貝葉斯深度學(xué)習(xí)介紹

1 Introduction

基于深度學(xué)習(xí)的人工智能模型往往精于 “感知” 的任務(wù)，然而光有感知是不夠的，“推理” 是更高階人工智能的重要組成部分。比方說(shuō)醫(yī)生診斷，除了需要通過(guò)圖像和音頻等感知病人的癥狀，還應(yīng)該能夠推斷癥狀與表征的關(guān)系，推斷各種病癥的概率，也就是說(shuō)，需要有“thinking”的這種能力。具體而言就是識(shí)別條件依賴(lài)關(guān)系、因果推斷、邏輯推理、處理不確定性等。

概率圖模型（PGM）能夠很好處理概率性推理問(wèn)題，然而PGM的弊端在于難以應(yīng)付大規(guī)模高維數(shù)據(jù)，比如圖像，文本等。因此，這篇文章嘗試將二者結(jié)合，融合到DBL的框架之中。

比如說(shuō)在電影推薦系統(tǒng)中，深度學(xué)習(xí)適于處理高維數(shù)據(jù)，比如影評(píng)（文本）或者海報(bào)（圖像）；而概率圖模型適于對(duì)條件依賴(lài)關(guān)系建模，比如觀眾和電影之間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。

從uncertainty的角度考慮，BDL適合于去處理這樣的復(fù)雜任務(wù)。復(fù)雜任務(wù)的參數(shù)不確定性一般有如下幾種：（1）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)不確定性；（2）與任務(wù)相關(guān)的參數(shù)不確定性；（3）perception部分和task-specific部分信息傳遞的不確定性。通過(guò)將未知參數(shù)用概率分布而不是點(diǎn)估計(jì)的方式表示，能夠很方便地將這三種uncertainty統(tǒng)一起來(lái)處理（這就是BDL框架想要做的事情）。

另外BDL還有 “隱式的”正則化作用，在數(shù)據(jù)缺少的時(shí)候能夠避免過(guò)擬合。通常BDL由兩部分組成：perception模塊和task-specific模塊。前者可以通過(guò) 權(quán)值衰減或者dropout正則化 （這些方法擁有貝葉斯解釋?zhuān)?，后者由于可?加入先驗(yàn) ，在數(shù)據(jù)缺少時(shí)也能較好地進(jìn)行建模。

當(dāng)然，BDL在實(shí)際應(yīng)用中也存在著挑戰(zhàn)，比如時(shí)間復(fù)雜性的問(wèn)題，以及兩個(gè)模塊間信息傳遞的有效性。

2 Deep Learning

這一章主要介紹經(jīng)典的深度學(xué)習(xí)方法，這里不用過(guò)多的篇幅去敘述，文章中提到的方法包括MLP、AutoEncoder、CNN、RNN等。

2.2 AutoEncoders

這一部分提一下自編碼器。這是一種能將輸入編碼為更緊湊表示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)能夠?qū)⑦@種緊湊表示進(jìn)行重建。這方面的資料也很多，這里主要說(shuō)明一下AE的變種——SDAE（Stacked Denoising AutoEncoders）

SDAE的結(jié)構(gòu)如上圖所示，和AE不同的是，可以看做輸入數(shù)據(jù)加入噪聲或者做了一些隨機(jī)處理后的結(jié)果（比如可以把中的數(shù)據(jù)隨機(jī)選30%變?yōu)榱悖?。所以SDAE做的就是試圖把處理過(guò)的corrupted data恢復(fù)成clean data。SDAE可以轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問(wèn)題：

3 Probabilistic Graphical Model

這一章主要介紹概率圖模型，也是為后面的內(nèi)容做知識(shí)鋪墊的，概率圖模型的相關(guān)資料有不少，因此這里不過(guò)多敘述。文章主要介紹的是有向貝葉斯網(wǎng)（Bayesian Networks），如LDA等模型。LDA可以拓展出更多的topic model，如推薦系統(tǒng)中的協(xié)同話題回歸（CTR）。

4 Bayesian Deep Learning

在這個(gè)部分，作者列舉了一些BDL模型在推薦、控制等領(lǐng)域的應(yīng)用，我們可以看到，眾多當(dāng)前實(shí)用的模型都可以統(tǒng)一到BDL這個(gè)大框架之下：

4.1 A Brief History of Bayesian Neural Networks and Bayesian Deep Learning

和BDL很相似的是BNN（Bayesian neural networks），這是一個(gè)相當(dāng)古老的課題，然而B(niǎo)NN只是本文BDL框架下的一個(gè)子集——BNN相當(dāng)于只有perception部分的BDL。

4.2 General Framework

如下圖是文章提出的基本框架，紅色部分是 感知模塊 ，藍(lán)色部分是 任務(wù)模塊 。紅色部分通常使用各種概率式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，而藍(lán)色部分可以是貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，DBN，甚至是隨機(jī)過(guò)程，這些模型會(huì)以概率圖的形式表示出來(lái)。

在這個(gè)基本框架中往往有三種變量：perception variables （圖中的X,W）, hinge variables （圖中的H）和task variables （圖中的A,B,C）。通常來(lái)說(shuō)，紅色模塊和hinge variables之間的連接是獨(dú)立的。因此，對(duì)于能歸納到BDL框架下的模型，我們都可以找到這樣的結(jié)構(gòu)——兩個(gè)模塊，三種變量。

BDL可以對(duì)紅藍(lán)兩個(gè)部分之間信息交換的uncertainty進(jìn)行建模，這個(gè)問(wèn)題等價(jià)研究的uncertainty（在公式中的體現(xiàn)就是條件方差）。方差的不同假設(shè)有：Zero-Variance（ZV，沒(méi)有不確定性，方差為零），Hyper-Variance（HV，方差大小由超參數(shù)決定），Learnable Variance（LV，使用可學(xué)習(xí)參數(shù)表示）。顯然，靈活性上有LV>HV>ZV。

4.3 Perception Component

通常來(lái)說(shuō)，這一部分應(yīng)該采用BNN等模型，當(dāng)然我們可以使用一些更加靈活的模型，比如RBM，VAE，以及近來(lái)比較火的GAN等。文章提到了以下幾個(gè)例子：

Restricted Boltzman Machine ：RBM是一種特殊的BNN，主要特點(diǎn)有：（1）訓(xùn)練時(shí)不需要反向傳播的過(guò)程；（2）隱神經(jīng)元是binary的。RBM的具體結(jié)構(gòu)如下：

RBM通過(guò)Contrastive Divergence進(jìn)行訓(xùn)練（而不是反向傳播），訓(xùn)練結(jié)束后通過(guò)邊緣化其他neurons就能求出和。

Probabilistic Generalized SDAE： 我們將2.2提到的SDAE加以改進(jìn)，如果假設(shè)clear input 和corrupted input 都是可以觀察的 ，便可以定義如下的Probabilistic SDAE：

Variational Autoencoders ：VAE的基本想法就是通過(guò)學(xué)習(xí)參數(shù)最大化ELBO，VAE也有諸多變種，比如IWAE（Importance weighted Autoencoders），Variational RNN等。

Natural-Parameter Networks ：與確定性輸入的vanilla NN不同，NPN將一個(gè)分布作為輸入（和VAE只有中間層的output是分布不同）。當(dāng)然除了高斯分布，其他指數(shù)族也可也當(dāng)做NPN的輸入，如Gamma、泊松等。

4.4 Task-Specific Component

這一個(gè)模塊的主要目的是將概率先驗(yàn)融合進(jìn)BDL模型中（很自然的我們可以用PGM來(lái)表示），這個(gè)模塊可以是Bayesian Network，雙向推斷網(wǎng)絡(luò)，甚至是隨機(jī)過(guò)程。

Bayesian Networks ：貝葉斯網(wǎng)是最常見(jiàn)的task-specific component。除了LDA，另一個(gè)例子是PMF（Probabilistic Matrix Factorization），原理是使用BN去對(duì)users，items和評(píng)分的條件依賴(lài)性建模。以下是PMF假設(shè)的生成過(guò)程：

Bidirectional Inference Networks ：Deep Bayesian Network不止關(guān)注“淺相關(guān)”和線性結(jié)構(gòu)，還會(huì)關(guān)注隨機(jī)變量的非線性相關(guān)和模型的非線性結(jié)構(gòu)。BIN是其中的一個(gè)例子。

Stochastic Processes ：隨機(jī)過(guò)程也可以作為T(mén)ask-component，比如說(shuō)用維納過(guò)程模擬離散布朗運(yùn)動(dòng)，用泊松過(guò)程模擬處理語(yǔ)音識(shí)別的任務(wù)等。隨機(jī)過(guò)程可以被看做一種動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)（DBN）。

5 Concerte BDL Models and Applications

上一章討論完構(gòu)成BDL的基本模型結(jié)構(gòu)，我們自然希望能夠把這一套大一統(tǒng)的框架運(yùn)用在一些實(shí)際的問(wèn)題上。因此，這一章主要討論了BDL的各種應(yīng)用場(chǎng)景，包括推薦系統(tǒng)，控制問(wèn)題等。在這里我們默認(rèn)任務(wù)模塊使用vanilla Bayesian networks作為這個(gè)部分的模型。

5.1 Supervised Bayesian Deep Learning for Recommender Systems

Collaborative Deep Learning 。文章在這個(gè)部分提出Collaborative Deep Learning（CDL）來(lái)處理推薦系統(tǒng)的問(wèn)題，這種方法連接了content information（一般使用深度學(xué)習(xí)方法處理）和rating matrix（一般使用協(xié)同過(guò)濾）。

使用4.3.2提到的Probabilistic SDAE，CDL模型的生成過(guò)程如下：

為了效率，我們可以設(shè)置趨向正無(wú)窮，這個(gè)時(shí)候，CDL的圖模型就可以用下圖來(lái)表示了：

紅色虛線框中的就是SDAE（圖上是L=2的情況），右邊是degenerated CDL，我們可以看到，degenerated CDL只有SDAE的encoder部分。根據(jù)我們之前定義過(guò)的，就是hinge variable，而是task variables，其他的是perception variables。

那么我們應(yīng)該如何訓(xùn)練這個(gè)模型呢？直觀來(lái)看，由于現(xiàn)在 所有參數(shù)都被我們當(dāng)做隨機(jī)變量 ，我們可以使用純貝葉斯方法，比如VI或MCMC，然而這樣計(jì)算量往往是巨大的，因此，我們使用一個(gè)EM-style的算法去獲得MAP估計(jì)。先定義需要優(yōu)化的目標(biāo)，我們希望最大化后驗(yàn)概率，可以等價(jià)為最大化給定的joint log-likelihood。

注意，當(dāng)趨向無(wú)窮時(shí)，訓(xùn)練CDL的概率圖模型就退化為了訓(xùn)練下圖的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)有相同的加了噪音的輸入，而輸出是不同的。

有了優(yōu)化的目標(biāo)，參數(shù)該如何去更新呢？和巧妙的EM算法的思路類(lèi)似，我們通過(guò)迭代的方法去逐步找到一個(gè)局部最優(yōu)解：

當(dāng)我們估計(jì)好參數(shù)，預(yù)測(cè)新的評(píng)分就容易了，我們只需要求期望即可，也就是根據(jù)如下公式計(jì)算：

Bayesian Collaborative Deep Learning ：除了這種模型，我們可以對(duì)上面提到的CDL進(jìn)行另外一種擴(kuò)展。這里我們不用MAP估計(jì)，而是sampling-based算法。主要過(guò)程如下：

當(dāng)趨向正無(wú)窮并使用adaptive rejection Metropolis sampling時(shí)，對(duì)采樣就相當(dāng)于BP的貝葉斯泛化版本。

Marginalized Collaborative Deep Learning ：在SDAE的訓(xùn)練中，不同訓(xùn)練的epoch使用不同的corrupted input，因此訓(xùn)練過(guò)程中需要遍歷所有的epochs，Marginalized SDAE做出了改進(jìn)：通過(guò)邊緣化corrupted input直接得到閉式解。

Collaborative Deep Ranking ：除了關(guān)注精確的評(píng)分，我們也可以直接關(guān)注items的排名，比如CDR算法：

這個(gè)時(shí)候我們需要優(yōu)化的log-likelihood就會(huì)成為：

Collaborative Variational Autoencoders ：另外，我們可以將感知模塊的Probabilistic SDAE換成VAE，則生成過(guò)程如下：

總之，推薦系統(tǒng)問(wèn)題往往涉及高維數(shù)據(jù)（文本、圖像）處理以及條件關(guān)系推斷（用戶物品關(guān)系等），CDL這類(lèi)模型使用BDL的框架，能發(fā)揮很重要的作用。當(dāng)然其他監(jiān)督學(xué)習(xí)的任務(wù)也可以參考推薦系統(tǒng)的應(yīng)用使用CDL的方法。

5.2 Unsupervised Bayesian Deep Learning for Topic Models

這一小節(jié)過(guò)渡到非監(jiān)督問(wèn)題中，在這類(lèi)問(wèn)題中我們不再追求 “match” 我們的目標(biāo)，而更多是 “describe” 我們的研究對(duì)象。

Relational Stacked Denoising Autoencoders as Topic Models (RSDAE) ：在RSDAE中我們希望能在關(guān)系圖的限制下學(xué)到一組topics（或者叫潛因子）。RSDAE能“原生地”集成潛在因素的層次結(jié)構(gòu)和可用的關(guān)系信息。其圖模型的形式和生成過(guò)程如下：

同樣的，我們最大化后驗(yàn)概率，也就是最大化各種參數(shù)的joint log-likelihood：

訓(xùn)練的時(shí)候我們依然使用EM-style的算法去找MAP估計(jì)，并求得一個(gè)局部最優(yōu)解（當(dāng)然也可以使用一些帶skip的方法嘗試跳出局部最優(yōu)），具體如下：

Deep Poisson Factor Analysis with Sigmoid Belief Networks ：泊松過(guò)程適合對(duì)于非負(fù)計(jì)數(shù)相關(guān)的過(guò)程建模，考慮到這個(gè)特性，我們可以嘗試把Poisson factor analysis（PFA）用于非負(fù)矩陣分解。這里我們以文本中的topic問(wèn)題作為例子，通過(guò)取不同的先驗(yàn)我們可以有多種不同的模型。

比如說(shuō)，我們可以通過(guò)采用基于sigmoid belief networks（SBN）的深度先驗(yàn)，構(gòu)成DeepPFA模型。DeepPFA的生成過(guò)程具體如下：

這個(gè)模型訓(xùn)練的方式是用Bayesian Conditional Density Filtering（BCDF），這是MCMC的一種online版本；也可以使用Stochastic Gradient Thermostats（SGT），屬于hybrid Monto Carlo類(lèi)的采樣方法。

Deep Poisson Factor Analysis with Restricted Boltzmann Machine ：我們也可以將DeepPFA中的SBN換成RBM模型達(dá)到相似的效果。

可以看到，在基于BDL的話題模型中， 感知模塊用于推斷文本的topic hierarchy，而任務(wù)模塊用于對(duì)詞匯與話題的生產(chǎn)過(guò)程，詞匯-話題關(guān)系，文本內(nèi)在關(guān)系建模 。

5.3 Bayesian Deep Representation Learning for Control

前面兩小節(jié)主要談?wù)揃DL在監(jiān)督學(xué)習(xí)與無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)的應(yīng)用，這一節(jié)主要關(guān)注另外一個(gè)領(lǐng)域：representation learning。用控制問(wèn)題為例。

Stochastic Optimal Control ：在這一節(jié)，我們考慮一個(gè)未知?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，在BDL的框架下解決的具體過(guò)程如下：

BDL-Based Representation Learning for Control ：為了能夠優(yōu)化上述問(wèn)題，有三個(gè)關(guān)鍵的部分，具體如下：

Learning Using Stochastic Gradient Variational Bayes ：該模型的損失函數(shù)是如下這種形式：

在控制的問(wèn)題中，我們通常希望能夠從原始輸入中獲取語(yǔ)義信息，并在系統(tǒng)狀態(tài)空間中保持局部線性。而B(niǎo)DL的框架正好適用這一點(diǎn)，兩個(gè)組件分別能完成不同的工作：感知模塊可以捕獲 live video，而任務(wù)模塊可以推斷動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。

5.4 Bayesian Deep Learning for Other Applications

除了上面提到的，BDL還有其他諸多運(yùn)用場(chǎng)景：鏈路預(yù)測(cè)、自然語(yǔ)言處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、語(yǔ)音、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等。比如，在鏈路預(yù)測(cè)中，可以將GCN作為感知模塊，將stochastic blockmodel作為任務(wù)處理模塊等。

6 Conclusion and Future Research

現(xiàn)實(shí)中很多任務(wù)都會(huì)涉及兩個(gè)方面：感知高維數(shù)據(jù)（圖像、信號(hào)等）和隨機(jī)變量的概率推斷。貝葉斯深度學(xué)習(xí)（BDL）正是應(yīng)對(duì)這種問(wèn)題的方案： 結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ NN ）和概率圖模型（PGM）的長(zhǎng)處 。而廣泛的應(yīng)用使得BDL能夠成為非常有價(jià)值的研究對(duì)象，目前這類(lèi)模型仍然有著眾多可以挖掘的地方。