濾波器設(shè)計(jì)指南

作者：Kevan Hashemi / Brandeis University

大家好，今天我們一起來看這一份濾波器設(shè)計(jì)指南， 網(wǎng)站上提供了比較詳細(xì)的濾波器設(shè)計(jì)表格工具，大家可以自行在網(wǎng)站上下載。指南原文為英文。

指南主要內(nèi)容如下：

有源濾波器

有源低通濾波器

有源高通濾波器

工作頻率

濾波器多項(xiàng)式

無源濾波器

遞歸濾波器

匹配網(wǎng)絡(luò)

脈沖整形器

表面聲波濾波器

傳輸線

組件精度

本指南試圖通過討論BNDHEP和OSI構(gòu)建和使用的實(shí)際電路來教授有源和無源濾波器電路的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。我們的討論從高通和低通濾波器開始。我們研究了在低頻下工作良好的有源實(shí)現(xiàn)和在高頻下工作良好的無源實(shí)現(xiàn)。我們考慮匹配網(wǎng)絡(luò)，它在高頻下對于匹配源和負(fù)載很重要。我們討論表面聲波濾波器，它在小包裝中提供驚人的性能。在每種情況下，我們都將討論限制在我們自己構(gòu)建和使用的電路上。傳輸線是濾波器的一種形式，但我們在傳輸線分析中單獨(dú)詳細(xì)討論這些。

如果您不熟悉電容器、電感器和電阻器，我們將在電子學(xué)入門課程的前三堂課中介紹這些組件。我們總是可以單獨(dú)使用微分方程推導(dǎo)出由電容器、電感器和電阻器組成的濾波器的行為。但是如果我們使用復(fù)阻抗的方法，我們可以比微分方程更快地推導(dǎo)出它的頻率響應(yīng)。如果我們使用拉普拉斯變換，我們可以同樣輕松地推導(dǎo)出頻率響應(yīng)、階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。在下面的每個推導(dǎo)中，我們選擇這三種方法之一。例如，在我們關(guān)于脈沖整形器的部分中，我們在沒有拉普拉斯變換幫助的情況下介紹了濾波器的脈沖響應(yīng)，只是為了展示它是如何完成的。

我們的濾波器工具是一個電子表格，用于計(jì)算和繪制各種濾波器的頻率響應(yīng)。我們有兩個版本的電子表格：Filter.ods用于 Open Office，F(xiàn)ilter.xls用于 Microsoft Excel。我們使用 Open Office 來創(chuàng)建電子表格，因此 Open Office 版本會更可靠。(電子表格可在網(wǎng)站下載)

有源濾波器

一個有源濾波器包含一個放大器，其輸出通過無源元件，通常是電容器和電阻器連接到其輸入端。輸出到輸入的這種反饋使我們能夠僅使用電容器和電阻器來構(gòu)建具有虛極點(diǎn)的濾波器。如果沒有反饋，具有虛極的濾波器必須同時(shí)具有電感器和電容器。有源濾波器的主要目的是消除電感器并降低濾波器電容器的值。

圖：四極有源低通濾波器。雙運(yùn)算放大器提供兩級，每一級產(chǎn)生響應(yīng)的兩個極點(diǎn)。

在由電感器、電容器和電阻器組成的經(jīng)典無源濾波器中，濾波器的頻率響應(yīng)是電感器和電容器的阻抗相互變化以及濾波器中電阻變化的結(jié)果。在濾波器的截止頻率下，其所有元件的阻抗將具有相同的數(shù)量級。假設(shè)電阻器的數(shù)量級為 1 kΩ，那么電感器和電容器也將具有大約 1 kΩ 的阻抗。如果濾波器的截止頻率為 1 kHz，則電感量級為 100 mH。它們可能是 30 mH 或 300 mH，但不會比這少或多。該RL622-104K-RC是一個 100 mH 的電感器。它是一個高 11 毫米、寬 8 毫米的通孔部件，售價(jià)約為 50 美分。假設(shè)我們將電阻降至 10 Ω?，F(xiàn)在電感量級為 1 mH。我們可以使用1812R-105J這是一個 4 毫米長的表面貼裝部件。它們的售價(jià)約為 1 美元。通過減少電阻器的值，我們減少了電感器，這是一件好事，但我們也增加了電容器。在 1 kHz 時(shí)阻抗為 10 Ω 的電容器為 10 μF。我們可以花 20 美分左右買到一個 10μF 的表面貼裝電容器?，F(xiàn)在我們可以用 1kHz、1V 的正弦波驅(qū)動電路。由于電阻為 10 Ω，我們將從電壓源抽取 100 mA 的電流。所以我們可以將信號的大小減小到 10 mV 左右，現(xiàn)在我們只消耗 1 mA?，F(xiàn)在我們必須考慮另一個問題：組件的精度問題。在四極點(diǎn)濾波器中，元件值需要精確到 5% 以內(nèi)，否則極點(diǎn)會出錯，濾波器響應(yīng)也不會很尖銳。如果我們必須將濾波器的頻率降至 100 Hz。

借助低成本、低功耗運(yùn)算放大器 ( op-amp )的反饋，我們可以消除電感器并在整個濾波器中使用相同的電容。如果我們使用來自同一卷零件的電容器，它們的值是相似的。電容器的相對值對濾波器響應(yīng)形狀最重要。我們使用不同值的電阻器，但與精密電容器相比，精密電阻器更便宜。很難找到準(zhǔn)確度為 1% 的電容器，但準(zhǔn)確度為 1% 的電阻器的成本僅為幾美分。如果我們想改變過濾功能，我們只需要購買新的電阻。在我們的過濾工具的幫助下，我們可以嘗試不同的電阻值，看看響應(yīng)會是什么樣子。結(jié)果是具有精確響應(yīng)的緊湊型多功能濾波器。這是一個示例150Hz 低通濾波器在印刷電路板的一側(cè)占據(jù) 10 平方毫米的面積，消耗小于 5μA，所有這些都低于 5 美元。我們在下面討論工作頻率，但讓我們首先概述工作頻率如何影響您選擇的濾波器實(shí)現(xiàn)。

在低于 1 kHz 的頻率下，使用有源濾波器幾乎總是更好，因?yàn)樵谶@些低頻下，無源濾波器所需的電感器又大又貴，而低頻運(yùn)算放大器又便宜又小。在 1 kHz 和 10 MHz 之間，我們可能會使用有源濾波器，或者我們可能會使用由電感器和電容器組成的無源濾波器。這取決于我們可以提供給有源濾波器放大器的功率大小。我們可以提供的功率越大，我們選擇放大器的速度就越快，有源濾波器的有效頻率就越高?，F(xiàn)在，對于 10 mA 的預(yù)算，您可以構(gòu)建一個截止頻率為 10 MHz 的有源低通濾波器。在這您會發(fā)現(xiàn)一個 1.6-MHz 四極點(diǎn)低通濾波器的原理圖。閱讀以下部分后，您將知道如何將濾波器級的增益和時(shí)間常數(shù)輸入到我們的濾波器工具中，并親自查看濾波器的響應(yīng)。

在高達(dá) 100 kHz 的頻率下，您可以選擇有源濾波器實(shí)現(xiàn)方式：您可以使用運(yùn)算放大器、電容器和電阻器來構(gòu)建它們，或者您可以使用可編程模擬電路，如 Lattice Semiconductor 的PAC系列芯片。

在 10 MHz 以上的頻率下，電感器體積小且價(jià)格低廉，而運(yùn)算放大器的速度已不足以有效實(shí)現(xiàn)濾波器功能。除了我們從Minicircuits購買的經(jīng)典電感電容 (LC) 濾波器之外，您還可以獲得陶瓷濾波器、表面聲波 (SAW) 濾波器和晶體濾波器。一個 900 MHz 的 SAW 帶通濾波器只需幾美元，其響應(yīng)與 10 極點(diǎn) LC 帶通濾波器一樣敏銳。

有源低通濾波器

有許多低通有源濾波器電路。我們使用下圖所示的那個。如您所見，運(yùn)算放大器的輸出通過電容器反饋到其正輸入。該電容器在電路方程中充當(dāng)電感器。輸出也被饋送通過一個電阻分壓器回到負(fù)輸入，并且該除法得到有源濾波器其增益

在拉普拉斯域中，上面的電路有一個帶有兩個虛極的傳遞函數(shù)。我們推導(dǎo)出下面的傳遞函數(shù)。在拉普拉斯域中，電阻器的電壓與電流之比為R，電容器為 1/ sC，電感器為sL。我們表示在點(diǎn)電壓的拉普拉斯變換X字母X，等等。我們通過用j ω替換傳遞函數(shù)中的拉普拉斯變量s來獲得正弦輸入電路的復(fù)數(shù)增益，其中j = √(-1) 并且 ω 是濾波器正弦輸入的角頻率。

當(dāng)我們改變A 時(shí)，同時(shí)保持RC不變，其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)離開s平面的負(fù)實(shí)軸，并沿著圓的圓周移動到虛軸。這個圓的半徑是1/RC，它的中心是原點(diǎn)。下圖顯示了圓的左上象限。

巴特沃斯濾波器是與過濾器最大平坦在其通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)。通過截止頻率，我們是指在其中巴特沃斯濾波器輸出下降到其值的71%(1 /√2)的頻率最大振幅在較低頻率。Butterworth 濾波器的最大幅度出現(xiàn)在 0 rad/s 處，而Chebyshev濾波器的最大幅度出現(xiàn)在低于截止頻率的幾個其他頻率處。

恰好具有截止頻率 ω c的巴特沃斯低通濾波器的極點(diǎn)均勻分布在以s平面原點(diǎn)為中心、半徑為 ω c的半圓的圓周上。二極濾波器的極點(diǎn)為±45°。四極濾波器的那些為±22.5°和±67.5°。下表給出了具有 1 到 8 個極點(diǎn)且截止頻率為 1 rad/s 的低通巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)。這些稱為歸一化巴特沃斯多項(xiàng)式的極點(diǎn)。

轉(zhuǎn)到我們?yōu)V波器工具中的兩極LPF、三極 LPF 和四極 LPF 表，您將看到可以輸入二極、三極和四極濾波器極點(diǎn)的地方。您可以通過給出其實(shí)部和虛部的絕對值來指定一對共軛極點(diǎn)。您可以通過僅給出其實(shí)部來指定三極濾波器中的孤立極點(diǎn)。我們提供了各種濾波器函數(shù)的示例極點(diǎn)集表。當(dāng)您輸入新的極點(diǎn)值時(shí)，濾波器工具會繪制出極點(diǎn)的幅度響應(yīng)。

我們使用單個運(yùn)算放大器級實(shí)現(xiàn)每個共軛極點(diǎn)，如上所示。我們可以使用 RC 網(wǎng)絡(luò)或在另一個運(yùn)算放大器級中實(shí)現(xiàn)單獨(dú)極點(diǎn)，在其反饋電阻器上放置一個電容器。這種單極運(yùn)算放大器級允許我們同時(shí)進(jìn)行放大和濾波。使用兩個運(yùn)算放大器，我們可以實(shí)現(xiàn)帶放大功能的三極低通濾波器。在這電路，你會看到一個由兩個運(yùn)算放大器組成的三極濾波器。它有一個 10-MΩ 的輸入電阻，帶有一個 0.15-Hz 高通濾波器，后跟一個三極點(diǎn)濾波器，并提供 25 的總增益。我們在第一個運(yùn)算放大器的反饋電阻器上使用一個電容器來實(shí)現(xiàn)單極點(diǎn). 在高頻下，電容器將第一個運(yùn)算放大器級的 ×11 增益降低到 ×1。理想情況下，電容器應(yīng)將增益降低到 ×0，如果我們將運(yùn)算放大器布置為反相放大器，就會如此。但是增益從 ×11 減少到 ×1 是一個足夠好的近似值，我們的濾波器可以很好地工作。

頻率圖從 0 rad/s 擴(kuò)展到 3 rad/s。該圖旨在與歸一化濾波器多項(xiàng)式的極點(diǎn)一起使用，這些多項(xiàng)式的截止頻率為 1 rad/s。如果我們想使具有截止頻率ω4極巴特沃斯低通濾波器?使用有源濾波器級等中示出的一個以上，我們建立兩個階段，每個RC = 1 /ω ?，并挑選的值甲每個階段的放它的兩個共軛極點(diǎn)在正確的位置的半徑ω電路上?在小號-平面。A 的這些值與ω c無關(guān)，因此我們可以查看極點(diǎn)軌跡圖及以上的標(biāo)準(zhǔn)化波蘭人表，并找出增益，我們需要生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)化巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)。我們在截止頻率為 ω c 的濾波器中使用這些A值。您可以通過在極點(diǎn)軌跡中的點(diǎn)之間進(jìn)行插值來以足夠的精度確定A，知道這些點(diǎn)代表A中 0.1 的步長，從 1.0 開始，兩個極點(diǎn)一起位于負(fù)實(shí)軸上。

不是使用極點(diǎn)軌跡來確定巴特沃斯濾波器級的正確A值，而是在我們的濾波器工具中選擇極點(diǎn)軌跡表。在那里你會找到我們的極點(diǎn)軌跡圖的數(shù)據(jù)，以及一個你可以輸入A和RC值的地方，并得到結(jié)果共軛極對的極點(diǎn)實(shí)部和虛部。我們已經(jīng)為您完成了這項(xiàng)工作，并提供了A的正確值在下表中。請注意，具有奇數(shù)極點(diǎn)的濾波器只需要一個 RC 網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)負(fù)實(shí)軸上的孤立極點(diǎn)。如果您想知道：階段的順序并不重要。該濾波器適用于任何正確增益值序列。

在我們?yōu)V波器工具的第 5 頁，您將看到如何改變一級、一級半和二級有源濾波器的A和RC以創(chuàng)建兩極、三極和四極低通濾波器。如果將RC設(shè)置為 1，并輸入上表中A的巴特沃斯值，您將看到巴特沃斯最大平坦幅度響應(yīng)，截止頻率為 1 弧度/秒 (0.16 Hz)。巴特沃斯濾波器的所有級都具有RC =1/ω c，其中 ω c是以 rad/s 為單位的截止頻率。我們有f c = ω/2π 以赫茲為單位的截止頻率。改變RC對于每個階段的因子為兩倍左右，以及改變A，您將獲得各種其他響應(yīng)，尤其是使用兩級濾波器時(shí)。我們提供ω c = 1 rad/s 的RC和A值。試試 Chebyshev 0.5-dB 紋波響應(yīng)，我們在下面展示。

如果您想構(gòu)建一個響應(yīng)形狀與上圖相同但截止頻率為 ω c 的濾波器，請將每個級的RC除以 ω c，但保持A不變。您現(xiàn)在將擁有相同的響應(yīng)形狀，但頻率軸按 ω c縮放。您可以在我們的濾波器工具的有源 LPF 表中試驗(yàn)A和RC 的值，以查看最終的濾波器響應(yīng)是什么樣的。你會發(fā)現(xiàn)試圖獲得Chebyshev 3-dB Ripple通過反復(fù)試驗(yàn)做出反應(yīng)是困難的。這就是為什么我們傾向于使用預(yù)先計(jì)算的極點(diǎn)表來構(gòu)建我們的過濾器。

有源高通濾波器

您可以通過更換電阻和電容將低通濾波器更改為高通濾波器，如下所示。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)保持固定，但我們在原點(diǎn)引入兩個零點(diǎn)。

正如我們從它的傳遞函數(shù)中看到的，高通濾波器相當(dāng)于一個雙微分器與我們使用相同電阻和電容值獲得的相同低通濾波器串聯(lián)。在高頻下，雙微分器的放大被低通濾波器的衰減抵消，從而使我們得到平坦的響應(yīng)。在低頻時(shí)，雙微分器的衰減占主導(dǎo)地位，并導(dǎo)致輸出幅度隨著頻率的降低而降低。當(dāng)輸入角頻率 ω 等于 1/ RC 時(shí)，高通濾波器和低通濾波器的響應(yīng)相等?？紤]傳遞函數(shù)的另一種方式是說高通濾波器響應(yīng)是經(jīng)過變換RCs的低通濾波器響應(yīng)= 1/ RCs'，因此高通濾波器在角頻率 1/ RC 下的響應(yīng)等于低通濾波器在相同頻率下的響應(yīng)，而在角頻率 2/ RC 下它等于低通濾波器的響應(yīng)頻率為 1/2 RC 的濾波器。

您會在此處找到 19 kHz 兩極巴特沃斯高通濾波器的糟糕繪圖，以及隨附的計(jì)算。電容器為 4.7 nF，R為 1.8 kΩ，A = 1.59。

運(yùn)行頻率

用無源元件制成的濾波器隨著截止頻率的降低而變得更大更重。由電感器和電容器制成的 10 kHz 高通濾波器為 50 Ω 負(fù)載供電，必須包含阻抗為 50 / 2π.10kHz ≈ 1 mH 數(shù)量級的電感器。串聯(lián)電阻小于 5 Ω(50 Ω 的 10%)的 1mH 電感器的價(jià)格低于 5 美元很難找到，而且每邊至少有 15 毫米。在 10 kHz 時(shí)阻抗為 50 Ω 的電容器大約為 330 μF。這種尺寸的電容器往往是電解的，因此是極化的，因此您無法將它們連接到交流電壓。當(dāng)我們降到 100 Hz 時(shí)，電感器和電容器是巨大的，而且我們現(xiàn)在傾向于看到它們僅用于過濾電源。

無源濾波器在低頻時(shí)很笨重，但有源濾波器在高頻時(shí)停止工作。大多數(shù)有源濾波器中的放大器是運(yùn)算放大器或運(yùn)算放大器。運(yùn)算放大器是具有負(fù)輸入和正輸入的高增益差分放大器。它們有自己的內(nèi)部增益，在低頻時(shí)很大，但隨著頻率的增加而下降。大多數(shù)運(yùn)算放大器都有內(nèi)部補(bǔ)償，這意味著它們在內(nèi)部某處有一個電容器，用作與它們的大增益串聯(lián)的單極點(diǎn)低通濾波器。如果沒有這種補(bǔ)償，運(yùn)算放大器在反饋回路中往往不穩(wěn)定，設(shè)計(jì)人員不喜歡擔(dān)心運(yùn)算放大器電路的不穩(wěn)定。即使沒有電容器，運(yùn)算放大器的增益也會隨頻率下降，但它以一種不規(guī)則且不可預(yù)測的方式下降。

由于補(bǔ)償電容，運(yùn)算放大器反饋放大器的增益與其半功率帶寬成反比，因此我們有運(yùn)算放大器的增益帶寬積，它是任何反饋增益的乘積由運(yùn)算放大器制成的放大器以及運(yùn)算放大器內(nèi)部增益損失導(dǎo)致輸出幅度下降 29% (3 dB) 的頻率。

假設(shè)我們的運(yùn)算放大器的增益帶寬積為 1 MHz，我們在此濾波器中使用的OPA2277就是這種情況。濾波器的第二級增益為 2.27，因此其帶寬為 1 MHz / 2.27 ≈ 400 kHz。濾波器的截止頻率f c為 10 kHz。放大器帶寬比截止頻率大四十倍。我們的經(jīng)驗(yàn)法則是放大器帶寬應(yīng)至少比濾波器截止頻率大十倍。憑借大約兩 (2) 的級增益，OPA2277 使我們能夠構(gòu)建截止頻率高達(dá) 40 kHz 的濾波器。

我們最喜歡的另一款運(yùn)算放大器LM6172具有 100 MHz 的增益帶寬積，并支持截止頻率高達(dá) 10 MHz 的濾波器。在較高頻率下，使用有源濾波器沒有多大意義，因?yàn)殡姼衅鞲唵?前提是您知道如何設(shè)計(jì)無源濾波器)?？紤]一個由 50 Ω 源驅(qū)動并由 50 Ω 負(fù)載端接的無源 10 MHz 低通濾波器。濾波器中的電感器應(yīng)具有與 10 MHz 下的 50 Ω 相當(dāng)?shù)淖杩?，這意味著它們的電感L, 應(yīng)為 50 / 2π.10MHz ≈ 1 μH。我們可以用不到 10 美分的價(jià)格購買一個采用 P0805 表面貼裝封裝、串聯(lián)電阻小于 0.2 Ω、自諧振頻率為 100 MHz 的 1-μH 電感器。濾波器在 1000 MHz 下無法很好地工作，因?yàn)榱畠r(jià)電感器的寄生電容將使 1000 MHz 頻率通過濾波器，但是您可以使用輔助單極低電平來阻止比截止頻率高 10 倍的頻率截止頻率為 100 MHz 的通濾波器。你可以用一個電容器和一個電阻器來制作那個濾波器。您可以在網(wǎng)上找到歸一化濾波器的電感器和電容器值表。低通切比雪夫?yàn)V波器的表格在這里。

可編程模擬電路，例如Maxim Semiconductor和Lattice Semiconductor提供的那些，使用模擬開關(guān)和電容器來制作開關(guān)電容濾波器。通過僅在 10% 的時(shí)間內(nèi)將電容器連接到兩個端子，您可以創(chuàng)建一個 10% 大的電容器。這些電路的速度受電容器開關(guān)頻率的限制。最新的電路似乎支持高達(dá) 1 MHz 的開關(guān)頻率，這意味著我們可以使用它們來制作工作頻率高達(dá) 100 kHz 左右的濾波器。

就我們自己而言，我們使用低于 1 MHz 的有源濾波器，高于 10 MHz 的無源濾波器，并與我們自己爭論這兩者之間的范圍。我們還沒有看到對可編程濾波器的需求，但是當(dāng)我們這樣做時(shí)，我們期待在低于 100 kHz 的頻率下使用它們。

濾波器多項(xiàng)式

通過在我們的濾波器工具的第二頁上改變四極濾波器的極點(diǎn)，您將看到響應(yīng)對極點(diǎn)值的敏感程度。的巴特沃斯多項(xiàng)式為我們提供了最平坦的通帶幅度響應(yīng)。輸出幅度與輸入幅度之比為 (1 + ω 2n /ω c 2n ) -?，其中n是濾波器中的極點(diǎn)數(shù)，ω 是輸入頻率，單位為 rad/s，ω c是截止頻率，單位為 rad/s。這種幅度關(guān)系定義了巴特沃斯多項(xiàng)式。下圖顯示了歸一化的二階巴特沃斯多項(xiàng)式，s 2+ s√2 + 1，提供指定的頻率響應(yīng)。該歸一化的多項(xiàng)式為ω的多項(xiàng)式c ^ = 1弧度/秒。這種標(biāo)準(zhǔn)化的二階多項(xiàng)式的極是，我們在表中的兩排給兩極以上。

該切比雪夫多項(xiàng)式為我們提供了切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)。Chebyshev 多項(xiàng)式允許您接受通帶幅度響應(yīng)的變化，以換取通帶外更銳利的截止。歸一化的二階巴特沃斯幅度響應(yīng)減少到 (1 + ω 4 ) ??。ω 2 中沒有項(xiàng)。因?yàn)棣?2中沒有項(xiàng)，所以幅度響應(yīng)總是隨著頻率的增加而降低，并且不包含紋波。但是，如果我們可以接受通帶幅度響應(yīng)中的一些波紋，那么我們可以添加一個 ω 2項(xiàng)，它與 ω 4項(xiàng)配合，使響應(yīng)更急劇地下降到高于 ω c。

您可以在此處查看Chebyshev 多項(xiàng)式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，我們在下表中為您提供了歸一化 3-dB 通帶紋波 Chebyshev 多項(xiàng)式，您可以在其中將它們與歸一化巴特沃斯多項(xiàng)式進(jìn)行比較。

表：3-dB 通帶紋波的歸一化切比雪夫多項(xiàng)式。我們縮放多項(xiàng)式，以便當(dāng)s = 0時(shí)它們的值為 1 。多項(xiàng)式的常數(shù)部分始終為 1，這樣可以更輕松地將其與相同階數(shù)的巴特沃斯多項(xiàng)式進(jìn)行比較。

上表中的所有多項(xiàng)式在s = 0 時(shí)的值為 1。如果我們的傳遞函數(shù)在其分母中有多項(xiàng)式，則其在 ω = 0 rad/s 時(shí)的增益將為 1。在 ω = 1 rad/s 時(shí)，所有多項(xiàng)式產(chǎn)生比ω ≤ 1 rad/s的最大增益小 3-dB 的增益。Butterworth 濾波器的最大增益為 1，出現(xiàn)在 ω = 0 rad/s，但 3-dB Chebyshev 濾波器的最大增益為 √2，即比 1 大 3 dB，并且出現(xiàn)在一個或多個值處ω 在 0 rad/s 和 1 rad/s 之間。Chebyshev 濾波器在 ω = 1 rad/s 時(shí)的增益為 1。

圖：十極 3-dB 紋波切比雪夫和巴特沃斯低通響應(yīng)。Chebyshev 響應(yīng)在截止頻率的 10% 內(nèi)下降 30 dB。您可以使用我們的濾波器工具的十極 LPF 表來調(diào)整紋波并查看它如何影響響應(yīng)。

通過比較 Chebyshev 和 Butterworth 多項(xiàng)式，您可以了解為什么 Chebyshev 在其通帶外提供更尖銳的截止。所述? 5在第五階切比雪夫多項(xiàng)式具有系數(shù)15.9術(shù)語，而? 5術(shù)語在巴特沃思多項(xiàng)式具有系數(shù)1。對于頻率小于ω ?，五階切比雪夫多項(xiàng)式余額其大小號5術(shù)語具有大小號4、s 3、s 2和s項(xiàng)。這種平衡是以這樣一種方式完成的，即我們在s 中的最大系數(shù)的通帶響應(yīng)中產(chǎn)生最小量的紋波5 . 一旦 ω 超過 ω c，s 5項(xiàng)會迅速超過所有其他項(xiàng)，并導(dǎo)致響應(yīng)突然下降。Chebyshev 濾波器不僅總是為我們提供比 Butterworth 濾波器更清晰的截止，而且優(yōu)勢隨著濾波器的階數(shù)而增長，如上圖所示。

無源濾波器

甲無源濾波器是一個電感器，電容器和電阻器的組成。在大多數(shù)情況下，濾波器中唯一的電阻是源阻抗和負(fù)載阻抗。這些電阻器可能作為單獨(dú)的電阻器組件存在于您的電路中，或者它們可能是提供信號的放大器和接收濾波器輸出的放大器的固有特性。在上面關(guān)于濾波器多項(xiàng)式的部分中，我們展示了如何得出最符合您要求的頻率多項(xiàng)式函數(shù)。無源濾波器通過與源阻抗和負(fù)載阻抗相互作用的電容器和電感器實(shí)現(xiàn)這些多項(xiàng)式頻率響應(yīng)。

我們將在本節(jié)后面介紹一個示例無源濾波器設(shè)計(jì)，但我們首先對該主題進(jìn)行定量介紹。開始學(xué)習(xí)無源濾波器的一種方法是使用像這樣的無源濾波器計(jì)算器。您輸入源電阻和負(fù)載電阻，選擇經(jīng)典多項(xiàng)式頻率響應(yīng)(巴特沃斯、切比雪夫、貝塞爾，如上所述)，選擇多項(xiàng)式的階數(shù)(傳遞函數(shù)中頻率的最高冪)，以及響應(yīng)，例如巴特沃斯低通或高通濾波器的 -3 dB 點(diǎn)。計(jì)算器為您提供電路圖，并為您提供以亨利 (H) 和法拉 (F) 為單位的電感器 (L) 和電容器 (C) 值。

經(jīng)典的無源濾波器，例如上面鏈接的計(jì)算器設(shè)計(jì)的濾波器，采用橫向梯形的形式，其中底部導(dǎo)軌是信號地，頂部導(dǎo)軌是一系列電感器或一系列電容器。它將是低通濾波器中的電感器和高通濾波器中的電容器。階梯的階梯(如果階梯是垂直的，它們將是階梯)是低通濾波器中的電容器和高通濾波器中的電感器。梯形圖中電容器和電感器的總數(shù)等于頻率多項(xiàng)式中頻率的最高冪，并為我們提供了濾波器的階數(shù)。梯形是無源濾波器的首選結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫B分?jǐn)?shù)法 允許我們相對容易地將多項(xiàng)式頻率函數(shù)轉(zhuǎn)換為梯形電路。

鑒于濾波器是梯形濾波器，您需要為無源濾波器指定的另一件事是它是“并聯(lián)”還是“串聯(lián)”濾波器。甲分路濾波器是其中所述第一元件連接到信號接地(0V)。甲系列過濾器是在其中所述第一元件連接到第二元件，并且所述第二元件連接到地面。

如果您的源阻抗為零，則并聯(lián)濾波器沒有意義，因?yàn)榻拥亟M件不會影響具有零源阻抗的信號。但是在驅(qū)動無源濾波器時(shí)，零源阻抗在任何情況下都是不切實(shí)際的。從源頭看，濾波器的阻抗在截止頻率附近趨于急劇下降，無論它是并聯(lián)還是串聯(lián)布置。當(dāng)濾波器阻抗下降時(shí)，從源汲取的電流將急劇增加，直到源不能再保持零源阻抗的出現(xiàn)，并且輸入信號變得嚴(yán)重失真。因此，當(dāng)我們針對零源阻抗進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，濾波器的性能實(shí)際上會受到影響。有限的源阻抗會降低濾波器必須汲取的電流，但代價(jià)是會損失一些信號幅度。

無限負(fù)載阻抗也被證明是不切實(shí)際的，因?yàn)樗枰獰o限值的電感器和無限小的電容器。實(shí)際上，只要源阻抗與負(fù)載阻抗之比大于 10，就很難用標(biāo)準(zhǔn)部件構(gòu)建濾波器。當(dāng)您考慮這些無源濾波器電路以及它們?nèi)绾闻c您的放大器相互作用時(shí)，請記住，與電阻器R串聯(lián)的電壓源V等效于與并聯(lián)的電流源I = V/R相同的電阻，R. 如果您的信號源是驅(qū)動 50 Ω 負(fù)載的 NPN 晶體管的集電極，則集電極等效于與該電阻串聯(lián)的電壓源。您可以通過電容器將輸出分流到地以啟動低通濾波器，或者您可以將電感器與其串聯(lián)。另一方面，你不能用電感將它分流到地來啟動高通濾波器，因?yàn)槟銜茐木w管的直流偏置。但是你可以從一個大串聯(lián)電容開始，它的阻抗與源阻抗相比可以忽略不計(jì)，以將晶體管與直流濾波器隔離，然后用一個對地的電感分流器開始你的高通濾波器。

在所有情況下，以及在整個濾波器中，您會發(fā)現(xiàn)每個單獨(dú)的電容器和電感器的阻抗與所需高通或低通截止頻率下的源阻抗和負(fù)載阻抗具有相同的數(shù)量級。如果您的源阻抗為 50 Ω，負(fù)載阻抗為 500 Ω，則元件的阻抗將通過電路增加，因此最靠近源的阻抗為 50 Ω，而最靠近負(fù)載的阻抗為 500 Ω。

在源阻抗和負(fù)載阻抗較高或阻抗不匹配的情況下，您可能會使用有源濾波器。無源濾波器最有可能應(yīng)用在放大器具有 50 Ω 輸出和輸入阻抗的射頻電路中。但也有其他時(shí)候，無源濾波器是最簡單、最緊湊的解決方案，我們將以一個為例進(jìn)行研究。

考慮抗混疊濾波器由R45，L4，C31和R46在S2071_8。下圖顯示了該電路的外觀，由 0805 表面貼裝元件制成。

圖：5 MHz 無源低通濾波器的照片。所有部件均采用 0805 表面貼裝封裝。

我們重新繪制下面的電路圖，更改了組件名稱。該濾波器提供 5 MHz 通帶，在 20 MHz 時(shí)衰減為 20 dB，以便準(zhǔn)備信號VR以 40 MSPS 進(jìn)行數(shù)字化。兩極最大平坦的巴特沃斯響應(yīng)就足夠了。電阻器R1將源阻抗插入信號路徑。如果沒有這個，L和C將在其自然諧振頻率 1/(2π√( LC ))附近呈現(xiàn)接近零的阻抗，這將使提供輸入X 的運(yùn)算放大器過載。我們選擇R1 = 100 Ω 以將輸入電流限制為 5 mA(對于 0.5 V 應(yīng)用信號)。

圖：兩極無源低通濾波器。我們有R1 = 100 Ω 和R2 = 1 kΩ。我們需要 5 MHz 的截止頻率和 <1 dB 的通帶衰減。

電阻器R2提供有限負(fù)載阻抗。與源阻抗相比，負(fù)載阻抗越大，濾波器對其通帶內(nèi)的頻率的衰減就越小。如果我們選擇R2 = 100 Ω，我們的輸出將是我們輸入幅度的一半。我們希望我們的濾波器盡可能少地衰減信號，因此我們希望選擇比源阻抗大得多的負(fù)載阻抗。然而，負(fù)載阻抗越高，在 5 MHz 下產(chǎn)生可比阻抗所需的L值就越大。我們選擇R2 = 1 kΩ。在低頻時(shí)，濾波器衰減為 1 dB，這是輕微的。我們連接Y的放大器輸入阻抗必須遠(yuǎn)大于 1 kΩ，否則會影響濾波器的性能。使用另一個運(yùn)算放大器很容易實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)高于 1 kΩ 的輸入阻抗。

我們現(xiàn)在計(jì)算該電路對于正弦輸入的增益和相移。我們讓電容器的阻抗為 1/ sC，電感器的阻抗為sL，電阻器的阻抗為R。這里我們使用s作為拉普拉斯變量。濾波器的傳遞函數(shù)是從Y點(diǎn)到 0 V 的阻抗除以通過濾波器從X到 0 V的阻抗之比。如果我們使用復(fù)指數(shù)來獲得增益和相位，我們將遵循相同的程序，但阻抗設(shè)置為 1/ j ω C、j ω L和R，其中j = √(?1) 并且 ω 是角頻率。在下面的計(jì)算中，我們確定了截止頻率為 5 MHz 的最大平坦低通響應(yīng)的L和C。

我們第一次執(zhí)行上述計(jì)算時(shí)，在我們的筆記本中，我們失去了最大平坦響應(yīng)所需的 √2 因子，得出的結(jié)論是 270 pF 和 3.3 μH 是正確的。我們用這些值構(gòu)建了濾波器，對輸入應(yīng)用了正弦波，并在增加頻率的同時(shí)測量了輸入和輸出幅度。我們獲得了以下增益與頻率的關(guān)系圖。

如果我們將截止頻率作為衰減下降到通帶以下 3 dB 的點(diǎn)，我們會看到濾波器的實(shí)際截止頻率約為 6 MHz。與通帶中的最大平坦響應(yīng)不同，我們在截止之前有一個 1dB 的紋波。就我們而言，這種反應(yīng)與我們想要的反應(yīng)非常接近。

遞歸過濾器

我們可以定期對輸入電壓進(jìn)行采樣，將樣本數(shù)字化，然后在微處理器中執(zhí)行濾波，而不是構(gòu)建一個作用于輸入電壓以產(chǎn)生輸出電壓的濾波器。我們以采樣頻率對輸入電壓進(jìn)行采樣，我們表示為f s = 1/ T s。在采樣和數(shù)字化之后，輸入電壓X(t)變成一個二進(jìn)制值序列X n = X(nT s )。在每個樣本時(shí)刻，我們計(jì)算濾波器輸出Y i。如有必要，我們將Y i轉(zhuǎn)換為電壓序列Y(nT). 對于時(shí)間nT ≤ t < ( n +1) T，輸出電壓等于Y(nT)。X的初始數(shù)字化將產(chǎn)生一個整數(shù)值。但隨后的計(jì)算可能發(fā)生在整數(shù)算術(shù)、浮點(diǎn)算術(shù)或整數(shù)分?jǐn)?shù)算術(shù)中。

甲遞歸濾波器是一個其計(jì)算?我作為輸入樣本的當(dāng)前和過去的值的線性和，并輸出樣本本身的過去的值。因此，過濾器不僅對其輸入進(jìn)行操作，而且還參考其自身輸出的歷史記錄。一般來說，遞歸濾波器的脈沖響應(yīng)會永遠(yuǎn)持續(xù)下去，即使它變得非常小。以下等式給出了遞歸濾波器的一般形式。

Y i = a 0 X i + a 1 X i-1 + a 2 X i-2 + ... + a d X i-d + b 1 Y i-1 + b 2 Y i-2 + ... + b d y d這里d是過濾器的深度，它是我們必須保留多少X和Y樣本才能計(jì)算過濾器輸出。要實(shí)現(xiàn)深度為d的過濾器，我們必須存儲 2 d 個值。過濾器還要求我們手頭有 2 d + 1 個常數(shù)來計(jì)算線性和。

如果我們想使用遞歸濾波器來實(shí)現(xiàn)低通、高通或帶通頻率響應(yīng)，我們必須有某種方法從濾波器常數(shù)確定其頻率響應(yīng)。確定其頻率響應(yīng)的一種方法是在軟件中實(shí)現(xiàn)，應(yīng)用頻率增加的正弦曲線，并計(jì)算每個頻率的輸出幅度。但是有一個更簡單的方法。我們借助z 變換和復(fù)指數(shù)將濾波器表示為傳遞函數(shù)。該? -transform允許我們代表的延遲牛逼小號如? -1。我們不寫X i-1而寫Xz ?1. 上面的公式變?yōu)椋?/p>

Y = a 0 X + a 1 Xz ?1 + a 2 Xz ?2 + ... + a d Xz ?d + b 1 Yz ?1 + b 2 Yz ?2 + ... + b d Yz ?d= ( a 0 + a 1 z ?1 + a 2 z ?2 + ... + a d z ?d ) X + ( b 1 z ?1 + b 2 z ?2 + ... + b d z ? d )是

并且從上面我們可以得到z域中遞歸濾波器的傳遞函數(shù)。Y/X = ( a 0 + a 1 z ?1 + a 2 z ?2 + ... + a d z ?d ) / (1 ? b 1 z ?1 ? b 2 z ?2 ? ... ? b d z -d )我們現(xiàn)在注意到，因?yàn)閦 -1是T s的延遲，角頻率ω 的正弦曲線乘以z -1的效果與ω T s的相位延遲相同。乘以z的效果與ω T s的相位超前相同。如果我們代表X與復(fù)指數(shù)ê jωt，相乘的效果X由?相同乘以X由? jωT小號。我們讓z = e jωT s 在上面的傳遞函數(shù)中得到濾波器的正弦增益。

Y/X = ( a 0 + a 1 e ?jωT s + a 2 e ?2jωT s + ... + a d e ?djωT s ) / (1 ? b 1 e ?jωT s ? b 2 e ?2jωT s ? ... ? b d e ?djωT s )

例如，考慮以下遞歸過濾器：Y i = 0.125 X i + 0.875 Y i-1使用z變換，該濾波器的傳遞函數(shù)為：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 z -1 )它在角頻率 ω 處的正弦增益為：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 e ?jωT s )

當(dāng) ω = 0 時(shí)，e ?jωT s = 1 且濾波器增益為 1。當(dāng) ω = π/ T s 時(shí)，也就是說正弦波的頻率是采樣頻率的一半，e ?jωT s = -1濾波器增益為 0.067。當(dāng) ω = 2π/ T s 時(shí)，所以我們的正弦波與采樣頻率具有相同的頻率，e ?jωT s = 1 且增益為 1。通常，頻率 ω < π/ T s處的增益與采樣頻率相同增益在頻率 2π/ T s -ω。也就是說：正弦頻率f < f s /2 處的增益與頻率f處的增益相同s - f。因此，如果我們只考慮低于f s /2 的頻率，我們的遞歸濾波器將提供低通頻率響應(yīng)。這種對低于采樣頻率一半的頻率的限制適用于所有遞歸濾波器， f s /2 被稱為奈奎斯特頻率。

以下遞歸濾波器提供高通響應(yīng)。Y i = 0.984375 X i ? 0.984375 X i-1 + 0.96875 Y i-1如果我們將其傳遞函數(shù)乘以我們的低通濾波器的傳遞函數(shù)，我們將獲得具有以下遞歸濾波器表示的帶通濾波器傳遞函數(shù)。Y i = 0.123046875 X i ? 0.123046875 X i-1 + 1.84375 Y i-1 ? 0.84765625 Y i-1

低通濾波器中的常數(shù)是 1/8 的倍數(shù)。高通濾波器中的那些是 1/64 的倍數(shù)。帶通濾波器中的那些是 1/512 的倍數(shù)。如果我們想要實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)不超過 1/64 的帶通濾波器，我們應(yīng)該分兩級而不是一級來實(shí)現(xiàn)。在我們的過濾器工具的遞歸表中，您可以通過將它們的常量輸入到數(shù)組中來試驗(yàn)深度為 4 的遞歸過濾器。濾波器工具使用z = e jωT s替代來獲得遞歸濾波器在各種頻率下的增益，并繪制它們的頻率響應(yīng)，如下所示。

通過對常量進(jìn)行小的更改，您將看到遞歸過濾器對精確值的敏感程度。對于深度為 2 的過濾器，常數(shù)需要校正到優(yōu)于 1%，對于深度為 4 的過濾器，需要校正到 0.01%。

匹配網(wǎng)絡(luò)

甲匹配網(wǎng)絡(luò)是一個無源濾波器，其改變電源或負(fù)載的有效阻抗。我們可以使用變壓器作為匹配網(wǎng)絡(luò)。變壓器的初級線圈和次級線圈都纏繞在同一磁芯上。假設(shè)次級側(cè)的匝數(shù)是初級側(cè)的N倍。我們向初級線圈施加幅度為V的正弦電壓，并在次級線圈上觀察幅度為NV。我們將電阻R 連接到次級線圈，并觀察與次級電壓同相流入電阻器的電流NV/R。同時(shí)，流入初級線圈的電流與施加的電壓同相，幅值N 2V/R。流入初級線圈的功率為N 2 V/R × V = N 2 V 2 /R。從次級線圈流入電阻器的功率同樣為N 2 V 2 /R。初級線圈電壓源承受的負(fù)載為R/N 2，而不是R。

假設(shè)我們有一個射頻電源，例如RFPA3800晶體管，該電源的幅度為 5 V rms，阻抗為 10 Ω。我們想要驅(qū)動阻抗為 50 Ω 的天線。如果我們將兩者直接連接在一起，放大器可能會發(fā)生振蕩。但假設(shè)放大器保持穩(wěn)定。它產(chǎn)生 5 V rms，并通過其 10 Ω 輸出阻抗并進(jìn)入天線的 50 Ω 輸入阻抗。天線將獲得 350 mW 的射頻功率。相反，如果我們將 50 Ω 天線連接到N = √(50/10) = 2.24的變壓器的次級側(cè)，則天線將在放大器上顯示為 10 Ω 負(fù)載，并將接收 625 mW 的力量。初級線圈上的電壓為 2.5 V rms，次級線圈上的電壓為 5.6 V rms。

變壓器可以在很寬的頻率范圍內(nèi)匹配阻抗。所述ADT4-5WT從MiniCircuits操作形式0.3-500 MHz和具有阻抗匹配比4.0(匝數(shù)比2.0)。當(dāng)我們在電路板上有空間放置變壓器，并且我們想要電阻源和負(fù)載的寬帶匹配時(shí)，變壓器是一個不錯的選擇。

但并非所有負(fù)載和源都是純電阻性的，我們有時(shí)希望我們的匹配網(wǎng)絡(luò)僅在特定頻率下有效。事實(shí)上，有時(shí)我們希望我們的匹配網(wǎng)絡(luò)去除非常窄的頻率范圍之外的信號。有時(shí)，電容器和電感器可以執(zhí)行極好的匹配和鑒別。我們將通過查看選擇窄頻帶的無源電路來探索這些問題，然后轉(zhuǎn)向另一個具有相同功能但同時(shí)具有放大和阻抗匹配的無源網(wǎng)絡(luò)。下面的電路是來自我們的命令接收器 ( A3023CR )的電阻器調(diào)諧電路。甲罐電路是由電容器和電感器并聯(lián)連接。在某些頻率下，電感器阻抗的大小等于電容器的大小，但它們具有相反的相位。流出電感的電流流入電容器，反之亦然。槽上的電壓不斷增加，直到與施加到它的電壓相匹配，這樣就沒有更多的電流可以加入電容器和電感器之間的交換。我們稱之為條件共振. 電容和電感之間有大量電流流過，但從外面看，兩者并聯(lián)的阻抗似乎很大。事實(shí)上，對于完美的電感器和電容器，它們的并聯(lián)阻抗在諧振頻率處將是無窮大。

圖：晶體二極管無線電電路。我們看到一個由電阻器R8制成的諧振器調(diào)諧器，與諧振電路串聯(lián)。槽路電容為VC1與C14和C15并聯(lián)。電感是L2。

該電路顯示了天線的輸入。我們的目的是用幾圈不銹鋼線來獲得 146 MHz 的功率。電容器C20提供低頻阻斷。晶體二極管U10對射頻具有 10 kΩ 的有效電阻(有關(guān)二極管的更多信息，請參見此處)。在諧振處，與VC1、C14和C15并聯(lián)的L2的阻抗遠(yuǎn)超過 10 kΩ。電阻器R8和晶體二極管形成一個分壓器，我們在二極管上得到 90% 的天線電壓。二極管在C16上提供一個直流電壓，隨著射頻功率的增加而增加，如下圖所示. 在其他頻率下，諧振電路的阻抗要低得多，因此會降低二極管上的信號幅度。以下曲線顯示了當(dāng)我們將槽路電容設(shè)置為 1.0 μF 并將電感設(shè)置為 1.0 μH 時(shí)電路的響應(yīng)。我們期望在f = 1/(2 π √( LC )) = 8 MHz處發(fā)生共振，這就是我們得到的結(jié)果。

圖： Tank Tuner 的響應(yīng)。底部軌跡是我們應(yīng)用于函數(shù)發(fā)生器的 TUNE 頻率。屏幕中央的頻率為 8 MHz。模糊軌跡是儲能電路上的電壓。峰值線是檢測器二極管輸出端的電壓。

坦克調(diào)諧器提供了良好的頻率選擇。但其增益在所需頻率下僅為 0.9。我們注意到檢測器二極管的阻抗為 10 kΩ，而我們天線的電阻要小得多，這意味著天線中可用的功率多于傳輸?shù)蕉O管的功率。我們估計(jì)小型鋼制環(huán)形天線的源阻抗為 100 Ω 與 300 nH 串聯(lián)。因?yàn)樵醋杩贡蓉?fù)載阻抗低一百倍，所以我們希望在將天線信號呈現(xiàn)給我們的檢波二極管之前用匹配網(wǎng)絡(luò)放大它。

我們下面展示的電路應(yīng)該代表一個小環(huán)形天線、一個匹配網(wǎng)絡(luò)和一個檢測器二極管。電阻器R2是天線導(dǎo)線的電阻，由于趨膚效應(yīng)，它在射頻下很重要。電感L1是天線的自感。匹配的網(wǎng)絡(luò)組件是C1、R3、L2和C2。檢波二極管由R1表示，它是其在零偏置時(shí)的有效電阻。

圖：天線匹配電路。

通過為該電路選擇不同的值，我們不僅可以對天線和檢測器二極管布置進(jìn)行建模，還可以對許多其他匹配網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模。我們過濾器工具中的匹配表繪制了網(wǎng)絡(luò)對于任意值組合的頻率響應(yīng)。當(dāng)R2 = 10 Ω 且R1 = 50 Ω 時(shí)，我們可以試驗(yàn)其他組件的各種值，看看我們是否可以將源與負(fù)載阻抗相匹配。當(dāng)我們想忽略一個組件時(shí)，我們會為它選擇一個大的或小的值，使其對活動的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。因此，我們可以將L1設(shè)置為 0 nH 以將其排除，或?qū)1 設(shè)置為 10000 pF。

然而，現(xiàn)在讓我們回到將環(huán)形天線信號與檢波二極管相匹配的問題。讓我們設(shè)置R3 = 0 Ω、C1 = 1 pF、C2 = 10 pF 和L2 = 100 nH。這種安排是一個spit-capacitor匹配網(wǎng)絡(luò)。與電阻槽網(wǎng)絡(luò)相比，它提供了顯著提高的性能。我們在A3024A微型、微功率、無線電接收器中使用分離式電容器匹配網(wǎng)絡(luò)。

在分裂電容器網(wǎng)絡(luò)中，槽路以我們的工作頻率諧振。油箱上的電壓V T幾乎與施加到C1上的電壓同相通過天線。電容器兩端的電壓幅度幾乎等于天線和槽路幅度之和。假設(shè)天線幅度為 100 mV，槽路幅度為 900 mV，小電容器的電抗為 1 kΩ。我們有 1.0 mA 電流流入電容器，如果我們將 10 倍大的電容器直接連接到天線產(chǎn)生的 100 mV，我們會看到相同的電流。因此，天線的有效電抗僅為 0.1 kΩ，而槽路電路的有效電抗為 0.9 kΩ。這個簡單的考慮向我們展示了如何使用不起眼的電容器在特定頻率下匹配兩個不同的源阻抗和負(fù)載阻抗。

通過為電感插入j ω L和 1/ j ω C，我們可以計(jì)算上述電路的復(fù)數(shù)增益，其中 ω = 2π f是角頻率，j是 √(?1)。我們得出以下解決方案。

圖：天線匹配電路分析。

我們看到電路有四個諧振頻率，對應(yīng)于兩個電感器和兩個電容器的所有組合。當(dāng)我們接近L2和C2的諧振時(shí)，增益增加。我們使用過濾工具匹配表中的上述公式計(jì)算增益，并在下面繪制各種組件值。

圖：天線匹配增益，適用于各種配置，0-1000 MHz。我們繪制增益的絕對值。我們用來獲得下表中給出的圖的組件值。繪圖 D 和 E 在 150 MHz 附近相互重疊。

下表給出了我們用來獲取每個圖的組件值。圖E的值對應(yīng)于我們原來的電阻槽電路。

表：上下圖中使用的組件值。天線匹配電路圖中給出的組件名稱。

圖D顯示了如果我們將自感為 300 nH、電阻為 100 Ω 的天線與具有 4 pF 電容器的 10 kΩ 負(fù)載相匹配會發(fā)生什么。我們在 146 MHz 處獲得了一個不錯的增益峰值。我們的匹配網(wǎng)絡(luò)僅包含一個組件：一個 4pF 電容器。通常，我們可以用單個電感器和電容器匹配任意兩個源阻抗和負(fù)載阻抗。在這種情況下，我們使用天線自感作為匹配網(wǎng)絡(luò)中的電感。但是當(dāng)我們彎曲或處理它時(shí)，天線自感會發(fā)生 10% 左右的變化。曲線A顯示了當(dāng)天線電感改為 150 nH 且其電阻改為 50 Ω 時(shí)相同 4 pF 電容器匹配網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)。增益峰值移動到 200 MHz，我們的匹配在 146 MHz 不再有效。

圖B和C顯示了由分離電容器網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的增益。在這兩種情況下，匹配電路組件是相同的，但我們將天線電感和電阻改變了兩倍。增益峰值僅相差幾兆赫茲。天線的變化對匹配網(wǎng)絡(luò)的初級諧振影響很小。這種對天線特性的不敏感性使分離式電容器網(wǎng)絡(luò)在實(shí)踐中變得健壯和有效。在天線電感和匹配電容器之間也存在次級諧振。當(dāng)我們改變天線電感時(shí)，這種共振就會移動。但這不是我們提供匹配增益所依賴的共振。

這是我們在 116-198 MHz 范圍內(nèi)掃描天線頻率時(shí)實(shí)際分離電容器匹配電路的響應(yīng)。我們有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。具有兩個峰值的軌跡是我們檢測器二極管的輸出，因此與匹配網(wǎng)絡(luò)的增益不成正比，但仍隨增益而增加。第一個峰值對應(yīng)于 146 MHz 時(shí)的增益 4.5，第二個峰值對應(yīng)于 170 MHz 時(shí)的增益 2.5。我們看到我們的天線信號通過純無源元件的作用被放大到我們的檢測器二極管。

圖：分裂電容器匹配網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)。我們有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。天線電感和電阻由實(shí)際天線提供。底部走線是檢測器二極管的輸出。頂部軌跡是 VCO 調(diào)諧電壓，在 1 ms 內(nèi)從 0-4 V 掃描。頻率在 116-198 MHz 之間變化，在 1.25 V 時(shí)為 146 MHz。

當(dāng)我們將這些組件值連同我們對天線電阻和電感的估計(jì)值插入我們的濾波器工具時(shí)，我們的計(jì)算表明第一個峰值應(yīng)該在 160 MHz 處，增益為 4.6，第二個峰值應(yīng)該在 310 MHz 處，增益為 0.9。因此，我們的計(jì)算捕捉了匹配網(wǎng)絡(luò)行為的精神，但實(shí)際上印刷電路板的布局、單個組件的缺陷以及天線的不確定性要求我們在構(gòu)建過程中選擇調(diào)諧電容。匹配網(wǎng)絡(luò)通常就是這種情況。如果我們想要通過無源網(wǎng)絡(luò)獲得如此壯觀的性能，我們將不得不在構(gòu)建時(shí)調(diào)整電路。

我們也可以在放大器的輸出端使用匹配網(wǎng)絡(luò)，以便將它們的輸出阻抗與我們的負(fù)載阻抗匹配。在我們的命令發(fā)射器 ( A3029A ) 手冊中，您會發(fā)現(xiàn)我們對放大器輸入和輸出反射系數(shù)的測量記錄，以及正確匹配阻抗的后續(xù)計(jì)算，以提供有效的 50 Ω 功率傳輸負(fù)載。

脈沖整形器

當(dāng)光電倍增管檢測到亞原子粒子產(chǎn)生的閃光時(shí)，它會產(chǎn)生一個十或二十納秒長的電壓脈沖。該電壓脈沖的面積與閃光的強(qiáng)度成正比。為了利用光電倍增管的輸出，我們必須測量脈沖的面積。最簡單的方法是以 1 GSPS 對脈沖進(jìn)行數(shù)字化，從而獲得 20 ns 脈沖的 20 個樣本并在計(jì)算機(jī)中計(jì)算其面積。但是以 1 GSPS 采樣是很難做到的，而且如果閃光很少，那就太浪費(fèi)了。另一種方法是用晶體管和電容器對脈沖進(jìn)行積分，當(dāng)脈沖完成時(shí)將積分器的最終值數(shù)字化，然后重置積分以準(zhǔn)備下一個脈沖。另一種方法，結(jié)果證明是簡單性和采樣率之間的良好折衷，是將脈沖整形為相同面積的較長脈沖，以慢得多的速度數(shù)字化，然后在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行計(jì)算。為此，我們需要一個脈沖整形器。

考慮沿 50Ω 傳輸線傳播的脈沖。它通過脈沖整形器電路并沿另一條 50 Ω 傳輸線繼續(xù)傳輸。脈沖整形器與兩條傳輸線一起工作以延長原始脈沖。在下面的電路中，我們用R代表兩條傳輸線的阻抗，因?yàn)槊織l線都像一個電阻器(參見傳輸線分析)。拉普拉斯變換是獲得整形電路脈沖響應(yīng)的最快方法，但我們使用微分方程和疊加原理推導(dǎo)出響應(yīng)。我們首先獲得整形器的階躍響應(yīng)。稍后，我們使用階躍響應(yīng)來獲得脈沖響應(yīng)。

我們有成形器在時(shí)間為零時(shí)對高度為X的步長的響應(yīng)。但是現(xiàn)在我們注意到，這一步對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是區(qū)域X在時(shí)間零處的脈沖。整形器是一個線性系統(tǒng)，所以它對階躍導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)將是它對階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。

請注意，當(dāng)我們對階躍響應(yīng)進(jìn)行微分以獲得脈沖響應(yīng)時(shí)，沒有X的導(dǎo)數(shù)的單位為 1/s。但是輸入X是以 Vs 為單位的脈沖。當(dāng)我們將導(dǎo)數(shù)乘以X 時(shí)，我們得到一個以 V 為單位的量。現(xiàn)在讓我們對整形電路的響應(yīng)進(jìn)行積分，看看它是否保留了脈沖面積。

在沒有整形器的情況下，由于兩個電阻器R 構(gòu)成的電阻分壓器的作用，該區(qū)域也將是X /2 。整形器延長脈沖，但保留其面積。我們過濾器工具中的 Shaper 表允許您輸入L、C和R 的值，以便獲得面積為 1 V-ns 的脈沖的整形器的理論輸出。我們?yōu)檫x擇的值獲得以下圖。

圖：計(jì)算出的各種組件值的整形器輸出。在實(shí)際行告訴我們傳遞函數(shù)的根是否真實(shí)的或想象。

我們使用一個金屬盒、兩個 BNC 插座、一個線圈和一個 1nF 陶瓷電容器構(gòu)建了以下整形器。

在將線圈安裝到整形器中之前，我們使用電阻器和函數(shù)發(fā)生器測量線圈的電感。其電感約為 3 μH。電容為 1 nF。我們將 50 Ω 同軸電纜從輸出連接到設(shè)置為 20 mV/div 和 20 ns/div 的 50 Ω 端接示波器輸入。我們生成一個 20 ns 的脈沖并以相同的電壓和時(shí)間尺度觀察它。我們將脈沖傳送到 ×5 放大器，然后傳送到整形器，全部使用 50 Ω 同軸電纜。下圖顯示了放大器輸入端的脈沖和整形器輸出端的脈沖。

計(jì)算出的圖C對應(yīng)于我們的組件值 3 μH 和 1 nF，對于 1 V-ns 輸入，它在 8 mV 處達(dá)到峰值。我們在示波器上看到的輸入脈沖不是X，而是X /2。計(jì)算輸入脈沖軌跡下的方塊，我們估計(jì)它的面積是 1 V-ns，所以X的面積是 2 V-ns。我們預(yù)計(jì)y的峰值為16 mV。示波器上的輸出脈沖為5 y，其峰值為80 mV，因此y為16 mV，與我們的計(jì)算非常吻合。我們制作了另一個帶有 8μH 電感器和 2nF 電容器的整形器。

表面聲波濾波器

甲SAW(表面聲波)濾波器是壓電晶體的制造出來的小，無源器件。大多數(shù) SAW 濾波器是帶通濾波器。八通道數(shù)據(jù)接收器A3027的解調(diào)放大器使用 915 MHz SAW 帶通濾波器來抑制 930 MHz 至 970 MHz 頻率范圍之外的 RF 功率。我們在這里描述了我們第一次使用 SAW 濾波器。

取一塊薄的矩形壓電晶體。它的頂面是平的。晶體隨著施加的電場而膨脹和收縮。如果我們敲擊水晶，它會像水晶酒杯一樣短時(shí)間顫抖，但頻率太高，我們聽不見。隨著晶體顫抖，它會在其表面產(chǎn)生一個與顫抖頻率和幅度相匹配的電壓。如果我們在頂面和底面放置電極，當(dāng)我們施加正確頻率的正弦電壓時(shí)，晶體就會共振。晶體振蕩器使用這種共振來產(chǎn)生與晶體尺寸和平坦度一樣精確的頻率。

SAW 濾波器不使用晶體的體諧振。它使用表面聲波。SAW 濾波器在晶體表面的一端有兩個互鎖的電極梳，而不是在晶體的相對面上的電極，另外兩個這樣的梳位于相反的一端，但在同一晶體表面上。我們將輸入連接到這些梳子上，如下所示。

圖：梳狀電極和表面波傳播。我們展示了一個俯視圖，顯示了互鎖的梳子，以及一個側(cè)視圖，顯示了沿晶體傳播的表面波。我們將晶體的末端逐漸變細(xì)，以表明需要采取一些步驟來防止表面波從晶體的末端反射。

梳子沿著晶體表面建立電場，而不是在晶體內(nèi)部。電場使晶體表面膨脹和收縮。如果我們在正確頻率的輸入電極上施加一個正弦電壓，我們將產(chǎn)生一個表面波，它在晶體上傳播，在那里它在輸出電極上產(chǎn)生一個電壓，輸出電極也是互鎖梳。您可以看到，只有在每個梳齒之間具有整數(shù)波長的頻率才會在它們穿過梳齒傳播時(shí)得到增強(qiáng)。結(jié)果是一個濾波器：只有與兩端梳子匹配的頻率才會從電信號轉(zhuǎn)換為表面波信號，然后再轉(zhuǎn)換回電信號。

波沿晶體表面?zhèn)鞑サ乃俣扔删w的楊氏模量決定，壓電晶體的速度約為 4000 m/s。以這種速度傳播的 950 MHz 波的波長僅為 4.2 μm。在如此高的頻率下，SAW 濾波器傾向于使用其梳狀基波諧振頻率的諧波。為此，他們從為所需帶通頻率的整數(shù)部分設(shè)計(jì)的梳子開始，然后在梳齒中插入切口，使梳子在基頻上效率低下，但在所需帶通頻率上卻有效。

讓我們將DSF947.5 SAW 濾波器的頻率響應(yīng)與多項(xiàng)式濾波器的頻率響應(yīng)進(jìn)行比較。

如果我們假設(shè) SAW 濾波器是通帶低端的高通濾波器和高端的低通濾波器的組合，那么我們可以將其在高端的響應(yīng)與多項(xiàng)式低通濾波器。我們看到，在截止頻率的 10 MHz 內(nèi)，SAW 濾波器的虛擬低通濾波器響應(yīng)下降了 30 dB。假設(shè)我們要嘗試構(gòu)建一個具有相同響應(yīng)的多項(xiàng)式低通濾波器。十極點(diǎn) 3dB 紋波切比雪夫?yàn)V波器響應(yīng)在頻率變化 10% 后下降 30dB。換句話說，其通帶兩端的 SAW 濾波器截止頻率是十極點(diǎn) 3-dB 紋波切比雪夫?yàn)V波器的十倍。表面聲波濾波器每個成本約為 3 美元，采用 3 平方毫米封裝。

傳輸線

傳輸線是用于將電信號從一個地方傳輸?shù)搅硪粋€地方的電纜。我們通常不認(rèn)為傳輸線是濾波器，但它們確實(shí)提供了一些類似濾波器的功能，而且它們的行為很有趣。我們有一個專門介紹傳輸線的單獨(dú)網(wǎng)頁，傳輸線分析。有限長度的不完美端接的傳輸線，稱為傳輸線短截線，可用于創(chuàng)建阻抗以將源與負(fù)載匹配，代替我們在傳輸中討論的電容器、電感器和電阻器網(wǎng)絡(luò)我們傳輸線路頁面的線路存根部分。

元件精度

我們用 100μH 電感器和 100pF 電容器組裝以下電路。

我們?yōu)殡娮杵鱎嘗試不同的值。下面的示波器屏幕截圖顯示了電路對 50 kHz 至 5 MHz 頻率對數(shù)掃描的響應(yīng)。

圖：不同R值的頻率響應(yīng)。每個的左邊緣是 50 kHz，=center 是 500 kHz，右邊緣是 5 MHz。垂直刻度為 1 V/div。輸入是幅度為 4 Vpp 的正弦曲線。對于 2.2 kΩ，請參見此處。

我們的濾波器對 820 Ω 的響應(yīng)看起來像最大平坦的巴特沃斯響應(yīng)。假設(shè)這是我們的理想情況，我們希望在數(shù)百個電路上重現(xiàn)濾波器，而無需調(diào)整每個電路的組件。電阻的 ± 10% 變化不會對響應(yīng)產(chǎn)生顯著差異。我們可以使用標(biāo)準(zhǔn)的 5% 電阻器。該電路對L和C的值更不敏感。該電路中L或C變化 20%與R變化 10% 具有相同的效果. 我們可以使用標(biāo)準(zhǔn)精度為 20% 的電容器和電感器。然而，當(dāng)我們增加濾波器中的極點(diǎn)數(shù)時(shí)，我們對組件的要求精度就會提高。當(dāng)我們將四極無源低通濾波器中的單個電容器更改 20% 時(shí)，其通帶中某處的增益將更改 3 dB。如果我們希望四極無源濾波器的精度優(yōu)于 ±1 dB，我們需要使用 5% 的電容器和電感器。八極無源濾波器濾波器要求電容器和電感器的精度為 2%，電阻器的精度為 1%。準(zhǔn)確度為 2% 的電容器的成本是準(zhǔn)確度為 20% 的電容器的十倍。

有源濾波器對電容器的要求更為嚴(yán)格：極點(diǎn)的位置隨電容值而不是電容的平方根而變化。然而，高階有源巴特沃斯濾波器仍然實(shí)用：有源巴特沃斯濾波器的RC值對于每一級都是相同的。我們可以使用電阻器和電容器陣列來實(shí)現(xiàn)RC值，我們將確保RC的值將在彼此的 1% 以內(nèi)。即使電容陣列電阻的絕對精度只有5%，我們發(fā)現(xiàn)陣列內(nèi)的變化也小于絕對精度的十分之一。我們發(fā)現(xiàn)在一卷表面貼裝電阻器或電容器中存在相同的相對精度效應(yīng)，因此 5% 電阻器的卷軸的相對精度將降低 0.5%，而 20% 電容器的卷軸的相對精度將為 2%。(在我們提出此聲明之前，我們測量了幾個卷軸中每個卷軸的 20 個電阻器和電容器。)同一卷軸內(nèi)表面貼裝部件的相對精度使有源濾波器電路比其他情況更實(shí)用。

如果我們的有源濾波器的截止頻率因組件變化而移動 ±5%，這幾乎無關(guān)緊要。更重要的是濾波器極點(diǎn)的相對位置保持準(zhǔn)確，以便極點(diǎn)協(xié)同工作以提供正確的濾波器形狀。元件值的 5% 變化可以重新排列巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)，從而在通帶中引入 5 dB 紋波。但是，我們可以通過使用一組電阻器和電容器來確定每個級中 R 和 C 的公共值，并在分壓器中使用 1% 的電阻器來確定每個級的增益，從而構(gòu)建具有平坦響應(yīng)的巴特沃斯濾波器。

Chebyshev 濾波器的情況并非如此，其中每個階段都有不同的RC值。但是我們還是可以用一排電容，讓所有的電容都在1%以內(nèi)，然后再用1%的電阻，這些都是免費(fèi)的，價(jià)格也不貴。下圖顯示了一個三極點(diǎn) 3-dB 紋波切比雪夫低通濾波器的響應(yīng)如何從一個組裝電路變化到另一個

圖：組裝濾波器的測量響應(yīng)。它們由 5% 的相同值的電容器制成，取自相同的卷軸，以及 1% 的不同值的電阻器。

整個濾波器由三極 160 Hz 低通響應(yīng)加上單極 1.7 Hz 高通響應(yīng)組成。在低通濾波器中，我們對所有電路使用取自同一卷軸的只有一個值 1 nF 的 5% 準(zhǔn)確電容器。低通濾波器電阻器的精度為 1%。每個阻值電阻都來自同一個卷軸，但濾波器中有多個阻值。從 10 Hz 到 200 Hz 的響應(yīng)變化為 ±0.7 dB。每個濾波器的截止頻率在設(shè)計(jì)值的幾赫茲以內(nèi)。高通濾波器由一個 5% 的電阻器和一個 10% 的電容器組成。它從 1 Hz 到 3 Hz 的響應(yīng)變化為 ±1.5 dB。通過使用取自同一卷軸的電容器，并依靠精密電阻器，我們能夠生產(chǎn)出一個濾波器，其增益已知在其通帶內(nèi) 0.7 dB 以內(nèi)，并在 3% 以內(nèi)的頻率上產(chǎn)生顯著的截止頻率。

審核編輯：湯梓紅