S曲線的基本變換計算

摘要： 本節(jié)介紹S曲線的基本變換，將基本形式的S曲線變換成為任意過兩點的S曲線，為后續(xù)步進電機S曲線運動提供理論支撐

一.計算目標(biāo)

①計算經(jīng)過任意不同兩點的S曲線方程

②可調(diào)節(jié)曲線平滑度

③可調(diào)節(jié)曲線對稱度

④繪制其圖像

二.計算過程

2.1 S曲線基本形式

2.2 S曲線變換

第一步： 進行X軸比例變換，比例系數(shù)為N(N≠0)

變換后S曲線方程為：

第二步： 進行X軸平移變換，平移系數(shù)為A

變換后S曲線方程為：

第三步： 進行Y軸比例變換，比例系數(shù)為K(K≠0)

變換后S曲線方程為：

第四步： 進行Y軸平移變換，平移系數(shù)為B

變換后S曲線方程為：

最終得到S曲線變換之后函數(shù)關(guān)系式：

其中：

N-X軸方向比例變換系數(shù)

K-Y軸方向比例變換系數(shù)

A-X軸方向平移系數(shù)

B-Y軸方向平移系數(shù)

2.3 參數(shù)計算

要求變換之后的S曲線經(jīng)過P1(X1,Y1）,P2(X2,Y2)兩點，可建立方程

方程有N,K,A,B四個未知數(shù)，需要給定2個參數(shù)由用戶設(shè)定,此處選擇N,A，則可求得K,B值為：

其中N值作為X軸方向比例變換系數(shù)，N>1時，S曲線X方向放大，N<1時，S曲線X方向縮小，可以將N值等效為S曲線的平滑度調(diào)節(jié)參數(shù)

其中A值X軸方向平移系數(shù)，A>0時，S曲線向X正方向平移，A<0時，S曲線向X負(fù)方向平移，可以將A值等效為S曲線的對稱度調(diào)節(jié)參數(shù)

2.4中心對稱條件

當(dāng)隨意給定N,A值時,S曲線容易出現(xiàn)失真，如下圖所示

為確保經(jīng)過P1,P2兩點的S曲線也為中心對稱，則要求S曲線經(jīng)過P1P2連線的中點P0(X0,Y0),如圖所示

則可建立三個等式

N由用戶設(shè)定，可求得A值

三.總結(jié)

通過上述計算，完成了目標(biāo)中的4點要求。在不同的應(yīng)用場景中，可以根據(jù)實際情況去對該S曲線進行靈活處理。S曲線代表的v-t圖像中對其進行求導(dǎo)可以求得a-t關(guān)系。