機器學習中低精度計算產(chǎn)生高準確度結(jié)果的解決方案

有人認為，用低精度訓練機器學習模型會限制訓練的精度，事實真的如此嗎？本文中，斯坦福大學的DAWN人工智能研究院介紹了一種名為bit recentering的技術(shù)，它可以用低精度的計算實現(xiàn)高準確度的解決方案。以下是論智對原文的編譯，文末附原論文地址。

低精度計算在機器學習中已經(jīng)吸引了大量關(guān)注。一些公司甚至已經(jīng)開始研發(fā)能夠原生支持并加速低精度操作的硬件了，比如微軟的腦波計劃（Project Brainwave）和谷歌的TPU。雖然使用低精度計算對系統(tǒng)來說有很多好處，但是低精度方法仍然主要用于推理，而非訓練。此前，低精度訓練算法面臨著一個基本困境（fundamental tradeoff）：當使用較少的位進行計算時，舍棄誤差就會增加，這就限制了訓練的準確度。根據(jù)傳統(tǒng)觀點，這種制約限制了研究人員在系統(tǒng)中部署低精度訓練算法的能力，但是這種限制能否改變？是否有可能設(shè)計一種使用低精度卻不會限制準確度的算法呢？

答案是肯定的。在某些情況下我們可以從低精度訓練中獲得高準確度的解決方案，在這里我們使用了一種新的隨機梯度下降方法，稱為高準確度低精度（HALP）法。HALP比之前的算法表現(xiàn)更好，因為它減少了兩個限制低精度隨機梯度下降準確度的噪聲源：梯度方差和舍棄誤差。

為了減少梯度方差帶來的噪音，HALP使用常見的SVRG（stochastic variance-reduced gradient）技術(shù)。SVRG能定期使用完全梯度來減少隨機梯度下降中使用的梯度樣本的方差。

為了降低量化數(shù)字帶來的噪聲，HALP使用了名為“bit centering”的新技術(shù)，它背后的原理是，當我們接近最優(yōu)點時，梯度漸變的幅度變小。也就是說攜帶的信息變少，于是我們能對其進行壓縮。通過動態(tài)地重新調(diào)整低精度數(shù)字，我們可以在算法收斂時降低量化噪聲。

將這兩種技術(shù)結(jié)合，HALP能夠以和全精度SVRG同樣的線性收斂率生成任意準確地解決方案，同時在低精度迭代時使用的是固定位數(shù)。這個結(jié)果顛覆了有關(guān)低精度訓練算法的傳統(tǒng)觀點。

為什么低精度的隨機梯度下降有所限制？

首先先交代一下背景：我們想要解決以下這個訓練問題：

這是用來訓練許多機器學習模型（包括深度神經(jīng)網(wǎng)絡）的經(jīng)典實證問題：讓風險最小化。解決這個問題的標準方法之一是隨機梯度下降，它是一種通過運行接近最佳值的迭代算法。

在每次迭代時，it是從{1,..., N}中隨機挑選的一個指數(shù)，我們雖然想運行這樣的算法，但是要保證迭代wt是低精度的。也就是說，我們希望它們使用較少位的定點運算（通常為8位或16位）。但是，當直接對隨機梯度下降更新規(guī)則而進行這項操作時，我們遇到了問題：問題的解決方案w可能無法再選中的定點表示中顯示出來。例如，如果一個8位的定點表示，可以儲存{-128，-127，…，127}之間的整數(shù)，正確的解決方法是w*=100.5，那么我們與解決方案的距離不可能小于0.5，因為我們不能表示非整數(shù)。除此之外，將梯度轉(zhuǎn)換為定點導致的舍棄誤差可能會減慢收斂速度，這也影響了低精度SGD的準確性。

Bit Centering

當我們運行隨機梯度下降時，在某種意義上，我們世紀正對一堆梯度樣本進行平均（或總結(jié)）。Bit Centering背后的關(guān)鍵思想是隨著梯度漸變逐漸變小，我們可以用同樣的位數(shù)、以較小的誤差對它們求平均值。想要知道為什么，想像一下，你想對[-100, 100]之間的數(shù)字求平均值，然后和[-1, 1]的平均值作比較。在前一個集合中，我們需要選擇一個定點表示，它可以覆蓋整個集合（例如{-128，-127，…，127}）。而在第二個集合中，我們選擇的定點要覆蓋[-1, 1]，例如{-128/127,-127/127,..., 126/127,127/127}。這就意味著在固定位數(shù)情況下，第二種情況中的相鄰可表示數(shù)字之間的差值比第一種情況更小，因此舍棄誤差也更低。

這個關(guān)鍵的想法讓我們得到了啟發(fā)。為了在[-1, 1]中求出比[-100, 100]中更少誤差的平均數(shù)，我們需要用一個不同的定點表示，即我們應該不斷更新低精度表示：隨著梯度漸變得越小，我們應該用位數(shù)更小的定點數(shù)字，覆蓋更小的范圍。

但是我們該如何更新表示呢？我們要覆蓋的范圍到底多大？如果目標是帶有參數(shù)μ的強凸，那么不管我們何時在某一點w采取完整的梯度漸變是，都可以用以下公式限制最佳位置

這種不等式為最終的解決方案提供了一系列可能的定位，所以無論何時計算完整梯度，我們都可以重新居中并縮放低精度表示以覆蓋此范圍。下圖說明了這一過程。

HALP

HALP是運行SVRG并在每個時期都使用具有完全梯度的bit centering更新低精度表示的算法。原論文有對這一方法的具體描述，在這里我們只簡單做些介紹。首先，我們證明了，對于強凸的Lipschitz光滑函數(shù)，只要我們使用的位數(shù)b滿足

其中κ是該問題的條件數(shù)字，那么為了適當設(shè)置尺寸和時間長度，HALP將以線性速度收斂到任意準確度的解。更顯然的是，0＜γ＜1，

其中wk+1表示第K次迭代后的值。下表表現(xiàn)了這一變化過程

圖表通過對具有100個特征和1000個樣本的合成數(shù)據(jù)集進行線性回歸，來評估HALP。將它與全精度梯度下降、SVRG、低精度的梯度下降和低精度的SVRG進行比較。需要注意的是，盡管只有8位（受到浮點錯誤的限制），HALP仍能收斂到精度非常高的結(jié)果上。在這種情況下，HALP可以比全精度SVRG收斂到更高精度的結(jié)果中，因為HALP較少使用浮點運算，因此對浮點的非準確性不敏感。