個周期，那么你就可以說這兩個波形處于「180 度失相關(guān)系（因?yàn)楫?dāng)一個波形位于 180 度的時候另一個波形位于 0 度的位置）」。