樸素貝葉斯算法詳細(xì)總結(jié)

樸素貝葉斯法是基于貝葉斯定理與特征條件獨(dú)立假設(shè)的分類方法，是經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法之一，處理很多問題時直接又高效，因此在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如垃圾郵件過濾、文本分類等。也是學(xué)習(xí)研究自然語言處理問題的一個很好的切入口。樸素貝葉斯原理簡單，卻有著堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，對于剛開始學(xué)習(xí)算法或者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的同學(xué)們來說，還是會遇到一些困難，花費(fèi)一定的時間。比如小編剛準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的時候，看到貝葉斯公式還是有點(diǎn)小害怕的，也不知道自己能不能搞定。至此，人工智能頭條特別為大家尋找并推薦一些文章，希望大家在看過學(xué)習(xí)后，不僅能消除心里的小恐懼，還能高效、容易理解的get到這個方法，從中獲得啟發(fā)沒準(zhǔn)還能追到一個女朋友，脫單我們是有技術(shù)的。

貝葉斯分類是一類分類算法的總稱，這類算法均以貝葉斯定理為基礎(chǔ)，故統(tǒng)稱為貝葉斯分類。而樸素樸素貝葉斯分類是貝葉斯分類中最簡單，也是常見的一種分類方法。這篇文章我盡可能用直白的話語總結(jié)一下我們學(xué)習(xí)會上講到的樸素貝葉斯分類算法，希望有利于他人理解。

▌分類問題綜述

對于分類問題，其實(shí)誰都不會陌生，日常生活中我們每天都進(jìn)行著分類過程。例如，當(dāng)你看到一個人，你的腦子下意識判斷他是學(xué)生還是社會上的人；你可能經(jīng)常會走在路上對身旁的朋友說“這個人一看就很有錢、”之類的話，其實(shí)這就是一種分類操作。

既然是貝葉斯分類算法，那么分類的數(shù)學(xué)描述又是什么呢？

從數(shù)學(xué)角度來說，分類問題可做如下定義：

已知集合C=y1,y2,……,yn和I=x1,x2,……,xn確定映射規(guī)則y=f()，使得任意xi∈I有且僅有一個yi∈C，使得yi∈f(xi)成立。

其中C叫做類別集合，其中每一個元素是一個類別，而I叫做項(xiàng)集合（特征集合），其中每一個元素是一個待分類項(xiàng)，f叫做分類器。分類算法的任務(wù)就是構(gòu)造分類器f。

分類算法的內(nèi)容是要求給定特征，讓我們得出類別，這也是所有分類問題的關(guān)鍵。那么如何由指定特征，得到我們最終的類別，也是我們下面要講的，每一個不同的分類算法，對應(yīng)著不同的核心思想。

本篇文章，我會用一個具體實(shí)例，對樸素貝葉斯算法幾乎所有的重要知識點(diǎn)進(jìn)行講解。

▌樸素貝葉斯分類

那么既然是樸素貝葉斯分類算法，它的核心算法又是什么呢？

是下面這個貝葉斯公式：

換個表達(dá)形式就會明朗很多，如下:

我們最終求的p(類別|特征)即可！就相當(dāng)于完成了我們的任務(wù)。

▌例題分析

下面我先給出例子問題。

給定數(shù)據(jù)如下：

現(xiàn)在給我們的問題是，如果一對男女朋友，男生想女生求婚，男生的四個特點(diǎn)分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進(jìn)，請你判斷一下女生是嫁還是不嫁？

這是一個典型的分類問題，轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題就是比較p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)))與p(不嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)))的概率，誰的概率大，我就能給出嫁或者不嫁的答案！

這里我們聯(lián)系到樸素貝葉斯公式：

我們需要求p(嫁|(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)),這是我們不知道的，但是通過樸素貝葉斯公式可以轉(zhuǎn)化為好求的三個量：

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)|嫁)、

p（不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn))、

p(嫁)（至于為什么能求，后面會講，那么就太好了，將待求的量轉(zhuǎn)化為其它可求的值，這就相當(dāng)于解決了我們的問題?。?/p>

▌樸素貝葉斯算法的樸素一詞解釋

那么這三個量是如何求得？

是根據(jù)已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)統(tǒng)計得來，下面詳細(xì)給出該例子的求解過程。

回憶一下我們要求的公式如下：

那么我只要求得p(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)|嫁)、p（不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn))、p(嫁)即可，好的，下面我分別求出這幾個概率，最后一比，就得到最終結(jié)果。

p(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)|嫁) = p(不帥|嫁)*p(性格不好|嫁)*p(身高矮|嫁)*p(不上進(jìn)|嫁)，那么我就要分別統(tǒng)計后面幾個概率，也就得到了左邊的概率！

等等，為什么這個成立呢？學(xué)過概率論的同學(xué)可能有感覺了，這個等式成立的條件需要特征之間相互獨(dú)立吧！

對的！這也就是為什么樸素貝葉斯分類有樸素一詞的來源，樸素貝葉斯算法是假設(shè)各個特征之間相互獨(dú)立，那么這個等式就成立了！

但是為什么需要假設(shè)特征之間相互獨(dú)立呢？

1、我們這么想，假如沒有這個假設(shè)，那么我們對右邊這些概率的估計其實(shí)是不可做的，這么說，我們這個例子有4個特征，其中帥包括，性格包括，身高包括，上進(jìn)包括，那么四個特征的聯(lián)合概率分布總共是4維空間，總個數(shù)為2*3*3*2=36個。

24個，計算機(jī)掃描統(tǒng)計還可以，但是現(xiàn)實(shí)生活中，往往有非常多的特征，每一個特征的取值也是非常之多，那么通過統(tǒng)計來估計后面概率的值，變得幾乎不可做，這也是為什么需要假設(shè)特征之間獨(dú)立的原因。

2、假如我們沒有假設(shè)特征之間相互獨(dú)立，那么我們統(tǒng)計的時候，就需要在整個特征空間中去找，比如統(tǒng)計p(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)|嫁)

我們就需要在嫁的條件下，去找四種特征全滿足分別是不帥，性格不好，身高矮，不上進(jìn)的人的個數(shù)，這樣的話，由于數(shù)據(jù)的稀疏性，很容易統(tǒng)計到0的情況。 這樣是不合適的。

根據(jù)上面?zhèn)z個原因，樸素貝葉斯法對條件概率分布做了條件獨(dú)立性的假設(shè)，由于這是一個較強(qiáng)的假設(shè)，樸素貝葉斯也由此得名！這一假設(shè)使得樸素貝葉斯法變得簡單，但有時會犧牲一定的分類準(zhǔn)確率。

好的，上面我解釋了為什么可以拆成分開連乘形式。那么下面我們就開始求解！

我們將上面公式整理一下如下：

下面我將一個一個的進(jìn)行統(tǒng)計計算（在數(shù)據(jù)量很大的時候，根據(jù)中心極限定理，頻率是等于概率的，這里只是一個例子，所以我就進(jìn)行統(tǒng)計即可）。

p(嫁)=？

首先我們整理訓(xùn)練數(shù)據(jù)中，嫁的樣本數(shù)如下：

則 p(嫁) = 6/12（總樣本數(shù)） = 1/2

p(不帥|嫁)=？統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(不帥|嫁) = 3/6 = 1/2

p(性格不好|嫁)= ？統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(性格不好|嫁)= 1/6

p（矮|嫁） = ?統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(矮|嫁) = 1/6

p(不上進(jìn)|嫁) = ?統(tǒng)計滿足樣本數(shù)如下：

則p(不上進(jìn)|嫁) = 1/6

下面開始求分母，p(不帥)，p（性格不好），p（矮），p（不上進(jìn)）

統(tǒng)計樣本如下：

不帥統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（不帥） = 4/12 = 1/3

性格不好統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（性格不好） = 4/12 = 1/3

身高矮統(tǒng)計如上紅色所示，占7個，那么p（身高矮） = 7/12

不上進(jìn)統(tǒng)計如上紅色所示，占4個，那么p（不上進(jìn)） = 4/12 = 1/3

到這里，要求p(不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)|嫁)的所需項(xiàng)全部求出來了，下面我?guī)脒M(jìn)去即可，

=(1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

下面我們根據(jù)同樣的方法來求p(不嫁|不帥，性格不好，身高矮，不上進(jìn))，完全一樣的做法，為了方便理解，我這里也走一遍幫助理解。首先公式如下：

下面我也一個一個來進(jìn)行統(tǒng)計計算，這里與上面公式中，分母是一樣的，于是我們分母不需要重新統(tǒng)計計算！

p(不嫁)=？根據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p(不嫁)=6/12 = 1/2

p(不帥|不嫁)= ？統(tǒng)計滿足條件的樣本如下（紅色為滿足條件）：

則p(不帥|不嫁)= 1/6

p(性格不好|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p(性格不好|不嫁) =3/6 = 1/2

p(矮|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（矮|不嫁） = 6/6 = 1

p(不上進(jìn)|不嫁)= ？據(jù)統(tǒng)計計算如下（紅色為滿足條件）：

則p（不上進(jìn)|不嫁） = 3/6 = 1/2

那么根據(jù)公式：

p(不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn)) =((1/6*1/2*1*1/2)*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

很顯然 (1/6*1/2*1*1/2) > (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)

于是有p(不嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn))>p(嫁|不帥、性格不好、身高矮、不上進(jìn))

所以我們根據(jù)樸素貝葉斯算法可以給這個女生答案，是不嫁?。。?！

▌樸素貝葉斯分類的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：

算法邏輯簡單,易于實(shí)現(xiàn)

分類過程中時空開銷小

缺點(diǎn)：

理論上，樸素貝葉斯模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。但是實(shí)際上并非總是如此，這是因?yàn)闃闼刎惾~斯模型假設(shè)屬性之間相互獨(dú)立，這個假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中往往是不成立的，在屬性個數(shù)比較多或者屬性之間相關(guān)性較大時，分類效果不好。

而在屬性相關(guān)性較小時，樸素貝葉斯性能最為良好。對于這一點(diǎn)，有半樸素貝葉斯之類的算法通過考慮部分關(guān)聯(lián)性適度改進(jìn)。

整個例子詳細(xì)的講解了樸素貝葉斯算法的分類過程，希望對大家的理解有幫助~

上文中我們已經(jīng)根據(jù)樸素貝葉斯算法給出了當(dāng)一個男生想他的女朋友求婚，女生是否嫁給他的答案！

這個男生的四個特征是長相不帥，性格不好，身高矮，不上進(jìn)，我們最終得出的結(jié)論是女生不嫁！很多人說這是一道送分題，哈哈哈哈。我們用數(shù)學(xué)算法也說明了不靠譜是取不到老婆滴！

那么我們再來一個例子，假如此時另外一對情侶，這對情侶中，男生的四個特征是，長相帥，性格爆好，身高高，上進(jìn)，那么他的女朋友嫁還是不嫁呢？可能又會有小伙伴說這是一道送分題，是不是，我們下面用事實(shí)說話！

下面通過例子來引出拉普拉斯平滑過程！

▌從例子開始

還是下面的訓(xùn)練數(shù)據(jù)：

四個特征集合分別長相{帥，不帥}、性格{爆好，好，不好}、身高{高，中，矮}、上進(jìn)與否{上進(jìn)，不上進(jìn)}

我們此時要求出該男生在四個特征分別是長相帥，性格爆好，身高高，上進(jìn)的情況下，他對應(yīng)的嫁與不嫁的概率誰大誰小，從而得出結(jié)論！

也就是要比較p(嫁|長相帥，性格爆好，身高高，上進(jìn))與p(不嫁|長相帥，性格爆好，身高高，上進(jìn))的概率大小。

按照樸素貝葉斯算法公式，我們可以得到如下公式：

由于兩者的分母都是p(長相帥)、p(性格爆好)、p(身高高)、p（上進(jìn)）,那么我們可以不算分母，比較的時候只比較倆個公式分子大小即可。

好的，下面我們開始計算，先計算在四個特征的條件下，嫁的概率。

我們需要分別計算p（性格爆好|嫁）、p(長相帥|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上進(jìn)|嫁)

首先我們來算p(性格爆好|嫁)=？我們觀察訓(xùn)練數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)如下：

居然沒有一個數(shù)據(jù)有爆好這個特點(diǎn)的，那么p（性格爆好|嫁） = 0，那么我們可以看出問題了，根據(jù)公式：

我們最后的p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn))由于一項(xiàng)p（性格爆好|嫁）為0，而造成整個概率為0，這顯然是錯誤的。

而這個錯誤的造成是由于訓(xùn)練量不足，會令分類器質(zhì)量大大降低。為了解決這個問題，我們引入Laplace校準(zhǔn)（這就引出了我們的拉普拉斯平滑），它的思想非常簡單，就是對每個類別下所有劃分的計數(shù)加1，這樣如果訓(xùn)練樣本集數(shù)量充分大時，并不會對結(jié)果產(chǎn)生影響，并且解決了上述頻率為0的尷尬局面。

引入拉普拉斯平滑的公式如下：

其中ajl，代表第j個特征的第l個選擇，Sj代表第j個特征的個數(shù)，K代表種類的個數(shù)。

λ為1，這也很好理解，加入拉普拉斯平滑之后，避免了出現(xiàn)概率為0的情況，又保證了每個值都在0到1的范圍內(nèi)，又保證了最終和為1的概率性質(zhì)！

我們可以通過下面例子更加深刻的理解這個公式：（現(xiàn)在我們是加入拉普拉斯平滑）

▌加入拉普拉斯平滑

我們先需要分別計算p（性格爆好|嫁）、p(長相帥|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上進(jìn)|嫁)，p(嫁)

p(性格爆好|嫁)=？統(tǒng)計滿足要求的如下面紅色部分

沒有一個滿足是性格爆好的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的個數(shù)為爆好，好，不好，三種情況，那么Sj為3，則最終概率為1/9 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p(長相帥|嫁)=？統(tǒng)計滿足條件的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,長相特征的個數(shù)為帥，不帥，兩種情況，那么Sj為2，則最終概率p(長相帥|嫁)為4/8 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（身高高|嫁） = ？統(tǒng)計滿足條件的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,身高特征的個數(shù)為高，中，矮情況，那么Sj為3，則最終概率p(身高高|嫁)為4/9 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（上進(jìn)|嫁)=？統(tǒng)計滿足要求的如下面紅色部分：

由上圖可知滿足要求的為5個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上進(jìn)特征的個數(shù)為上進(jìn)，不上進(jìn)情況，那么Sj為2，則最終概率p(上進(jìn)|嫁)為6/8 （嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p(嫁) = ？滿足要求的如下紅色標(biāo)注：

由上圖可知滿足要求的為6個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,種類的個數(shù)為嫁，不嫁情況，那么K為2，則最終概率p(嫁)為7/14 = 1/2 （嫁的個數(shù)為6+種類個數(shù)為2）

到這里為止，我們已經(jīng)算出了在該男生條件下，嫁的概率為：

p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn)) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2

下面我們需要算出p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn))的概率，然后與上面的數(shù)值進(jìn)行比較即可，算法與上面完全一模一樣！這里也走一遍。

我們需要估計出p(長相帥|不嫁)、p(性格爆好|不嫁)、p(身高高|不嫁)、p（上進(jìn)|不嫁），p（不嫁）的概率分別為多少。

p（長相帥|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標(biāo)注：

由上圖可知滿足要求的為5個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,長相帥特征的個數(shù)為不帥，帥情況，那么Sj為2，則最終概率p(長相不帥|不嫁)為6/8 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（性格爆好|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標(biāo)注：

沒有一個滿足是性格爆好的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,性格特征的個數(shù)為爆好，好，不好，三種情況，那么Sj為3，則最終概率p（性格爆好|不嫁）為1/9 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（身高高|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標(biāo)注：

沒有一個滿足是身高高的條件，但是此時概率不為0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，身高特征的個數(shù)為高，中，矮，三種情況，那么Sj為3，則最終概率p(身高高|不嫁)為1/9 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為3）

p（上進(jìn)|不嫁）=？滿足要求如下面紅色標(biāo)注：

由上圖可知滿足要求的為3個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式,上進(jìn)特征的個數(shù)為上進(jìn)，不上進(jìn)情況，那么Sj為2，則最終概率p(上進(jìn)|不嫁)為4/8 （不嫁的個數(shù)為6+特征個數(shù)為2）

p（不嫁）=？滿足要求的如紅色標(biāo)注：

由上圖可知滿足要求的為6個，按照加入拉普拉斯平滑后的公式，種類的個數(shù)為嫁，不嫁情況，那么K為2，則最終概率p(不嫁)為7/14 = 1/2 （不嫁的個數(shù)為6+種類個數(shù)為2）

到這里為止，我們已經(jīng)算出了在該男生條件下，不嫁的概率為：

p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn)) = 5/8*1/9*1/9*3/8*1/2

▌結(jié)論

于是我們可以得到

p(嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn)) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2 > p(不嫁|長相帥、性格爆好、身高高、上進(jìn)) = 6/8*1/9*1/9*4/8*1/2

于是我們可以大膽的告訴女生，這樣的好男人，貝葉斯告訴你了，該嫁?。?！

這就是我們使用拉普拉斯平滑后計算的整個算法過程！

希望對大家的理解有幫助~歡迎大家指錯交流！