多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)解析

原文作者：Eugene Wang

本文簡(jiǎn)單介紹了霍爾效應(yīng)與反?；魻栃?yīng)的概念，引申出一種有趣的物理現(xiàn)象：多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)反常量子霍爾效應(yīng)。

我們都知道，當(dāng)一個(gè)電流通過一個(gè)導(dǎo)體時(shí)，如果有一個(gè)垂直于電流方向的磁場(chǎng)，那么導(dǎo)體的兩側(cè)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)電壓差，這就是霍爾效應(yīng)?；魻栃?yīng)的原理是，磁場(chǎng)會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)的電子施加一個(gè)洛倫茲力，使電子偏離原來的軌道，從而在導(dǎo)體的兩側(cè)形成一個(gè)電勢(shì)差?；魻栃?yīng)的大小可以用霍爾電阻來衡量，它等于電勢(shì)差除以電流強(qiáng)度。

霍爾效應(yīng)在普通的導(dǎo)體中是線性的，即霍爾電阻和磁場(chǎng)強(qiáng)度成正比。但是，在一些特殊的材料中，當(dāng)磁場(chǎng)很強(qiáng)時(shí)，霍爾效應(yīng)會(huì)出現(xiàn)非線性的行為，霍爾電阻不再隨著磁場(chǎng)的增加而連續(xù)變化，而是跳躍到一些固定的值，這就是量子霍爾效應(yīng)。

量子霍爾效應(yīng)的原理是，強(qiáng)磁場(chǎng)會(huì)使電子的能級(jí)分裂為一系列的分立的能級(jí)，稱為朗道能級(jí)。當(dāng)電子填充朗道能級(jí)時(shí)，如果恰好填滿了整數(shù)個(gè)能級(jí)，那么霍爾電阻就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平臺(tái)，其值等于普朗克常數(shù)除以電子電荷的平方的整數(shù)倍，這就是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。

如果沒有填滿整數(shù)個(gè)能級(jí)，那么霍爾電阻就會(huì)隨著磁場(chǎng)的變化而變化，直到遇到下一個(gè)平臺(tái)，這就是分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。這個(gè)效應(yīng)是在1980年代由Tsui，Stormer和Gossard在半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)中發(fā)現(xiàn)的，他們因此獲得了1998年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們觀察到，在極低的溫度和極強(qiáng)的磁場(chǎng)下，霍爾電阻不僅在整數(shù)倍的位置出現(xiàn)了平臺(tái)，還在分?jǐn)?shù)倍的位置出現(xiàn)了平臺(tái)。

這個(gè)現(xiàn)象是非常令人驚訝的，因?yàn)樗馕吨娮又g的相互作用在這里起了決定性的作用。根據(jù)Laughlin的理論，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)可以被理解為一種新的量子液體的形成，這種量子液體由復(fù)合費(fèi)米子組成，復(fù)合費(fèi)米子是由一個(gè)電子和它周圍的磁通量捆綁而成的。這些復(fù)合費(fèi)米子可以形成分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)粒子，也就是任意子，它們的電荷是e的分?jǐn)?shù)倍，例如e/3，e/5，e/7等。這些任意子在朗道能級(jí)上形成了一個(gè)有效的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)，從而導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。

分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)是一個(gè)非常深刻和美麗的物理現(xiàn)象，它展示了量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的奇妙結(jié)合，以及物質(zhì)的多樣性和豐富性。然而，它的實(shí)驗(yàn)觀察是非常困難的，因?yàn)樗枰浅５偷臏囟群头浅?qiáng)的磁場(chǎng)，以及非常純凈和高質(zhì)量的材料。這就限制了它的研究和應(yīng)用的范圍。那么，有沒有可能在零磁場(chǎng)下觀察到分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)呢？

這就引出了另一個(gè)概念，叫做反?；魻栃?yīng)。反?；魻栃?yīng)是指在零磁場(chǎng)下，某些材料也會(huì)表現(xiàn)出量子化的霍爾電阻，這是由于它們的拓?fù)湫再|(zhì)，也就是它們的能帶結(jié)構(gòu)中存在著非零的陳數(shù)。陳數(shù)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，它描述了能帶中的波函?shù)的相位變化，它和磁場(chǎng)中的磁通量有類似的作用。當(dāng)一個(gè)材料具有非零的陳數(shù)時(shí)，它就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有效的磁場(chǎng)，從而導(dǎo)致了反?；魻栃?yīng)。

反常霍爾效應(yīng)的一個(gè)典型的例子是石墨烯，它是一種由單層碳原子構(gòu)成的二維材料，它的能帶在兩個(gè)狄拉克點(diǎn)處是線性的，這使得它具有非零的陳數(shù)，從而在零磁場(chǎng)下表現(xiàn)出反?；魻栃?yīng)。那么，在反?；魻栃?yīng)的基礎(chǔ)上，有沒有可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子反?；魻栃?yīng)呢？這是一個(gè)長(zhǎng)期以來的理論預(yù)言，但是一直沒有實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。直到最近，一些科學(xué)家在多層石墨烯中觀察到了這個(gè)效應(yīng)。

多層石墨烯具有許多獨(dú)特的物理性質(zhì)，比如高的電子遷移率，強(qiáng)的機(jī)械強(qiáng)度，和可調(diào)的能帶結(jié)構(gòu)。多層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)可以通過改變層數(shù)，堆疊方式，扭轉(zhuǎn)角度，和外加電場(chǎng)來調(diào)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)不同的電子態(tài)，比如金屬態(tài)，半導(dǎo)體態(tài)，拓?fù)浣^緣體態(tài)，和超導(dǎo)態(tài)。

多層石墨烯的拓?fù)浣^緣體態(tài)是一種具有非零陳數(shù)的能帶結(jié)構(gòu)，它可以在沒有外加磁場(chǎng)的情況下產(chǎn)生反常量子霍爾效應(yīng)。多層石墨烯的拓?fù)浣^緣體態(tài)的來源是層間的自旋軌道耦合，它可以使不同層的電子的自旋和軌道相互作用，從而產(chǎn)生一個(gè)有效的磁場(chǎng)。多層石墨烯的層間自旋軌道耦合的強(qiáng)度可以通過改變層數(shù)和扭轉(zhuǎn)角度來調(diào)節(jié)，從而實(shí)現(xiàn)不同的陳數(shù)和反常量子霍爾效應(yīng)平臺(tái)。

多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)反常量子霍爾效應(yīng)是一種更加復(fù)雜和有趣的現(xiàn)象，它可以在零磁場(chǎng)下產(chǎn)生分?jǐn)?shù)化的霍爾電阻和分?jǐn)?shù)化的電荷激發(fā)。多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)反常量子霍爾效應(yīng)的來源是層間的電子相互作用，它可以使拓?fù)浣^緣體態(tài)的能帶進(jìn)一步分裂為一些分?jǐn)?shù)占據(jù)的能級(jí)，稱為分?jǐn)?shù)拓?fù)淠芗?jí)。

多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)拓?fù)淠芗?jí)的存在可以通過一種稱為拓?fù)淦綆Ｐ偷睦碚搧斫忉專梢园讯鄬邮┑哪軒ЫY(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一些具有非零陳數(shù)的平坦能帶，這些平坦能帶可以容納分?jǐn)?shù)朗道能級(jí)和分?jǐn)?shù)化的電子相互作用，從而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)反常量子霍爾效應(yīng)。多層石墨烯中的分?jǐn)?shù)拓?fù)淠芗?jí)的存在可以通過一種稱為拓?fù)渥V函數(shù)的實(shí)驗(yàn)手段來觀測(cè)，它可以測(cè)量多層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)和陳數(shù)的變化，從而證實(shí)分?jǐn)?shù)反常量子霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)。

審核編輯：黃飛