用實例深入闡述雙端口分析和回歸比分析

負(fù)反饋電路分析最常用的方法是雙端口分析 (TPA) 和回歸比分析 (RRA)，兩者之間的不同之處及相似之處常令人困惑。本設(shè)計實例用大家熟悉的電路實例深入闡述這兩種技術(shù)。

負(fù)反饋電路分析最常見的方法是雙端口分析（TPA）和回歸比（RRA）分析。兩者既有不同，也有相似，常讓人困惑，我將通過熟悉的電路實例來澄清這兩者。在圖1的兩個框圖中，使用下標(biāo)TP和RR來區(qū)分雙端口和回歸比這兩種類型。

具體而言，αTP和αRR是開環(huán)增益，而?TP和?RR是反饋系數(shù)。圖1a假設(shè)是單向塊，圖1b則更通用，因為它還考慮了誤差放大器周圍的饋通（feedthrough），如增益塊αft所表示的。

圖1：（a）雙端口（TP）和（b）回歸比（RR）分析的負(fù)反饋框圖。

雙端口分析（TPA）

取決于sI和sO是電壓還是電流，有四種可能的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖2中的運放所示。在每個分圖題中，連字符前面的一項是指輸入相加的方式（串聯(lián)電壓，并聯(lián)電流），而連字符后面的一項是指反饋網(wǎng)絡(luò)采樣sO以產(chǎn)生反饋信號sF的方式（并聯(lián)電壓，串聯(lián)電流）。對每個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，閉環(huán)增益呈現(xiàn)形式為：

其中：

是環(huán)路增益，Aideal是極限條件（TTP→ ∞）中sO/sI的值，通過使αTP→ ∞得到。另外，反饋系數(shù)是：

圖2：使用運放來說明四種基本反饋拓?fù)洹?/p>

TPA尋求一種會考慮放大器和反饋網(wǎng)絡(luò)之間任何交互（如加載）的αTP表達式。負(fù)反饋將每個端口的開環(huán)電阻rpa轉(zhuǎn)換為閉環(huán)電阻，使這項任務(wù)變得容易：

串聯(lián)情況下為+1，并聯(lián)情況下為-1。如果TTP 足夠大，在串聯(lián)情況下可將R視為開路，在并聯(lián)情況下可將其視為短路。

作為第一個例子，我們將TPA應(yīng)用到圖3a的電流放大器，該電路有：

為得到αTP，我們修改了誤差放大器，如圖3b所示。圖3a中輸入源看到的電阻是Ri= R2/(1 + αv)，負(fù)載看到的電阻是Ro = R1(1 + αv)。對于大的αv，我們期望Ri很小、Ro很大。因此，如果我們將Ro近似為開路（OC），那么從放大器的輸入端口看到的反饋網(wǎng)絡(luò)就是R2 + R1的簡單串聯(lián)組合。同樣，如果我們

圖3：（a）端接于短路負(fù)載的并聯(lián)-串聯(lián)配置；（b）使用TPA查找開環(huán)參數(shù)

αTP、ria,和roa的電路。

將Ri近似為短路（SC），則從放大器輸出端口看到的反饋網(wǎng)絡(luò)就是R2//R1的簡單并聯(lián)組合。因此我們有：

表明開環(huán)增益為：

注意，αTP ≠ αv。簡化后的循環(huán)增益：

重新考慮αv = 10 V/V和R1 = R2 = 10kΩ的例子。帶入上面的等式，給出：

盡管有OC和SC近似值，但通過與直接分析得出的 Aexact = 1.909 A/A相比，這相當(dāng)有利。為確保這種近似性不是偶然的，我們來檢查Ri和Ro的值。通過檢查圖3b，我們有ria=R2+R1和roa=R2//R1。應(yīng)用等式（4），我們得到：

從而證實Ri比電路中的其它電阻小得多，Ro大得多。

回歸比分析（RRA）

這種方法，如圖1b的塊圖所示，可計算閉環(huán)增益：

其中，TRR是環(huán)路增益，Aideal 和αft分別是TRR → ∞和TRR→ 0極限條件下sO/sI的值。這些極限是通過使圖1b中的αRR → ∞ 和αRR → 0來實現(xiàn)。根據(jù)以下流程，得到TRR為誤差放大器的從屬源αRRsE的回歸比：

（a）設(shè)置sI → 0； （b）在從屬源αRRsE的緊下游立即切斷反饋環(huán)； （c）與αRRsE源相同類型和極性的測試信號sT通過電路下游； （d）找到由從屬源本身返回的信號sR； （e）獲得回路增益作為回歸比。

隨著分析的進行，我們發(fā)現(xiàn)將TRR表達為積很方便，類似于公式（2）：

得到反饋系數(shù)βRR：

或更簡單地，βRR=TRR/αRR。

將這個過程應(yīng)用于圖3a的電流放大器，產(chǎn)生了圖4a的電路，通過檢查，我們有vR = αvvD = αv(–vT)，所以：

因此，αRR = αv和βRR = TRR/αRR = 1。使αv → 0，以便得到饋通增益，如圖4b所示。通過檢查，iO = iI，所以，αft= iO/iI = 1 A/A。再考慮αv = 10V/V和R1= R2 = 10kΩ的例子，我們現(xiàn)在有：

對比公式（14）與公式（8），觀察各個T、α和β值的不同。另外，ARR是準(zhǔn)確的，而ATP只是近似。為了符合圖1a中采用單向塊這一假定，TPA通過使TTP = 20（與TRR = 10相比）盡可能地接近Aexact。對于αv的當(dāng)前值來說，使TTP = 21（而非20）將導(dǎo)致ATP = Aexact，這可以很容易驗證。但是，對于饋通變得更相關(guān)的較低值（例如αv=1V/V）來說，它不起作用。 αv = 0時，差異最大，其中，ARR=Aexact=1 V/V，但ATP = 0。

圖4：用于得到圖3a中電流放大器的（a）環(huán)路增益TRR和（b）饋通增益αft的電路。

圖5：（a）并聯(lián)-并聯(lián)配置；（b）得到誤差增益αTP的電路。

更復(fù)雜的例子

我們將這兩種方法應(yīng)用于圖5a的I-V轉(zhuǎn)換器，但是使用具有非無限輸入阻抗ri和非零輸出阻抗ro的更真實的運放模型。正如我們知道的，該電路有：

由于這是一個并聯(lián)-并聯(lián)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以反饋電阻同時為輸入和輸出兩個端口的接地電阻，如圖5b所示。我們有：

表明開環(huán)增益：

再次注意αTP ≠αv。而且，環(huán)路增益為：

對于RRA，請參考圖6的電路，它分別給出：

所以環(huán)路和饋通增益簡化為：

注意，αft和Aideal極性相反。我們針對一種容易想象的特定情況，即αv = 60 V/V和ri= ro = R = 10kΩ，來比較這兩種方法。是的，用一款不太合格的運放，可以更好地顯示其差異。把這些數(shù)據(jù)帶入相關(guān)公式，得到：

圖6：用于得到圖5a中I-V轉(zhuǎn)換器的（a）環(huán)路增益TRR和（b）饋通增益αft的電路。

注意αTP和αRR以及βTP和βRR的幅值、極性和量綱的差別。ATP 和ARR (=Aexact)也有細(xì)微差別。

如果運放ro = 0，根據(jù)公式（18）將不存在饋通。在這種情況下，我們將得到：TTP = TRR = 30，ATP = ARR = –9.677V/mA。如果運放也有ri = ∞，則TTP = TRR = 60，ATP = ARR = –9.836 V/mA。然而，仍然會有很大的差異，即αTP = –600 V/mA和βTP = ?0.1 mA/V，以及αRR = 60 V/V 和βRR = 1。盡管存在差異，這兩個參數(shù)集仍將設(shè)法提供相同的A值！

另外兩個例子

最后我們來看一看圖7a和b的單晶體管電路。圖7c中其共同小信號模型表明，誤差增益基于gm（在運放的盒子中，它是基于αv的）。而且，兩個電路都是串聯(lián)-輸入型的。然而，根據(jù)我們將輸出作為發(fā)射極電壓vo還是作為集電極電流io，分別有并聯(lián)-輸出或串聯(lián)-輸出類型。兩個電路都很簡單，可以直接分析它們。但是，通過TPA和RRA進行研究將更具啟發(fā)性。

圖7：假定gm = 40mA/V，rπ = 2.5kΩ，ro = 40kΩ和R = 1.0kΩ。（a）串聯(lián)-并聯(lián)電路；（b）串聯(lián)-串聯(lián)電路；（c）其共同的小信號模型。

● 圖7a串聯(lián)-并聯(lián)電路的TPA：為得到Aideal，讓gm → ∞，如圖8a所示。這使得vε→ 0或vo → vi，意味著Aideal = 1.0V/V (= 1/βTP)。參照圖8b，通過檢查，我們有vo=gm(R//ro)vε或αTP=vo/vε=gm(R//ro)。帶入數(shù)據(jù)，可以得到：

圖8：用于得到圖7a中串聯(lián)-并聯(lián)電路的（a）Aideal和（b）αTP的電路。

●圖7a串聯(lián)-并聯(lián)電路的RRA：為得到TRR，參見圖9a，其中ir = gmvπ = gm[(-it)(rπ//R//ro)]；為得到αft，參見圖9b，其中vo = vi(R//ro)/[rπ + (R//ro)]。所以：

帶入數(shù)據(jù)，得到：

圖9：用于得到圖7a中串聯(lián)-并聯(lián)電路的（a）TRR和（b）αft的電路。

● 圖7b串聯(lián)-串聯(lián)電路的TPA：為得找Aideal，讓gm → ∞，如圖10a所示。這使得vε→ 0，從而在rπ上產(chǎn)生虛擬短路，所以iR = vi/R。超級節(jié)點處的KCL給出io = iR = vi/R，所以Aideal=io/vi=1/R(=1/βTP)。要得到αTP，按圖10b繼續(xù)。結(jié)果如下：

帶入數(shù)據(jù)，得出：

圖10：用于得到圖7b中串聯(lián)-串聯(lián)電路的（a）TRR和（b）αft的電路。

● 圖7b串聯(lián)-串聯(lián)電路的RRA：為得出TRR，參見圖11a。 這與圖9a相同，所以我們有相同的TRR。要得到αft，按圖11b繼續(xù)。結(jié)果如下：

帶入數(shù)據(jù)，得出：

串聯(lián)-串聯(lián)電路的饋通比串聯(lián)-并聯(lián)電路的小，所以ATP →ARR。

圖11：用于得到圖7b中串聯(lián)-串聯(lián)電路的（a）TRR和（b）αft的電路。

比較TPA和RRA

前面利用以運放和晶體管作為增益元件（運放的增益為αv，晶體管的為gm）的簡單電路，討論了所有四種反饋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。比較過程和結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)：

● RRA比TPA更通用，因為它考慮了誤差放大器周圍的饋通。因此，RRA的結(jié)果是準(zhǔn)確的，而TPA的結(jié)果只是近似。

● 對于高環(huán)路增益，TPA和RRA之間的差別最小，當(dāng)環(huán)路增益下降到零時，差別最大，其中ARR→αft但ATP→0。

● TPA將環(huán)路增益計算為乘積TTP = αTPβTP；RRA將其計算為比值TRR = –vR/vT。

● TPA對四種反饋拓?fù)渲械拿恳环N都使用了不同的雙端口表述，所以一般情況下，不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的αTP、βTP和TTP會不同。

● 相比之下，給定電路的環(huán)路增益TRR與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無關(guān)，而是取決于輸入和輸出信號的類型和位置（但αft通常與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)）。

● 對于誤差放大器和反饋網(wǎng)絡(luò)之間的任何交互（如加載），兩種分析的處理方式都不同。TPA假定βTP = 1/Aideal，然后通過使用OC和SC近似來操控放大器電路以得到αTP，所以通常αTP≠αv(或αTP≠gm)。

● 除打破信號注入環(huán)路之外，RRA不會影響電路的操作。 RRA假定了αRR = αv (或αRR = gm)，它將誤差放大器和反饋網(wǎng)絡(luò)間相互作用的影響轉(zhuǎn)移到反饋網(wǎng)絡(luò)本身，所以通常βRR≠1/Aideal。

● TTP和TRR有時可能相同，但不應(yīng)該把這當(dāng)作常態(tài)。尤其不應(yīng)該使用TRR來計算ATP，或使用TTP計算ARR。例如，在嘗試使用公式（3）時發(fā)生的錯誤。

● RRA感覺更直觀，也更適合實驗室的計算機模擬或測試。另一方面，TPA迫使你以更能揭示放大器和反饋網(wǎng)絡(luò)之間相互作用的方式來剖析電路。