理想光學(xué)系統(tǒng)的研究

光學(xué)系統(tǒng)多用于對(duì)物體成像。未經(jīng)嚴(yán)格設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)只有在近軸區(qū)才能成完善像。由于在近軸區(qū)成像的范圍和光束寬度均趨于無(wú)限小，因此沒(méi)有很大的實(shí)用意義。

實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)要求對(duì)一定大小的物體、以一定寬度的光束成近似完善的像。

“應(yīng)用光學(xué)”所要解決的問(wèn)題就是尋求這樣的光學(xué)系統(tǒng)。

為了估計(jì)和比較實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量是否符合完善成像條件，需要建立一個(gè)模型，使之滿足物空間的同心光束經(jīng)系統(tǒng)后仍為同心光束，或者說(shuō)，物空間一點(diǎn)通過(guò)系統(tǒng)成像后仍為一點(diǎn)。這個(gè)模型稱為理想光學(xué)系統(tǒng)，它對(duì)任意大的物體、以任意寬的光束成像都是完善的。

在均勻透明的介質(zhì)中，除平面反射鏡具有上述理想光學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)外，任何實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)都不能絕對(duì)完善地成像。

理想光學(xué)系統(tǒng)理論是在1841年由高斯提出來(lái)的。1893年阿貝發(fā)展了理想光學(xué)系統(tǒng)的理論。理想光學(xué)系統(tǒng)理論又稱為“高斯光學(xué)”，因?yàn)樵谟?jì)算理想光學(xué)系統(tǒng)各個(gè)參量之間的關(guān)系常為階線性方程，也稱為“一階光學(xué)”。

理想光學(xué)系統(tǒng)處于各向同性的均勻介質(zhì)中，物空間中的光線和像空間中的光線均為直線。在物空間的一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于像空間的一點(diǎn)，這樣的一對(duì)點(diǎn)的位置是用光線通過(guò)一定的幾何關(guān)系確定下來(lái)的，因而把這種幾何關(guān)系稱為“共線成像”、“共線變換”或“共線光學(xué)”。這種“共線成像”理論的初始幾何定義可歸結(jié)為

(1)物像空間的共軛點(diǎn)物空間中每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于像空間中的相應(yīng)的點(diǎn)，且只對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。這兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱為物像空間的共軛點(diǎn)。

(2)物像空間的共軛線物空間中的每一條直線對(duì)應(yīng)于像空間的相應(yīng)的直線，而且只對(duì)應(yīng)一條。這兩條對(duì)應(yīng)直線稱為物像空間的共軛線。

(3)共線成像關(guān)系物空間的任意一點(diǎn)位于一條直線上，那么在像空間內(nèi)的共軛點(diǎn)必在該直線的共軛線上。

由以上定義可以推出：物空間中任一平面對(duì)應(yīng)于像空間中有一共軛平面。物空間中每一同心光束在像空間中均有一共軛同心光束與之相對(duì)應(yīng)。

“共線成像”理論是理想光學(xué)系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。一般來(lái)說(shuō)，這種共線成像并不一定能滿足像與物的相似。為了使像和物在幾何形狀上完全相似，總是取物平面垂直于光學(xué)系統(tǒng)的光軸在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的近軸區(qū)可以滿足共線成像理論。因此，在進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，往往以其近軸區(qū)成像性質(zhì)來(lái)衡量該系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

理想光學(xué)系統(tǒng)只作為光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)理論模型，它不涉及到光學(xué)系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)r、d和n，對(duì)于理想光學(xué)系統(tǒng)的討論是根據(jù)共線成像理論來(lái)研究物和像之間的關(guān)系。

首先來(lái)研究理想光學(xué)系統(tǒng)的一些特定的點(diǎn)和面，它們往往可以完全表示該系統(tǒng)的特性。

1. 焦點(diǎn)與焦平面

圖1：焦點(diǎn)與焦平面

根據(jù)理想光學(xué)系統(tǒng)共線成像的特性，設(shè)在物空間有一條和光學(xué)系統(tǒng)光軸平行的光線射入到光學(xué)系統(tǒng)，則在像空間必有一條光線與之相共軛。

隨著光學(xué)系統(tǒng)性質(zhì)的不同，共軛光線可以平行于光軸也可以和光軸交于點(diǎn)。首先研究后一種情況。如圖1所示，O1和Ok為理想光學(xué)系統(tǒng)的第一個(gè)面和最后一個(gè)面，F(xiàn)O1OkF`是光軸，平行于光軸的光線A1E1經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)各面折射后，沿GkF`方向射出，交光軸于F`點(diǎn)。沿光軸入射的光線FO1沒(méi)有折射地通過(guò)系統(tǒng)仍沿光軸射出。由于像方的出射光線GkF`和OkF`分別和物方的入射光線A1E1和FO1相共軛，因此光線GkF`和OkF`的交點(diǎn)F`的共軛點(diǎn)應(yīng)該是光線AE和FO1的交點(diǎn)，顯然它位于左方無(wú)限遠(yuǎn)的光軸上，所以F`是物方無(wú)限遠(yuǎn)軸上點(diǎn)的像。所有其他平行于光軸入射的光線均應(yīng)會(huì)聚于點(diǎn)F`，點(diǎn)F`稱為光學(xué)系統(tǒng)的像方焦點(diǎn)(后焦點(diǎn)或第二焦點(diǎn))。

如果從像方無(wú)限遠(yuǎn)處射入一束與光學(xué)系統(tǒng)光軸平行的光束，同樣會(huì)聚在物方光軸上一點(diǎn)F，稱為光學(xué)系統(tǒng)的物方焦點(diǎn)(前焦點(diǎn)或第一焦點(diǎn))，其與像方無(wú)限遠(yuǎn)處光軸上點(diǎn)相共軛。

但應(yīng)指出，物方焦點(diǎn)F和像方焦點(diǎn)F`不是一對(duì)共軛點(diǎn)。

圖2：光學(xué)系統(tǒng)的焦平面示意圖

經(jīng)過(guò)像方焦點(diǎn)F`作一垂軸平面稱為像方焦平面，顯然這是物方無(wú)限遠(yuǎn)處垂軸平面的共軛面。由物方無(wú)限遠(yuǎn)處射來(lái)的任何方向的平行光束，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后必會(huì)聚于像方焦平面上一點(diǎn)B’，如圖2(a)所示。通過(guò)物方焦點(diǎn)F的垂軸平面稱為物方焦平面，它和像方無(wú)限遠(yuǎn)處的垂軸平面相共軛。自物方焦平面上任一點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)以后，均以平行光射出，如圖2(b)所示。

2. 主點(diǎn)與主平面

圖3：主點(diǎn)與主平面

在圖3中，延長(zhǎng)入射光線A1E1與出射光線GkF`得到交點(diǎn)Q`。同樣，在像空間延長(zhǎng)光線A`kEk與其在物空間的共軛光線G1F交于點(diǎn)Q，如圖3所示。設(shè)光線A1E1和光線A`kEk的入射高度相同，且都在子午面內(nèi)。

顯然，點(diǎn)Q和點(diǎn)Q`是一對(duì)共軛點(diǎn)。點(diǎn)Q是光線A1E1和FQ交成的“虛物點(diǎn)”，而Q`是光線A1E1和FQ的共軛光線A`kEk和F`Q`交成的“虛像點(diǎn)”。過(guò)點(diǎn)Q和Q`作與光軸垂直的平面QH和Q`H`。顯然，這對(duì)平面是互相共軛的。在這對(duì)平面內(nèi)的任意共軛線段如QH和Q`H`具有同樣的高度，而且在光軸的同一側(cè)，故其放大率為+1。稱這對(duì)放大率為+1的共軛平面為主平面，QH稱為物方主平面(前主面或第一主面)，Q`H`稱為像方主平面(后主面或第二主平面)。

除入射為平行光束、出射也是平行光束的望遠(yuǎn)系統(tǒng)外，所有光學(xué)系統(tǒng)都有一對(duì)主面，其一個(gè)主面上的任一段以相等的大小和相同的方向成像在另一個(gè)主面上。

主平面與光軸的交點(diǎn)H和H`稱為主點(diǎn)。H為物方主點(diǎn)(前主點(diǎn)或第一主點(diǎn))，H`為像方主點(diǎn)(后主點(diǎn)和第二主點(diǎn))，兩個(gè)主點(diǎn)是相共軛的。

3. 焦距

自光學(xué)系統(tǒng)的物方主點(diǎn)H到物方焦點(diǎn)F的距離稱為物方焦距(前焦距或第一焦距)，用字母f表示。同樣，像方主點(diǎn)H'到像方焦點(diǎn)F'的距離稱為像方焦距(后焦距或第二焦距)，用字母f`表示。焦距值的正、負(fù)是以相應(yīng)的主點(diǎn)為原點(diǎn)來(lái)確定的，如果由主點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的方向與光線的傳播方向一致，則焦距為正，反之為負(fù)。在圖3中，f<0，f`>0。如果平行于光軸的入射光線的入射高度為h，其共軛光線與光軸的交角為U`，則由三角形Q`H`F`可以得到像方焦距的表示式為

同理,可以得出物方焦距的表示式為

對(duì)于理想光學(xué)系統(tǒng)，不管其結(jié)構(gòu)(r、d、n)如何，只要知道其焦距值和焦點(diǎn)或主點(diǎn)的位置，其性質(zhì)就確定了，同時(shí)可以方便地用作圖或解析的方法求得任意位置和大小的物體經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)所成的角。

4. 理想光學(xué)系統(tǒng)的二焦距間關(guān)系

圖4：光學(xué)系統(tǒng)焦距間的關(guān)系

在圖4中，軸上物點(diǎn)A發(fā)出的光線AM與光軸交角為U，交物方主面于點(diǎn)M，入射高度為h，AM的共軛光線M`A`交像方主面于點(diǎn)M'，與光軸交角為U`，由直角三角形AMH和A`M`H`，得

或

由于三角形ABF與三角形FNH相似、三角形A`B`F`與三角形Q`H`F`相似，因此可得

將其代入上式中，得

對(duì)于理想光學(xué)系統(tǒng)，不論U和U`多大、y和y`多大，上式總能成立。當(dāng)然，對(duì)于小孔徑、小視場(chǎng)的近軸區(qū)，上式也成立，只是用弧度取代角度的正切，得

與拉赫不變量nuy=n`u`y`相比較，可以得出表征光學(xué)系統(tǒng)物方和像方焦距之間關(guān)系的重要公式：

即光學(xué)系統(tǒng)像方焦距f`物方焦距f之比等于相應(yīng)空間折射率之比的負(fù)值。

若光學(xué)系統(tǒng)在同一介質(zhì)中，即n`=n，則兩個(gè)焦距的絕對(duì)值相等、符號(hào)相反：

必須指出，若光學(xué)系統(tǒng)中包括反射面，則兩個(gè)焦距之間的關(guān)系由反射面的個(gè)數(shù)決定。

設(shè)反射面的數(shù)目為k，則可以寫(xiě)成如下更一般的形式：

當(dāng)n`=n時(shí)，

可知折射系統(tǒng)以及具有偶數(shù)個(gè)反射面的折、反射系統(tǒng)，物方焦距和像方焦距異號(hào)。當(dāng)有奇數(shù)個(gè)反射面時(shí)，物方焦距和像方焦距同號(hào)。

5. 光學(xué)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)

圖5：光學(xué)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)的示意圖

在光學(xué)系統(tǒng)中還有一對(duì)角放大率為+1的共軛點(diǎn)J和J`。通過(guò)這對(duì)共軛點(diǎn)的光線方向不變，如圖5所示。三角形FQH與三角形J`B`F`全等，則FH=J`F`;三角形HNJ與三角形H`N`J`全等，則HJ=H`J`。又由圖5可知，xJ=HJ+FH=H`J`+ J`F`，x`J=J`F`=FH，即得以焦點(diǎn)為原點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)：

這一對(duì)共軛點(diǎn)分別稱為物方節(jié)點(diǎn)和像方節(jié)點(diǎn)，即以字母J和J`表示。

如果光學(xué)系統(tǒng)f<0，f>0，則節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)為xJ=f`>0，x`J=f`<0，即節(jié)點(diǎn)J位于焦點(diǎn)F之

右|f`|處，J`位于焦點(diǎn)F`之左|f`|處。

過(guò)節(jié)點(diǎn)的共軛光線角放大率為+1，即UJ=U`J。若光學(xué)系統(tǒng)在同一介質(zhì)中，則有，f=-f`，則xJ=xH，x`J=x`H，即節(jié)點(diǎn)與主點(diǎn)重合。

主點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)統(tǒng)稱為理想光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)。這些點(diǎn)的位置確定以后，理想光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)就確定了。所以，光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)表征了理想光學(xué)系統(tǒng)的特性。

來(lái)源：小小光學(xué)08

審核編輯：湯梓紅