什么是短時(shí)傅里葉變換？傅立葉分析和小波分析的關(guān)系

從傅里葉變換到小波變換，并不是一個(gè)完全抽象的東西，完全可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時(shí)所面對(duì)的問(wèn)題看起，可以整理出非常清晰的思路。

下面我就按照傅里葉-->短時(shí)傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下為什么會(huì)出現(xiàn)小波這個(gè)東西、小波究竟是怎樣的思路。（反正題主要求的是通俗形象，沒(méi)說(shuō)簡(jiǎn)短，希望不會(huì)太長(zhǎng)不看。。）

一、傅里葉變換
關(guān)于傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認(rèn)大家現(xiàn)在正處在理解了傅里葉但還沒(méi)理解小波的道路上。（在第三節(jié)小波變換的地方我會(huì)再形象地講一下傅里葉變換）

下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號(hào)的頻譜，那么為什么還要提出小波變換？答案就是“對(duì)非平穩(wěn)過(guò)程，傅里葉變換有局限性”?？慈缦乱粋€(gè)簡(jiǎn)單的信號(hào)：

做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號(hào)包含四個(gè)頻率成分。

一切沒(méi)有問(wèn)題。但是，如果是非平穩(wěn)信號(hào)呢？

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號(hào)。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著時(shí)間改變的非平穩(wěn)信號(hào)，它們同樣包含和最上信號(hào)相同頻率的四個(gè)成分。

做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號(hào)，頻譜卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，我們從頻域上無(wú)法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號(hào)的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。

可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號(hào)有天生缺陷。它只能獲取一段信號(hào)總體上包含哪些頻率的成分，但是對(duì)各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無(wú)所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號(hào)，可能頻譜圖一樣。

然而平穩(wěn)信號(hào)大多是人為制造出來(lái)的，自然界的大量信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)分析等領(lǐng)域的papers中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

上圖所示的是一個(gè)正常人的事件相關(guān)電位。對(duì)于這樣的非平穩(wěn)信號(hào)，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個(gè)成分出現(xiàn)的時(shí)間。知道信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的情況，各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻率及其幅值——這也就是時(shí)頻分析。

二、短時(shí)傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）

一個(gè)簡(jiǎn)單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同學(xué)的描述了，“把整個(gè)時(shí)域過(guò)程分解成無(wú)數(shù)個(gè)等長(zhǎng)的小過(guò)程，每個(gè)小過(guò)程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)了什么頻率了?！边@就是短時(shí)傅里葉變換。
看圖：

時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時(shí)間的變化情況了嗎！
用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖了：

——此圖像來(lái)源于“THE WAVELET TUTORIAL”
圖上既能看到300Hz, 200 Hz, 100 Hz, 50 Hz四個(gè)頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時(shí)間。兩排峰是對(duì)稱的，所以大家只用看一排就行了。

是不是棒棒的？時(shí)頻分析結(jié)果到手。但是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一個(gè)問(wèn)題，我們應(yīng)該用多寬的窗函數(shù)？
窗太寬太窄都有問(wèn)題：

窗太窄，窗內(nèi)的信號(hào)太短，會(huì)導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。窗太寬，時(shí)域上又不夠精細(xì)，時(shí)間分辨率低。

（這里插一句，這個(gè)道理可以用海森堡不確定性原理來(lái)解釋。類似于我們不能同時(shí)獲取一個(gè)粒子的動(dòng)量和位置，我們也不能同時(shí)獲取信號(hào)絕對(duì)精準(zhǔn)的時(shí)刻和頻率。這也是一對(duì)不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個(gè)瞬間哪個(gè)頻率分量存在，我們知道的只能是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)某個(gè)頻帶的分量存在。所以絕對(duì)意義的瞬時(shí)頻率是不存在的。）

看看實(shí)例效果吧：

——此圖像來(lái)源于“THE WAVELET TUTORIAL”
上圖對(duì)同一個(gè)信號(hào)（4個(gè)頻率成分）采用不同寬度的窗做STFT，結(jié)果如右圖。用窄窗，時(shí)頻圖在時(shí)間軸上分辨率很高，幾個(gè)峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個(gè)寬窗精確。

所以窄窗口時(shí)間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時(shí)間分辨率低、頻率分辨率高。對(duì)于時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會(huì)變化，所以STFT還是無(wú)法滿足非穩(wěn)態(tài)信號(hào)變化的頻率的需求。

三、小波變換

那么你可能會(huì)想到，讓窗口大小變起來(lái)，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒(méi)錯(cuò)，小波變換就有著這樣的思路。
但事實(shí)上小波并不是這么做的（關(guān)于這一點(diǎn)，方沁園同學(xué)的表述“小波變換就是根據(jù)算法，加不等長(zhǎng)的窗，對(duì)每一小部分進(jìn)行傅里葉變換”就不準(zhǔn)確了。小波變換并沒(méi)有采用窗的思想，更沒(méi)有做傅里葉變換。）
至于為什么不采用可變窗的STFT呢，我認(rèn)為是因?yàn)檫@樣做冗余會(huì)太嚴(yán)重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。

于是小波變換的出發(fā)點(diǎn)和STFT還是不同的。STFT是給信號(hào)加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無(wú)限長(zhǎng)的三角函數(shù)基換成了有限長(zhǎng)的會(huì)衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時(shí)間了~

【解釋】
來(lái)我們?cè)倩仡櫼幌赂道锶~變換吧，沒(méi)弄清傅里葉變換為什么能得到信號(hào)各個(gè)頻率成分的同學(xué)也可以再借我的圖理解一下。
傅里葉變換把無(wú)限長(zhǎng)的三角函數(shù)作為基函數(shù)：

這個(gè)基函數(shù)會(huì)伸縮、會(huì)平移（其實(shí)是兩個(gè)正交基的分解）。縮得窄，對(duì)應(yīng)高頻；伸得寬，對(duì)應(yīng)低頻。然后這個(gè)基函數(shù)不斷和信號(hào)做相乘。某一個(gè)尺度（寬窄）下乘出來(lái)的結(jié)果，就可以理解成信號(hào)所包含的當(dāng)前尺度對(duì)應(yīng)頻率成分有多少。于是，基函數(shù)會(huì)在某些尺度下，與信號(hào)相乘得到一個(gè)很大的值，因?yàn)榇藭r(shí)二者有一種重合關(guān)系。那么我們就知道信號(hào)包含多少該頻率的成分。

（看，這兩種尺度能乘出一個(gè)大的值，所以信號(hào)包含較多的這兩個(gè)頻率成分，在頻譜上這兩個(gè)頻率會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)峰）

以上，就是粗淺意義上傅里葉變換的原理。

如前邊所說(shuō)，小波做的改變就在于，將無(wú)限長(zhǎng)的三角函數(shù)基換成了有限長(zhǎng)的會(huì)衰減的小波基。

這就是為什么它叫“小波”，因?yàn)槭呛苄〉囊粋€(gè)波嘛~

從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個(gè)變量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對(duì)應(yīng)于頻率（反比），平移量 τ就對(duì)應(yīng)于時(shí)間。

當(dāng)伸縮、平移到這么一種重合情況時(shí)，也會(huì)相乘得到一個(gè)大的值。這時(shí)候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號(hào)有這樣頻率的成分，而且知道它在時(shí)域上存在的具體位置。

而當(dāng)我們?cè)诿總€(gè)尺度下都平移著和信號(hào)乘過(guò)一遍后，我們就知道信號(hào)在每個(gè)位置都包含哪些頻率成分。

看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號(hào)啦！從此可以做時(shí)頻分析啦！

做傅里葉變換只能得到一個(gè)頻譜，做小波變換卻可以得到一個(gè)時(shí)頻譜！

↑：時(shí)域信號(hào)

↑：傅里葉變換結(jié)果

——此圖像來(lái)源于“THE WAVELET TUTORIAL”
↑：小波變換結(jié)果

小波還有一些好處：

1. 我們知道對(duì)于突變信號(hào)，傅里葉變換存在吉布斯效應(yīng)，我們用無(wú)限長(zhǎng)的三角函數(shù)怎么也擬合不好突變信號(hào)：

然而衰減的小波就不一樣了：

2. 小波可以實(shí)現(xiàn)正交化，短時(shí)傅里葉變換不能。

以上，就是小波的意義。

以上只是用形象地給大家展示了一下小波的思想，希望能對(duì)大家的入門帶來(lái)一些幫助。畢竟如果對(duì)小波一無(wú)所知，直接去看那些堆砌公式、照搬論文語(yǔ)言的教材，一定會(huì)痛苦不堪。

在這里推薦幾篇入門讀物，都是以感性介紹為主，易懂但并不深入，對(duì)大家初步理解小波會(huì)很有幫助。文中有的思路和圖也選自于其中：

1. THE WAVELET TUTORIAL
2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES
3. A Really Friendly Guide to Wavelets
4. Conceptual wavelets

但是真正理解透小波變換，這些還差得很遠(yuǎn)。比如你至少還要知道有一個(gè)“尺度函數(shù)”的存在，它是構(gòu)造“小波函數(shù)”的關(guān)鍵，并且是它和小波函數(shù)一起才構(gòu)成了小波多分辨率分析，理解了它才有可能利用小波做一些數(shù)字信號(hào)處理；你還要理解離散小波變換、正交小波變換、二維小波變換、小波包……這些內(nèi)容國(guó)內(nèi)教材上講得也很糟糕，大家就一點(diǎn)一點(diǎn)啃吧~有問(wèn)題歡迎私信我。水平有限，但一定幫助。

第一次在知乎寫這么長(zhǎng)的回答，多數(shù)圖都是用MATLAB和PPT自己畫出來(lái)的，都是利用實(shí)驗(yàn)室搬完磚之余的時(shí)間一點(diǎn)點(diǎn)弄的，歡迎分享，如轉(zhuǎn)載還請(qǐng)跟我說(shuō)一聲哈~

評(píng)論中的一些問(wèn)題的回答：

1. 關(guān)于海森堡不確定性原理
不確定性原理，或者叫測(cè)不準(zhǔn)原理，最早出自量子力學(xué)，意為在微觀世界，粒子的位置與動(dòng)量不可同時(shí)被確定。但是這個(gè)原理并不局限于量子力學(xué)，有很多物理量都有這樣的特征，比如能量和時(shí)間、角動(dòng)量和角度。體現(xiàn)在信號(hào)領(lǐng)域就是時(shí)域和頻域。不過(guò)更準(zhǔn)確一點(diǎn)的表述應(yīng)該是：一個(gè)信號(hào)不能在時(shí)空域和頻域上同時(shí)過(guò)于集中；一個(gè)函數(shù)時(shí)域越“窄”，它經(jīng)傅里葉變換的頻域后就越“寬”。
如果有興趣深入研究一下的話，這個(gè)原理其實(shí)非常耐人尋味。信號(hào)處理中的一些新理論在根本上都和它有所相連，比如壓縮感知。如果你剝開它復(fù)雜的數(shù)學(xué)描述，最后會(huì)發(fā)現(xiàn)它在本質(zhì)上能實(shí)現(xiàn)就源于不確定性原理。而且大家不覺(jué)得這樣一些矛盾的東西在哲學(xué)意義上也很奇妙嗎，世界觀感覺(jué)就此被改變了。。

2. 關(guān)于正交化
什么是正交化？為什么說(shuō)小波能實(shí)現(xiàn)正交化是優(yōu)勢(shì)?
簡(jiǎn)單說(shuō)，如果采用正交基，變換域系數(shù)會(huì)沒(méi)有冗余信息，等于是用最少的數(shù)據(jù)表達(dá)最大的信息量，利于數(shù)值壓縮等領(lǐng)域。JPEG2000壓縮就是用正交小波變換。
比如典型的正交基：二維笛卡爾坐標(biāo)系的（1,0）、（0,1），用它們表達(dá)一個(gè)信號(hào)顯然非常高效，計(jì)算簡(jiǎn)單。而如果用三個(gè)互成120°的向量表達(dá)，則會(huì)有信息冗余，有重復(fù)表達(dá)。
但是并不意味著正交一定優(yōu)于不正交。比如如果是做圖像增強(qiáng)，有時(shí)候反而希望能有一些冗余信息，更利于對(duì)噪聲的抑制和對(duì)某些特征的增強(qiáng)。

3. 關(guān)于瞬時(shí)頻率
原問(wèn)題：圖中時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)一頻率值，一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)只有一個(gè)信號(hào)值，又怎么能得到他的頻率呢？
很好的問(wèn)題。如文中所說(shuō)，絕對(duì)意義的瞬時(shí)頻率其實(shí)是不存在的。單看一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的一個(gè)信號(hào)值，當(dāng)然得不到它的頻率。我們只不過(guò)是用很短的一段信號(hào)的頻率作為該時(shí)刻的頻率，所以我們得到的只是時(shí)間分辨率有限的近似分析結(jié)果。這一想法在STFT上體現(xiàn)得很明顯。小波等時(shí)頻分析方法，如用衰減的基函數(shù)去測(cè)定信號(hào)的瞬時(shí)頻率，思想也類似。

4. 關(guān)于小波變換的缺點(diǎn)
這要看和誰(shuí)比了。
A.作為圖像處理方法，和多尺度幾何分析方法（超小波）比：
對(duì)于圖像這種二維信號(hào)的話，二維小波變換只能沿2個(gè)方向進(jìn)行，對(duì)圖像中點(diǎn)的信息表達(dá)還可以，但是對(duì)線就比較差，這時(shí)候ridgelet（脊波）, curvelet（曲波）等多尺度幾何分析方法就更有優(yōu)勢(shì)了。
B. 作為時(shí)頻分析方法，和HHT比：
相比于HHT等時(shí)頻分析方法，小波依然沒(méi)脫離海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的束縛，某種尺度下，不能在時(shí)間和頻率上同時(shí)具有很高的精度；以及小波是非適應(yīng)性的，基函數(shù)選定了就不改了。
知識(shí)有限，暫時(shí)想到的有這些。

編輯：黃飛