詳解低通濾波器的設(shè)計(jì)

1.兩種濾波器都是數(shù)字濾波器。根據(jù)沖激響應(yīng)的不同，將數(shù)字濾波器分為有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器和無限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器。對(duì)于FIR濾波器，沖激響應(yīng)在有限時(shí)間內(nèi)衰減為零，其輸出僅取決于當(dāng)前和過去的輸入信號(hào)值。對(duì)于IIR濾波器，沖激響應(yīng)理論上應(yīng)會(huì)無限持續(xù)，其輸出不僅取決于當(dāng)前和過去的輸入信號(hào)值，也取決于過去的信號(hào)輸出值。

2.FIR：有限脈沖響應(yīng)濾波器。有限說明其脈沖響應(yīng)是有限的。與IIR相比，它具有線性相位、容易設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)。這也就說明，IIR濾波器具有相位不線性，不容易設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)。而另一方面，IIR卻擁有FIR所不具有的缺點(diǎn)，那就是設(shè)計(jì)同樣參數(shù)的濾波器，F(xiàn)IR比IIR需要更多的參數(shù)。這也就說明，要增加DSP的計(jì)算量。DSP需要更多的計(jì)算時(shí)間，對(duì)DSP的實(shí)時(shí)性有影響。

以下都是低通濾波器的設(shè)計(jì)。

FIR的設(shè)計(jì)：

FIR濾波器的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，就是要設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器去逼近一個(gè)理想的低通濾波器。通常這個(gè)理想的低通濾波器在頻域上是一個(gè)矩形窗。根據(jù)傅里葉變換我們可以知道，此函數(shù)在時(shí)域上是一個(gè)采樣函數(shù)。通常此函數(shù)的表達(dá)式為：

sa（n）＝sin（n∩）/n∏，但是這個(gè)采樣序列是無限的，計(jì)算機(jī)是無法對(duì)它進(jìn)行計(jì)算的。故我們需要對(duì)此采樣函數(shù)進(jìn)行截?cái)嗵幚?。也就是加一個(gè)窗函數(shù)。就是傳說中的加窗。也就是把這個(gè)時(shí)域采樣序列去乘一個(gè)窗函數(shù)，就把這個(gè)無限的時(shí)域采樣序列截成了有限個(gè)序列值。但是加窗后對(duì)此采樣序列的頻域也產(chǎn)生了影響：此時(shí)的頻域便不在是一個(gè)理想的矩形窗，而是成了一個(gè)有過渡帶，阻帶有波動(dòng)的低通濾波器。通常根據(jù)所加的窗函數(shù)的不同，對(duì)采樣信號(hào)加窗后，在頻域所得的低通濾波器的阻帶衰減也不同。通常我們就是根據(jù)此阻帶衰減去選擇一個(gè)合適的窗函數(shù)。如矩形窗、漢寧窗、漢明窗、BLACKMAN窗、凱撒窗等。選擇一個(gè)具體的窗函數(shù) 之后，根據(jù)所設(shè)計(jì)濾波器的參數(shù)來計(jì)算所需的階數(shù)、此窗函數(shù)的表達(dá)式。然后用這個(gè)窗函數(shù)去和采樣序列相乘，就可以得到實(shí)際濾波器的脈沖響應(yīng)。

IIR的設(shè)計(jì)（雙線性變換法）：

IIR的設(shè)計(jì)理念是這樣的：根據(jù)所要設(shè)計(jì)濾波器的參數(shù)去確定一個(gè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)，然后再根據(jù)這個(gè)傳輸函數(shù)，通過雙線性變換、或脈沖響應(yīng)不變法來進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。它的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，復(fù)雜在于它的模擬濾波器傳輸函數(shù)H（s）的確定。這一點(diǎn)我們可以讓軟件來實(shí)現(xiàn)。然后，我們說一下它的具體實(shí)現(xiàn)步驟：首先你要先確定你需要一個(gè)什么樣的濾波器，巴特沃斯型，切比雪夫型，還是其它什么型的濾波器。當(dāng)你選定一個(gè)型號(hào)后，你就可以根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)和這個(gè)濾波器的計(jì)算公式來確定其階數(shù)、傳輸函數(shù)的表達(dá)式。通常這個(gè)過程中還存在預(yù)扭曲的問題（這只是雙線性變換法所需要注意的問題，脈沖響應(yīng)不變法不存在這種問題）。確定H（S）后，就可以通過雙線性變換得到其數(shù)字域的差分方程。

3.對(duì)于IIR和FIR的比較，有些書上有論述。我引用陳懷琛的“數(shù)字信號(hào)處理教程－－MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)”：

從性能上來說，IIR濾波器傳遞函數(shù)包括零點(diǎn)和極點(diǎn)兩組可調(diào)因素，對(duì)極點(diǎn)的惟一限制是在單位圓內(nèi)。因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存儲(chǔ)單元少，計(jì)算量小，效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線性為代價(jià)的。選擇性越好，則相位非線性越嚴(yán)重。FIR濾波器傳遞函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，是不能動(dòng)的，它只能靠改變零點(diǎn)位置來改變它的性能。所以要達(dá)到高的選擇性，必須用較高的階數(shù)；對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可能比IIR濾波器高5-10倍，結(jié)果，成本較高，信號(hào)延時(shí)也較大；如果按線性相位要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣要大大增加濾波器的階數(shù)和復(fù)雜性。而FIR濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線性相位。

從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)來配置極點(diǎn)，并保證極點(diǎn)位置在單位圓內(nèi)。由于有限字長(zhǎng)效應(yīng)，運(yùn)算過程中將對(duì)系數(shù)進(jìn)行舍入處理，引起極點(diǎn)的偏移。這種情況有時(shí)會(huì)造成穩(wěn)定性問題，甚至產(chǎn)生寄生振蕩。相反，F(xiàn)IR濾波器只要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上還是在實(shí)際的有限精度運(yùn)算中都不存在穩(wěn)定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外FIR濾波器可以采用快速傅里葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運(yùn)算速度可以快得多。

另外，也應(yīng)看到，IIR濾波器雖然設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但主要是用于設(shè)計(jì)具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，尤其是他易于適應(yīng)某些特殊應(yīng)用，如構(gòu)成數(shù)字微分器或希爾波特變換器等，因而有更大的適應(yīng)性和廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。

從上面的簡(jiǎn)單比較可以看到IIR與FIR濾波器各有所長(zhǎng)，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求上來看，在對(duì)相位要求不敏感的場(chǎng)合，如語(yǔ)言通信等，選用IIR較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)高效的特點(diǎn)；對(duì)于圖像信號(hào)處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對(duì)線性相位要求較高。如果有條件，采用FIR濾波器較好。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中可能還要考慮更多方面的因素。

不論IIR和FIR，階數(shù)越高，信號(hào)延遲越大；同時(shí)在IIR濾波器中，階數(shù)越高，系數(shù)的精度要求越高，否則很容易造成有限字長(zhǎng)的誤差使極點(diǎn)移到單位園外。因此在階數(shù)選擇上是綜合考慮的。

IIR濾波器（切比雪夫?yàn)V波）各濾波器比較（IIR和FIR，數(shù)字和模擬） 第19，20，21章內(nèi)容，主要講IIR濾波器和濾波器的比較

IIR濾波不使用卷積運(yùn)算，而是用遞歸(recursive)運(yùn)算，因此執(zhí)行速度很快，但在性能上不一定比FIR濾波好。IIR的沖擊響應(yīng)由衰減性指數(shù)信號(hào)構(gòu)成。

IIR輸入輸出的遞推關(guān)系式為：

IIR遞歸系數(shù)和其頻率響應(yīng)之間的關(guān)系可以通過Z變換來轉(zhuǎn)換，Z變換在此不涉及。

通過取不同的遞歸系數(shù)（下圖中的a和b），就可以實(shí)現(xiàn)不同的濾波：

當(dāng)然這是最簡(jiǎn)單的應(yīng)用，遞歸系數(shù)的取法有一定的講究和公式，這里略了。

FIR可以做到是線性相位的，即沖擊響應(yīng)是左右對(duì)稱的，而IIR通常是非線性相位的。這是因?yàn)镕IR在設(shè)計(jì)的時(shí)候就確定了其時(shí)域波形和頻響，而IIR在設(shè)計(jì)中確定的是遞歸的系數(shù)，并不能決定其波形是什么樣子的。

為了使IIR實(shí)現(xiàn)線性相位，可以進(jìn)行雙向運(yùn)算，如下圖所示：

切比雪夫?yàn)V波

切比雪夫(Chebyshev)濾波是應(yīng)用在頻域上分頻的，性能上當(dāng)然不能和sinc窗函數(shù)濾波相比，但是它速度很快。

The Chebyshev response is a mathematical strategy for achieving a faster roll-off by allowing ripple in the frequency response. As the ripple increases (bad), the roll-off becomes sharper (good).

對(duì)于極點(diǎn)的理解：

極點(diǎn)越多，性能越好。

通過查表可以確定濾波器的系數(shù)。

各種濾波器比較

1.模擬vs數(shù)字

如果信號(hào)需要濾波，是在模擬階段濾波呢？還是數(shù)字化之后濾波？

下圖做了比較，可以看到數(shù)字濾波有著模擬濾波難以達(dá)到的性能，但是速度慢，而且模擬濾波的幅度以及頻率的動(dòng)態(tài)范圍更大。

本例中模擬濾波的實(shí)現(xiàn)：

2.sinc窗函數(shù)vs切比雪夫

下圖做了比較

sinc窗函數(shù)是用卷積來運(yùn)算，而切比雪夫是用遞歸方程。當(dāng)然卷積可以用fft卷積來做，即先DFT然后頻域四則運(yùn)算再DFT逆變換，這能提高速度，但是還是沒有遞歸方程快。另一方面sinc窗函數(shù)的濾波性能可以做的很好。

3.滑動(dòng)平均vs單極點(diǎn)