為什么要引進傅里葉級數(shù)？傅里葉級數(shù)的物理意義是什么？

談到傅里葉級數(shù)，我們先要談傅里葉變換。籠統(tǒng)來說， 傅里葉變換的目的將一個信號從時域變換到頻域進行分析，原因是很多在時域內(nèi)看不見的特性在頻域內(nèi)能很清楚地得到。 比如說，矩形波，在時域內(nèi)就一條直線，當(dāng)用傅里葉變換后在頻域內(nèi)，我們就能看見各諧波的頻率，相位，振幅等等信息，會給我們分析問題帶來很大的方便。同時，傅里葉變換把函數(shù)變換為正弦或余弦，正余弦函數(shù)的好處就是其微分和積分也是正余弦，計算起來很方便。同時，根據(jù)歐拉公式，正余弦函數(shù)是指數(shù)為復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的微分積分也是它本身，這也給我們提供了非常方便的計算途徑。

而要得到傅里葉變換，首先要研究周期信號的傅里葉變換（周期信號相對比較有規(guī)律），也就是傅里葉級數(shù)。簡而言之，傅里葉級數(shù)是為了研究周期信號在頻域上的特性而孕育而出的一個概念。

那么第二個問題的答案就呼之欲出，傅里葉級數(shù)的物理意義是什么？其實200多年前，傅里葉老爺爺就揭示了，他在書中說到：“ 任何一個周期信號都可以用正弦函數(shù)級數(shù)（也就是和）來表示。 ”換句話說，傅里葉級數(shù)的物理意義，就是把周期信號，用無限的周期正余弦函數(shù)進行疊加，來表示我們所需要的時域的函數(shù)。

下面具體進行分析。

我們先來復(fù)習(xí)一下實向量（以下簡稱向量）的內(nèi)積（也叫作點積），兩個向量的內(nèi)積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量方向上投影的乘積，用公式表達即為：