神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播算法(Backpropagation Algorithm)是一種用于訓(xùn)練多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法。它通過最小化損失函數(shù)來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置,從而提高網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測性能。本文將介紹反向傳播算法的推導(dǎo)過程,包括前向傳播、損失函數(shù)、梯度計(jì)算和權(quán)重更新等步驟。
- 前向傳播
前向傳播是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信息從輸入層到輸出層的傳遞過程。在多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,每個(gè)神經(jīng)元都與前一層的所有神經(jīng)元相連,并通過激活函數(shù)進(jìn)行非線性變換。假設(shè)我們有一個(gè)包含L層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),其中第l層有n_l個(gè)神經(jīng)元。對于第l層的第i個(gè)神經(jīng)元,其輸入為x_l^i,輸出為a_l^i,權(quán)重為w_l^i,偏置為b_l^i。則有:
a_l^i = f(z_l^i) = f(∑(w_l^j * a_{l-1}^j) + b_l^i)
其中,z_l^i是第l層第i個(gè)神經(jīng)元的輸入加權(quán)和,f(·)是激活函數(shù),如Sigmoid、Tanh或ReLU等。
- 損失函數(shù)
損失函數(shù)用于衡量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與實(shí)際值之間的差異。常見的損失函數(shù)有均方誤差(MSE)、交叉熵?fù)p失(Cross-Entropy Loss)等。對于二分類問題,我們可以使用以下形式的交叉熵?fù)p失函數(shù):
L(y, a) = -[y * log(a) + (1 - y) * log(1 - a)]
其中,y是實(shí)際值(0或1),a是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值。
- 梯度計(jì)算
梯度計(jì)算是反向傳播算法的核心,它涉及到對損失函數(shù)關(guān)于權(quán)重和偏置的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。我們的目標(biāo)是找到損失函數(shù)的最小值,因此需要計(jì)算梯度并更新權(quán)重和偏置。
首先,我們需要計(jì)算輸出層的梯度。對于第L層的第i個(gè)神經(jīng)元,其梯度可以表示為:
?L/?a_L^i = ?L/?z_L^i * ?z_L^i/?a_L^i = (a_L^i - y_i) * f'(z_L^i)
其中,y_i是第i個(gè)樣本的實(shí)際值,f'(z_L^i)是激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
接下來,我們需要計(jì)算隱藏層的梯度。對于第l層的第i個(gè)神經(jīng)元,其梯度可以表示為:
?L/?a_l^i = ∑(?L/?z_L^j * w_L^j * ?z_L^j/?a_l^i) * f'(z_l^i)
這里,我們使用了鏈?zhǔn)椒▌t來計(jì)算梯度。對于權(quán)重w_l^i和偏置b_l^i,它們的梯度可以表示為:
?L/?w_l^i = ?L/?z_l^i * x_{l-1}^i
?L/?b_l^i = ?L/?z_l^i
- 權(quán)重更新
在計(jì)算出梯度后,我們可以使用梯度下降法或其他優(yōu)化算法來更新權(quán)重和偏置。權(quán)重更新的公式如下:
w_l^i = w_l^i - α * ?L/?w_l^i
b_l^i = b_l^i - α * ?L/?b_l^i
其中,α是學(xué)習(xí)率,一個(gè)超參數(shù),用于控制權(quán)重更新的步長。
- 反向傳播算法的實(shí)現(xiàn)
反向傳播算法通常包括以下步驟:
- 初始化網(wǎng)絡(luò)權(quán)重和偏置。
- 對于每個(gè)訓(xùn)練樣本,執(zhí)行前向傳播,計(jì)算輸出層的激活值。
- 計(jì)算損失函數(shù)值。
- 使用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算每個(gè)層的梯度。
- 更新權(quán)重和偏置。
- 重復(fù)步驟2-5,直到滿足停止條件(如達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)或損失函數(shù)值低于某個(gè)閾值)。
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