機(jī)器學(xué)習(xí)中統(tǒng)計(jì)概率分布大全

1. 隨機(jī)變量

離散隨機(jī)變量

隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是隨機(jī)變量。一個(gè)隨機(jī)變量集合用 表示。

如果實(shí)驗(yàn)可能的結(jié)果是可數(shù)的，那么它被稱(chēng)為離散隨機(jī)變量。例如，如果你拋硬幣 10 次，你能得到的正面數(shù)可以用一個(gè)數(shù)字表示?；蛘呋@子里有多少蘋(píng)果仍然是可數(shù)的。

連續(xù)隨機(jī)變量

這些是不能以離散方式表示的值。例如，一個(gè)人可能有 1.7 米高，1米 80 厘米，1.6666666...米高等等。

2. 密度函數(shù)

我們使用密度函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)變量 的概率分布。

PMF：概率質(zhì)量函數(shù)

返回離散隨機(jī)變量 等于 的值的概率。所有值的總和等于 1。PMF 只能用于離散變量。

PMF。來(lái)源：https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_mass_function

PDF：概率密度函數(shù)

它類(lèi)似于連續(xù)變量的 PMF 版本。返回連續(xù)隨機(jī)變量 X 在某個(gè)范圍內(nèi)的概率。

PDF。來(lái)源：https://byjus.com/maths/probability-density-function/

CDF：累積分布函數(shù)

返回隨機(jī)變量 X 取小于或等于 x 的值的概率。

CDF（指數(shù)分布的累積分布函數(shù)）。來(lái)源：https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulative_distribution_function

3. 離散分布

伯努利分布

我們只有一個(gè)試驗(yàn)（只有一個(gè)觀察結(jié)果）和兩個(gè)可能的結(jié)果。例如，拋硬幣。

我們有一個(gè)真的(1)的結(jié)果和一個(gè)假的(0)的結(jié)果。假設(shè)我們接受正面為真（我們可以選擇正面為真或成功）。那么，如果正面朝上的概率是 ，相反情況的概率就是 。

import seaborn as sns
from scipy.stats import bernoulli
# 單一觀察值
# 生成數(shù)據(jù) (1000 points, possible outs: 1 or 0, probability: 50% for each)
data = bernoulli.rvs(size=1000,p=0.5)
# 繪制圖形
ax = sns.distplot(data_bern,kde=False,hist_kws={"linewidth": 10,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Bernouli', ylabel='freq')

二項(xiàng)式分布

伯努利分布是針對(duì)單個(gè)觀測(cè)結(jié)果的。多個(gè)伯努利觀測(cè)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生二項(xiàng)式分布。例如，連續(xù)拋擲硬幣。

試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。一個(gè)嘗試的結(jié)果不會(huì)影響下一個(gè)。

二項(xiàng)式分布可以表示為 。 是試驗(yàn)次數(shù)， 是成功的概率。

讓我們進(jìn)行一個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們連續(xù)拋擲一枚公平的硬幣 20 次。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
n = 20
# 實(shí)驗(yàn)次數(shù)
p = 0.5
# 成功的概率
r = list(range(n + 1))
# the number of success
# pmf值
pmf_list = [binom.pmf(r_i, n, p) for r_i in r ]
# 繪圖
plt.bar(r, pmf_list)plt.show()

它看起來(lái)像正態(tài)分布，但請(qǐng)記住這些值是離散的。

現(xiàn)在這次，你有一枚欺詐硬幣。你知道這個(gè)硬幣正面向上的概率是 0.7。因此，p = 0.7。

帶有偏差硬幣的二項(xiàng)式分布

該分布顯示出成功結(jié)果數(shù)量增加的概率增加。

: 成功的概率 : 實(shí)驗(yàn)次數(shù) : 失敗的概率

均勻分布

所有結(jié)果成功的概率相同。擲骰子，1 到 6。

擲 6 次。

data = np.random.uniform(1, 6, 6000)

擲 6000 次。

Poisson 分布

它是與事件在給定時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生頻率相關(guān)的分布。

， 是在指定時(shí)間間隔內(nèi)預(yù)期發(fā)生的事件次數(shù)。它是在該時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的事件的已知平均值。 是事件在指定時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的次數(shù)。如果事件遵循泊松分布，則：

在泊松分布中，事件彼此獨(dú)立。事件可以發(fā)生任意次數(shù)。兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。

如每 60 分鐘接到 4 個(gè)電話(huà)。這意味著 60 分鐘內(nèi)通話(huà)的平均次數(shù)為 4。讓我們繪制在 60 分鐘內(nèi)接到 0 到 10 個(gè)電話(huà)的概率。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats
import poisson
r = range(0,11)
# 呼叫次數(shù)
lambda_val = 4
# 均值
# 概率值
data = poisson.pmf(r, lambda_val)
# 繪圖
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))
ax.plot(r, data, 'bo', ms=8, label='poisson')
plt.ylabel("Probability", fontsize="12")
plt.xlabel("# Calls", fontsize="12")
plt.title("Poisson Distribution", fontsize="16")
ax.vlines(r, 0, data, colors='r', lw=5, alpha=0.5)

4. 連續(xù)分布

正態(tài)分布

最著名和最常見(jiàn)的分布（也稱(chēng)為高斯分布），是一種鐘形曲線(xiàn)。它可以通過(guò)均值和標(biāo)準(zhǔn)差定義。正態(tài)分布的期望值是均值。

曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。均值、中位數(shù)和眾數(shù)相等。曲線(xiàn)下總面積為 1。

大約 68%的值落在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。~95% 落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，~98.7% 落在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。

import scipy
mean = 0
standard_deviation = 5
x_values = np. arange(-30, 30, 0.1)
y_values = scipy.stats.norm(mean, standard_deviation)
plt.plot(x_values, y_values. pdf(x_values))

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

是均值， 是常數(shù)， 是標(biāo)準(zhǔn)差。

QQ 圖

我們可以使用 QQ 圖來(lái)直觀地檢查樣本與正態(tài)分布的接近程度。

計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的 z 分?jǐn)?shù)并對(duì)其進(jìn)行排序，然后在 y 軸上表示它們。X 軸表示值的排名的分位數(shù)。

這個(gè)圖上的點(diǎn)越接近對(duì)角線(xiàn)，分布就越接近正態(tài)分布。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
points = np.random.normal(0, 1, 1000)
fig = sm.qqplot(points, line ='45')
plt.show()

長(zhǎng)尾分布

尾巴是分布的長(zhǎng)而窄的部分，離群值就位于其中。當(dāng)一側(cè)尾巴不同于另一側(cè)時(shí)，就稱(chēng)為偏斜。下圖是長(zhǎng)尾分布的 QQ 圖。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import skewnorm
def generate_skew_data(n: int, max_val: int, skewness: int):
# Skewnorm function
random = skewnorm.rvs(a = skewness,loc=max_val, size=n)
plt.hist(random,30,density=True, color = 'red', alpha=0.1)
plt.show()

generate_skew_data(1000, 100, -5) # negative (-5)-> 左偏分布

generate_skew_data(1000, 100, 5) # positive (5)-> 右偏分布

學(xué)生 t 檢驗(yàn)分布

正態(tài)但有尾（更厚、更長(zhǎng)）。

t 分布和 z 分布。來(lái)源：https://www.geeksforgeeks.org/students-t-distribution-in-statistics/

t 分布是具有較厚尾部的正態(tài)分布。如果可用數(shù)據(jù)較少（約 30 個(gè)），則使用 t 分布代替正態(tài)分布。

在 t 分布中，自由度變量也被考慮在內(nèi)。根據(jù)自由度和置信水平在 t 分布表中找到關(guān)鍵的 t 值。這些值用于假設(shè)檢驗(yàn)。

t 分布表情移步：https://www.sjsu.edu/faculty/gerstman/StatPrimer/t-table.pdf。

對(duì)數(shù)正態(tài)分布

隨機(jī)變量 X 的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布的分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
X = np.linspace(0, 6, 1500)
std = 1
mean = 0
lognorm_distribution = stats.lognorm([std], loc=mean)
lognorm_distribution_pdf = lognorm_distribution.pdf(X)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plt.plot(X, lognorm_distribution_pdf, label="μ=0, σ=1")
ax.set_xticks(np.arange(min(X), max(X)))
plt.title("Lognormal Distribution")
plt.legend()plt.show()

指數(shù)分布

我們?cè)?Poisson 分布中研究了在一定時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的事件。在指數(shù)分布中，我們關(guān)注的是兩個(gè)事件之間經(jīng)過(guò)的時(shí)間。如果我們把上面的例子倒過(guò)來(lái)，那么兩個(gè)電話(huà)之間需要多長(zhǎng)時(shí)間？

因此，如果 X 是一個(gè)隨機(jī)變量，遵循指數(shù)分布，則累積分布函數(shù)為：

是均值， 是常數(shù)。

from scipy.stats import expon
import matplotlib.pyplot as plt
x = expon.rvs(scale=2, size=10000) # 2 calls
# 繪圖
plt.hist(x, density=True, edgecolor='black')

x 軸表示時(shí)間間隔的百分比。

韋伯分布

它是指時(shí)間間隔是可變的而不是固定的情況下使用的指數(shù)分布的擴(kuò)展。在 Weibull 分布中，時(shí)間間隔被允許動(dòng)態(tài)變化。

是形狀參數(shù)，如果是正值，則事件發(fā)生的概率隨時(shí)間而增加，反之亦然。 是尺度參數(shù)。

import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(1,100.)/50.
def weib(x,n,a):
return (a / n) * (x / n)**(a - 1) * np.exp(-(x / n)**a)

count, bins, ignored = plt.hist(np.random.weibull(5.,1000))
x = np.arange(1,100.)/50.
scale = count.max()/weib(x, 1., 5.).max()
plt.plot(x, weib(x, 1., 5.)*scale)
plt.show()

Gamma 分布

指與第 n 個(gè)事件發(fā)生所需的時(shí)間有關(guān)的分布，而指數(shù)分布則與首次事件發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
#Gamma distributions
x = np.linspace(0, 60, 1000)
y1 = stats.gamma.pdf(x, a=5, scale=3)
y2 = stats.gamma.pdf(x, a=2, scale=5)
y3 = stats.gamma.pdf(x, a=4, scale=2)
# plots
plt.plot(x, y1, label='shape=5, scale=3')
plt.plot(x, y2, label='shape=2, scale=5')
plt.plot(x, y3, label='shape=4, scale=2')
#add legend
plt.legend()
#display
plotplt.show()

Gamma 分布。X 軸表示隨機(jī)變量 X 可能取到的潛在值，Y 軸表示分布的概率密度函數(shù)（PDF）值。

Gamma 分布

它用于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。這通常在實(shí)際分布中不會(huì)出現(xiàn)。

# x軸范圍0-10，步長(zhǎng)0.25
X = np.arange(0, 10, 0.25)
plt.subplots(figsize=(8, 5))
plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=1), label="1 dof")
plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=2), label="2 dof")
plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=3), label="3 dof")
plt.title("Chi-squared Distribution")
plt.legend()
plt.show()

中心極限定理

當(dāng)我們從人群中收集足夠大的樣本時(shí)，樣本的平均值將具有正態(tài)分布，即使人群不是正態(tài)分布。

我們可以從任何分布（離散或連續(xù)）開(kāi)始，從人群中收集樣本并記錄這些樣本的平均值。隨著我們繼續(xù)采樣，我們會(huì)注意到平均值的分布正在慢慢形成正態(tài)分布。