淺談圖像處理-harris角點(diǎn)檢測(cè)算法

通常意義上來(lái)說(shuō)，角點(diǎn)就是極值點(diǎn)，即在某方面屬性特別突出的點(diǎn)，是在某些屬性上強(qiáng)度最大或者最小的孤立點(diǎn)、線段的終點(diǎn)。對(duì)于圖像而言，其是物體輪廓線的連接點(diǎn)。

1 harris角點(diǎn)檢測(cè)算法思想

算法的核心是利用局部窗口在圖像上進(jìn)行移動(dòng)，判斷灰度是否發(fā)生較大的變化。如果窗口內(nèi)的灰度值（在梯度圖上）都有較大的變化，那么這個(gè)窗口所在區(qū)域就存在角點(diǎn)。

這樣就可以將 Harris 角點(diǎn)檢測(cè)算法分為以下三步：

1,當(dāng)窗口（局部區(qū)域）同時(shí)向 x （水平）和 y（垂直） 兩個(gè)方向移動(dòng)時(shí)，計(jì)算窗口內(nèi)部的像素值變化量 E(x,y);

2,對(duì)于每個(gè)窗口，都計(jì)算其對(duì)應(yīng)的一個(gè)角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù) R;

3,然后對(duì)該函數(shù)進(jìn)行閾值處理，如果 R>threshold，表示該窗口對(duì)應(yīng)一個(gè)角點(diǎn)特征。

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建立數(shù)學(xué)模型

第一步是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，確定哪些窗口會(huì)引起較大的灰度值變化。讓一個(gè)窗口的中心位于灰度圖像的一個(gè)位置(x,y)，這個(gè)位置的像素灰度值為I(x,y)，如果這個(gè)窗口分別向 x和 y 方向移動(dòng)一個(gè)小的位移u和v，到一個(gè)新的位置 (x+u,y+v)，這個(gè)位置的像素灰度值就是I(x+u,y+v)。|I(x+u,y+v)?I(x,y)|就是窗口移動(dòng)引起的灰度值的變化值。

設(shè)w(x,y)為位置(x,y)處的窗口函數(shù)，表示窗口內(nèi)各像素的權(quán)重，最簡(jiǎn)單的就是把窗口內(nèi)所有像素的權(quán)重都設(shè)為1，即一個(gè)均值濾波核。當(dāng)然，也可以把 w(x,y)設(shè)定為以窗口中心為原點(diǎn)的高斯分布，即一個(gè)高斯核。

如果窗口中心點(diǎn)像素是角點(diǎn)，那么窗口移動(dòng)前后，中心點(diǎn)的灰度值變化非常強(qiáng)烈，所以該點(diǎn)權(quán)重系數(shù)應(yīng)該設(shè)大一點(diǎn)，表示該點(diǎn)對(duì)灰度變化的貢獻(xiàn)較大；而離窗口中心（角點(diǎn)）較遠(yuǎn)的點(diǎn)，這些點(diǎn)的灰度變化比較小，于是將權(quán)重系數(shù)設(shè)小一點(diǎn)，表示該點(diǎn)對(duì)灰度變化的貢獻(xiàn)較小。

則窗口在各個(gè)方向上移動(dòng)(u,v)所造成的像素灰度值的變化量公式如下：

若窗口內(nèi)是一個(gè)角點(diǎn)，則E(u,v)的計(jì)算結(jié)果將會(huì)很大。為了提高計(jì)算效率，對(duì)上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)化，利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)得到這個(gè)公式的近似形式。

對(duì)于二維的泰勒展開(kāi)式公式為：

T(x,y)=f(u,v)+(x?u)fx(u,v)+(y?v)fy(u,v)+....

則I(x+u,y+v) 為：

I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy

其中Ix和Iy是I的微分（偏導(dǎo)），在圖像中就是求x 和 y 方向的梯度圖：

Ix=?I(x,y)/?x

Iy=?I(x,y)/?y

將I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy代入E(u，v)可得：

提出 u 和 v ，得到最終的近似形式：

其中矩陣M為：

最后是把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化處理后的結(jié)果，可以把R看成旋轉(zhuǎn)因子，其不影響兩個(gè)正交方向的變化分量。經(jīng)對(duì)角化處理后，將兩個(gè)正交方向的變化分量提取出來(lái)，就是 λ1 和 λ2（特征值）。

這里利用了線性代數(shù)中的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的相關(guān)知識(shí)，有興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步查閱相關(guān)資料。

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角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)R

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到E(u,v)的最終形式，別忘了我們的目的是要找到會(huì)引起較大的灰度值變化的那些窗口。

灰度值變化的大小則取決于矩陣M，M為梯度的協(xié)方差矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中為了能夠應(yīng)用更好的編程，所以定義了角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)R，通過(guò)判定R大小來(lái)判斷像素是否為角點(diǎn)。

計(jì)算每個(gè)窗口對(duì)應(yīng)的得分（角點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)R定義）：

其中 det(M)=λ1λ2是矩陣的行列式，trace(M)=λ1+λ2是矩陣的跡。λ1和 λ2是矩陣M的特征值，k是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，在范圍 (0.04, 0.06) 之間。R的值取決于M的特征值，對(duì)于角點(diǎn)∣R∣很大，平坦的區(qū)域∣R∣很小，邊緣的R為負(fù)值。

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角點(diǎn)判定

根據(jù) R 的值，將這個(gè)窗口所在的區(qū)域劃分為平面、邊緣或角點(diǎn)。為了得到最優(yōu)的角點(diǎn)，我們還可以使用非極大值抑制。

注意：Harris 檢測(cè)器具有旋轉(zhuǎn)不變性，但不具有尺度不變性，也就是說(shuō)尺度變化可能會(huì)導(dǎo)致角點(diǎn)變?yōu)檫吘?。想要尺度不變特性的話，可以關(guān)注SIFT特征。

因?yàn)樘卣髦?λ1 和 λ2 決定了 R 的值，所以我們可以用特征值來(lái)決定一個(gè)窗口是平面、邊緣還是角點(diǎn)：

平面:該窗口在平坦區(qū)域上滑動(dòng)，窗口內(nèi)的灰度值基本不會(huì)發(fā)生變化，所以∣R∣ 值非常小，在水平和豎直方向的變化量均較小，即 Ix和 Iy都較小，那么 λ1 和 λ2 都較小；

邊緣：∣R∣值為負(fù)數(shù)，僅在水平或豎直方向有較大的變化量，即 Ix和Iy只有一個(gè)較大，也就是 λ1>>λ2 或 λ2>>λ1；

角點(diǎn)：[公式] 值很大，在水平、豎直兩個(gè)方向上變化均較大的點(diǎn)，即 Ix和 Iy都較大，也就是 λ1 和 λ2 都很大。

如下圖所示：

Harris 角點(diǎn)檢測(cè)的結(jié)果是帶有這些分?jǐn)?shù) R 的灰度圖像，設(shè)定一個(gè)閾值，分?jǐn)?shù)大于這個(gè)閾值的像素就對(duì)應(yīng)角點(diǎn)。

編輯：黃飛