詳細(xì)講解傅里葉變換

文章來(lái)源：力學(xué)科普

原文作者：Lee

提到傅里葉變換，你是不是又想起了大學(xué)課程里被它支配的恐懼。其實(shí)，傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。如果用方程寫(xiě)一部科學(xué)史，傅里葉變換必然擁有位置，它的應(yīng)用之廣，可以處理圖片，也可以解讀星空，可以幫忙建造不易倒塌的房子，也可以深度參與金融數(shù)據(jù)分析。無(wú)論是混雜的信號(hào)，還是復(fù)雜的卷積，都可以被它的魔法馴服，變得清晰明了、簡(jiǎn)潔高效。那么，傅里葉變換是如何做到對(duì)萬(wàn)物進(jìn)行拆解的呢？

傅里葉變換最精彩之處就是能夠?qū)⑿盘?hào)在時(shí)域與頻域之間進(jìn)行變換，因此我們先解釋一下什么是時(shí)域和頻域。所謂時(shí)域是描述數(shù)學(xué)函數(shù)或物理信號(hào)對(duì)時(shí)間的關(guān)系，從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而頻域則描述了信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)及頻率與該頻率信號(hào)幅度的關(guān)系，從這個(gè)視角來(lái)觀察世界你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的。這就好比在時(shí)域視角下我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域視角則是永恒的音符。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，傅里葉級(jí)數(shù)貫穿了時(shí)域與頻域，將任何形式的周期性信號(hào)無(wú)限拆解，分為多個(gè)有規(guī)律的簡(jiǎn)單正弦波信號(hào)。而對(duì)于任何非周期性信號(hào)則可以看做是超大號(hào)的周期信號(hào)，作為傅里葉級(jí)數(shù)的延展，傅里葉變換可以將任何復(fù)雜的的非周期性信號(hào)規(guī)律性拆解。這就好比當(dāng)我們?nèi)ベI菜的時(shí)候，各種蔬菜都不一樣，但都能轉(zhuǎn)換成“n個(gè)1斤砝碼+m個(gè)1兩砝碼”的組合。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

“傅里葉變換”最初被運(yùn)用于熱力學(xué)分析中，隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，它們也以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、概率論、海洋學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，下面舉一些傅里葉變換應(yīng)用的實(shí)例。

岡薩雷斯在《數(shù)字圖像處理》一書(shū)中，將傅里葉變換比作一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡可以將光分解為不同顏色，顏色由波長(zhǎng)（或頻率）來(lái)決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。我們?nèi)粘Ｓ妹李佅鄼C(jī)進(jìn)行磨皮、美化操作的基本原理便是通過(guò)傅里葉變換，經(jīng)過(guò)一定的處理，減少或增添某些頻率的幅度，達(dá)到讓圖像變得更模糊或更鮮亮的目的。

其實(shí)人類大腦本身就具有“傅里葉變換”的功能。例如，我們可以從一段嘈雜的公園環(huán)境音里分辨出男聲、女聲、老人、兒童、狗叫聲、腳步聲、水流聲和噪聲，下面這張圖形象地展示了這一過(guò)程，左邊的是你聽(tīng)到的聲音，而右邊的圖則是你的大腦經(jīng)過(guò)傅里葉變換，分析出了十幾種不同的發(fā)聲物體。市面上的變聲軟件，大叔嗓秒變蘿莉音的基本原理也是這樣，把一段音頻，分離出男聲和女聲，將男聲改為女聲的頻率，然后還原回去，實(shí)現(xiàn)男聲變女聲。

再比如，MP3文件格式正是基于這個(gè)原理運(yùn)行的——為了節(jié)省空間，它把幾乎察覺(jué)不到的頻率部分舍棄掉了。只保留確定重要的頻率成分，丟棄那些不重要的部分，以(相當(dāng)準(zhǔn)確地)表現(xiàn)原始的音軌。盡管得出的波形與原始波形不一樣，但是聽(tīng)起來(lái)將會(huì)和原始聲音很接近。

審核編輯：湯梓紅