完整的Smith阻抗圓圖總結(jié)

導(dǎo)讀：文章從8個(gè)小節(jié)詳講，分為，1.關(guān)于Smith圓圖；2.等反射系數(shù)圓；3.等反射系數(shù)圓的分析；4.歸一化阻抗圓；5.電阻圓；6.電抗圓；7.完整的Smith阻抗圓圖總結(jié)；8.導(dǎo)納圓圖。

1.關(guān)于Smith圓圖

Smith圓圖是1939年由P.Smith在貝爾電話實(shí)驗(yàn)室工作時(shí)開發(fā)的。

史密斯圓圖由兩族圓組成：等反射系數(shù)圓、歸一化阻抗圓圖。歸一化阻抗圓又包含了電阻圓、電抗圓兩種。

2.等反射系數(shù)圓

首先線上任意一點(diǎn)的反射系數(shù)等于下式：

注意：典型的傳輸線系統(tǒng)如下，只要寫的是z’，表示的是從負(fù)載端為坐標(biāo)起點(diǎn)。另外z’/λ也就是電長度。

上面的反射系數(shù)式子，用實(shí)部和虛部的形式表示為：

用模的形式表示，有：

如果以Гu為橫軸（可以理解為x軸），Гv為縱軸（可以理解為y軸），畫圖,那么上式就就是以原點(diǎn)為圓心，反射系數(shù)的幅值|Г|為半徑的圓。這個(gè)圓就是等反射系數(shù)圓。如下圖：

3.等反射系數(shù)圓的分析

根據(jù)反射系數(shù)的計(jì)算公式：

當(dāng)終端短路時(shí)，即Zl=0。此時(shí)反射系數(shù)Гl就為-1。-1也就是1ejπ。所以，短路點(diǎn)在坐標(biāo)軸中的位置為（-1，0），即實(shí)部為-1，虛部為0，在圓圖中的最左邊的一點(diǎn)。

當(dāng)終端開路時(shí)，即Zl為無窮大，根據(jù)上式兩個(gè)相等的無窮大比值就為1。此時(shí)反射系數(shù)Гl就為1。1也就是1ej0。所以，開路點(diǎn)在坐標(biāo)軸中的位置為（1，0），即實(shí)部為1，虛部為0，在圓圖中的最右邊的一點(diǎn)。

當(dāng)終端接負(fù)載等于傳輸線特性阻抗（Z0=Zl），此時(shí)反射系數(shù)就為0。所匹配點(diǎn)在圓心（0，0）的位置。

因?yàn)榉瓷湎禂?shù)的模值范圍是：0≤|Г|≤1，所以等反射系數(shù)圓是一族以原點(diǎn)為圓心的同心圓，最小圓的半徑為0，此處為匹配點(diǎn)。最大圓的半徑為1，這個(gè)圓代表著全反射。

再根據(jù)下式來分析幅角θ。θ是從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，終止于單位圓的射線，并規(guī)定單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)為θ=0°，從該點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，θ從0°增加到360°。

反射系數(shù)的幅角的變化與傳輸線上兩點(diǎn)間的電長度△z’/λ有關(guān)，因此通常可以用電長度來表示幅角。當(dāng)z’=λ/4時(shí)，幅角-2βz’就等于-π。因此，半個(gè)圓周就相當(dāng)于0.25λ，整個(gè)圓周相當(dāng)于0.5λ。

另外，z’為正的時(shí)候，幅角θ為負(fù)數(shù)，也就是順時(shí)針。注意前面說過，只要寫的是z’，表示的是從負(fù)載端為坐標(biāo)起點(diǎn)。所以，在圓圖中順時(shí)針轉(zhuǎn)的時(shí)候，就是從負(fù)載向電源端轉(zhuǎn)，逆時(shí)針就是向負(fù)載轉(zhuǎn)。

4.歸一化阻抗圓

實(shí)際的阻抗等于下式，注意Zc是特性阻抗，有時(shí)也用Z0表示，一般無耗傳輸線用Zc。

歸一化的阻抗寫成下式：

反射系數(shù)Г在前面已經(jīng)用下式表示：

所以把上式代入到z，就可以得到z關(guān)于Гu和Гv的等式。將z也寫成實(shí)部和虛部的形式：

其中，把代入后得到的r和x值求出來，得到：

把上面兩個(gè)式子，再整理一下，就有了以下的式子：

還是以Гu為橫軸，Гv為縱軸，這兩個(gè)方程都是圓的方程。畫圓，當(dāng)歸一化的電阻r取不同常數(shù)時(shí)，第一個(gè)式中畫出來的一族圓，就稱為歸一化電阻圓，第二個(gè)式子畫出的圓為電抗圓。

5.電阻圓

當(dāng)Гu =1，Гv=0時(shí)，上式恒成立。所以不管r等于多少，這些圓都恒過（1，0）坐標(biāo)點(diǎn)。

分析電阻圓的公式，圓心為（r/（1+r），0），半徑為1/（1+r）。r越大，對(duì)應(yīng)的等電阻圓的半徑就越小。電阻r的范圍是0≤r＜∞。

6.電抗圓

圓心為（1，1/x），半徑為1/|x|，注意電阻r不可能有負(fù)的電阻，但x可正可負(fù)。x為正，代表感性，x為負(fù)，代表容性。所以可以畫出來兩組，而且恒過（1，0）點(diǎn)，如下所示：

由于反射系數(shù)的限制，所以上圖彩色圓的部分只有虛線內(nèi)的才是可以用的。所以得到的電抗圓圖如下所示：

7.完整的Smith阻抗圓圖總結(jié)

將上述的等反射系數(shù)圓、等歸一化的電阻圓、等歸一化的電抗圓重疊在一起，就構(gòu)成了完成是阻抗圓圖，又稱史密斯圓圖。

根據(jù)以上對(duì)圓圖構(gòu)成的分析，可以得到以下的結(jié)論：

（1）圓圖的中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Г=0，r=1（即Zl=Zc），x=0，ρ=1，是匹配點(diǎn)。

（2）實(shí)軸上的所有點(diǎn)（兩端點(diǎn)除外）表示為純歸一化電阻。這是因?yàn)楫?dāng)x等于0時(shí)，電抗圓的半徑為∞，等電抗圓退化為實(shí)軸。

（3）實(shí)軸左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Г= -1，z=0，故該點(diǎn)是短路點(diǎn)。

（4）實(shí)軸右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Г= 1，z=∞，故該點(diǎn)是開路點(diǎn)。

（5）圓圖的單位圓對(duì)應(yīng)于Г= 1，r=0，z = jx，所以該圓為純歸一化電抗圓。

（6）實(shí)軸以上x＞0，所以上半圓各點(diǎn)代表各種不同數(shù)值的感性阻抗。

（7）實(shí)軸以下x＜0，所以下半圓各點(diǎn)代表各種不同數(shù)值的容性阻抗。

（8）圓圖的右半實(shí)軸（幅角θ=0°）上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于傳輸線上電壓的同相位點(diǎn)，所以的電壓波腹點(diǎn)（電流波節(jié)點(diǎn)），r的值即為電壓駐波系數(shù)ρ的值。左半實(shí)軸對(duì)應(yīng)電流波腹點(diǎn)（電壓波節(jié)點(diǎn)），即電流的同相位點(diǎn)。

（9）圓圖最外圈標(biāo)有電長度的刻度，阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點(diǎn)在實(shí)軸的左端點(diǎn)。圈外刻度順時(shí)針轉(zhuǎn)，即“向波源方向”。逆時(shí)針轉(zhuǎn)，是“向負(fù)載方向”。

（10）串聯(lián)電感：順時(shí)針沿電阻圓移動(dòng)。

因?yàn)殡姼泻?a href="http://srfitnesspt.com/tags/電容/" target="_blank">電容都只影響復(fù)阻抗，所以實(shí)部電阻是不變的，仍然在恒阻圓上。同時(shí)，電感的感抗jωL為正，串聯(lián)電感，電感增大，感抗增大。由于電抗圓中，順時(shí)針的感抗是增大的（可看上面電抗圓圖中x=0.5，x=1，x=2，x=4的位置，順時(shí)針時(shí)候感抗是增大的），所以串聯(lián)電感是沿著電阻圓、順時(shí)針轉(zhuǎn)。

（11）串聯(lián)電容：逆時(shí)針沿電阻圓移動(dòng)。

串聯(lián)電容，電容是減小的，容抗減?。ㄘ?fù)的更多了），所以逆時(shí)針轉(zhuǎn)。

（12）并聯(lián)，一般在導(dǎo)納圓圖中轉(zhuǎn)，具體見下文的導(dǎo)納圓圖。此時(shí)：

并聯(lián)電感：沿著電導(dǎo)圓、逆時(shí)針移動(dòng)。

并聯(lián)電容：沿著電導(dǎo)圓、順時(shí)針移動(dòng)。

8.導(dǎo)納圓圖

傳輸線上并聯(lián)元件或并聯(lián)分支線，用導(dǎo)納計(jì)算要比阻抗計(jì)算方便，用于導(dǎo)納計(jì)算的圓圖稱為導(dǎo)納圓圖。

因?yàn)閷?dǎo)納Y是阻抗Z的倒數(shù)，所以傳輸線上歸一化的導(dǎo)納為：

上式也可寫做：

這個(gè)式子和阻抗圓圖的表達(dá)形式完全一樣，只是將原來電壓反射系數(shù)Г換成了電流反射系數(shù)ГI。因此，導(dǎo)納圓圖和阻抗圓圖的圖形完全相同，只是將阻抗圓圖作為導(dǎo)納圓圖使用時(shí)，應(yīng)將阻抗圓圖中的r、x和Г相應(yīng)地?fù)Q位g，b和ГI。

在將阻抗圓圖作為導(dǎo)納圓圖使用時(shí)，因?yàn)椐= -Г，所以原來阻抗圓圖實(shí)軸上的電壓波腹點(diǎn)和電壓波節(jié)點(diǎn)的位置，在導(dǎo)納圓圖實(shí)軸上分別是電壓波節(jié)點(diǎn)和電壓波腹點(diǎn)的位置。原來阻抗圓圖上的開路點(diǎn)和短路點(diǎn)的位置，在導(dǎo)納圓圖上對(duì)應(yīng)短路點(diǎn)和開路點(diǎn)的位置。原來阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點(diǎn)在實(shí)軸的左端點(diǎn)，在導(dǎo)納圓圖上在實(shí)軸的右端點(diǎn)。兩圓圖的匹配點(diǎn)都是左邊原點(diǎn)。

另外可在圓圖上由歸一化的阻抗求歸一化的導(dǎo)納。當(dāng)位置z’=l時(shí)，阻抗和導(dǎo)納有下列的等式：

所以傳輸線上任意點(diǎn)z’=l處的歸一化輸入阻抗與間隔λ/4位置處的歸一化導(dǎo)納是相等的。所以可在阻抗圓圖上找到阻抗對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，沿著等反射系數(shù)圓將此點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，相當(dāng)于z’變化了λ/4，就得到了導(dǎo)納對(duì)應(yīng)的點(diǎn)值。

編輯：黃飛