阻抗、過渡邊界條件和完美電導(dǎo)體邊界條件

金屬是一種高導(dǎo)電材料，能夠非常好地反射入射的電磁波—光、微波及無線電波。當(dāng)通過 RF 模塊和波動光學(xué)模塊模擬頻域電磁波問題時，您可以通過其中的幾個選項(xiàng)來模擬金屬物體。這里，我們將介紹阻抗、過渡邊界條件和完美電導(dǎo)體邊界條件，并說明每類條件何時使用。

什么是金屬？

對于什么是金屬這個問題，我們可以從用于求解電磁波問題的 Maxwell 控制方程組開始。考慮以下頻域形式的 Maxwell 方程組：

上述方程通過 RF 模塊和波動光學(xué)模塊的電磁波，頻域接口求解。方程求解了工作（角）頻率?下的電場?。其他輸入項(xiàng)包括以下材料屬性：?是?相對磁導(dǎo)率、?是?相對介電常數(shù)，?是電導(dǎo)率。

出于本文的討論目的，我們將假設(shè)集膚深度相對較小且有損耗的材料都是金屬。有損耗材料指任何介電常數(shù)或磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)值、或電導(dǎo)率非零的材料。也就是說，有損耗材料會向控制方程引入一個虛數(shù)值項(xiàng)。這會在材料內(nèi)產(chǎn)生電流，集膚深度是電流進(jìn)入材料內(nèi)深度的測量指標(biāo)。

工作頻率非零時，電磁感應(yīng)都會將有損耗材料中的電流推向邊界處。集膚深度是指電流減小到 63% 時進(jìn)入材料的距離，可以通過以下公式計算：

其中?和??都可以是復(fù)數(shù)值。

在極高的頻率（接近光學(xué)波段）下，材料接近等離子共振，我們實(shí)際上會通過復(fù)數(shù)值介電常數(shù)來表征金屬。但當(dāng)在低于這些頻率下對金屬進(jìn)行模擬時，我們可以假設(shè)介電常數(shù)為一、磁導(dǎo)率為實(shí)數(shù)值，電導(dǎo)率非常高。因此上述方程可以簡化為：

不過在您開始利用 COMSOL Multiphysics 進(jìn)行模擬前，首先應(yīng)計算或粗略估算所有模擬材料的集膚深度。集膚深度和零件尺寸信息，這兩點(diǎn)將確定能否使用阻抗邊界條件或過渡邊界條件。

阻抗邊界條件

既然已經(jīng)知道了集膚深度，我們希望能將該值與模擬物體的特征尺寸進(jìn)行對比。有幾種定義方式。根據(jù)具體情況，特征尺寸可以定義為體積與表面積的比值，或模擬物體最薄部分的厚度。

我們假設(shè)一個的物體；也就是說，物體遠(yuǎn)大于集膚深度。雖然會有電流進(jìn)入物體內(nèi)部，但集膚效應(yīng)會將這些電流推到表面上。因此，從模擬的角度來看，我們可以將電流看作在表面上方流動。此時就可以使用阻抗邊界條件，它會將邊界“背后”的所有材料處理為無限大。從電磁波的角度來看，這一點(diǎn)成立，因?yàn)?img src="http://file.elecfans.com/web1/M00/5C/5A/o4YBAFt07v6Afd53AAAB4HDN93Q794.png" />?說明波不會穿透物體。

如果集膚深度遠(yuǎn)小于物體，就可以使用阻抗邊界條件。

借助阻抗邊界條件 (IBC)，我們可以假定電流完全在表面之上，因此不必再模擬模型金屬域內(nèi)任何部分的 Maxwell 方程組。所以，不必再對這些域的內(nèi)部進(jìn)行網(wǎng)格剖分，并能顯著減少計算工作量。此外，IBC 還計算了由有限電導(dǎo)率造成的損耗。對于 IBC 適用情況以及與解析結(jié)果的對比，您可以查看腔體諧振器的 Q 因子和諧振頻率教程案例。

隨著，IBC 將逐漸更精確；對于類似球體的光滑物體，即使?，它仍能保持精確。對于類似楔形的鋒利物體，拐角處會略微不精確，這屬于局部影響，也是向模擬引入尖角后的一個固有問題。

現(xiàn)在，如果我們要處理類似鋁箔這種一個維度遠(yuǎn)小于其他維度的物體呢？此時，一個方向上的集膚深度可能會與厚度相當(dāng)，因此電磁場將部分穿透材料。此時就不再適合使用 IBC，我們將使用過渡邊界條件。

過渡邊界條件

過渡邊界條件 (TBC) 適用于模擬物體的厚度與特征尺寸和曲率相比較小的導(dǎo)電材料層。即使厚度是集膚深度的數(shù)倍，還是可以使用 TBC。

TBC 會將材料屬性及膜厚度作為輸入項(xiàng)，并通過膜厚度及切向阻抗來計算阻抗。這些可以用于將膜兩側(cè)表面的電流關(guān)聯(lián)起來。也就是說，TBC 會造成所傳輸電場的下降。

從計算的角度來看，為了計算 TBC 兩側(cè)的電場，邊界處的自由度數(shù)將增加一倍，如下圖所示。此外，還將計算通過膜厚度的總損耗。有關(guān)該邊界條件使用的示例，您可以查看分光器教程案例，它利用一個復(fù)數(shù)值介電常數(shù)模擬了銀薄層。

過渡邊界條件會計算邊界兩側(cè)的表面電流。

增加表面粗糙度

截至目前，TBC 和 IBC 都假定表面是完美的。我們一般認(rèn)為平面邊界在幾何上是完美的。彎曲邊界可以在所用有限元網(wǎng)格的精度內(nèi)被解析，即幾何的離散誤差。

與平滑表面相比，粗糙表面會阻礙電流。

但所有真實(shí)表面都存在一定的粗糙度，而且可能很大。表面的不完美將影響電流的純切向流動，并會有效降低表面電導(dǎo)率（如上圖所示）。在 COMSOL 軟件中，我們可以通過向 IBC 和 TBC 條件增加表面粗糙度特征來分析該影響。

對于 IBC，輸入是表面高度粗糙度的均方根 (RMS)。對于 TBC，輸入為膜厚度變化的均方根。粗糙度的幅值應(yīng)大于集膚深度，并遠(yuǎn)小于零件的特征尺寸。表面的等效電導(dǎo)率會隨粗糙度的升高而降低，如 E. Hammerstad 和 O. Jensen 在 “微帶線計算機(jī)輔助設(shè)計的精確模型” 論文中的介紹。雪球模型是第二個粗糙度模型，用到了 P. G. Huray 在“信號完整性基礎(chǔ)” 中提到的關(guān)系式。

完美電導(dǎo)體邊界條件

我們還應(yīng)該再分析一種理想化的情況 — 完美電導(dǎo)體 (PEC) 邊界條件。對于無線電和微波領(lǐng)域的許多應(yīng)用而言，金屬邊界處的損耗要遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)的其他損耗。例如在微波電路中，電介質(zhì)基板處的損耗通常遠(yuǎn)大于任何金屬噴鍍處的損耗。

PEC 邊界是一種無損耗表面；能夠 100% 反射入射波。該邊界條件可以滿足許多模擬需求，可以用在模型開發(fā)的早期階段。有時，查看您的設(shè)備在零材料損耗下的表現(xiàn)也會很有意思。

此外，您可以將 PEC 邊界條件作為對稱條件使用，簡化您的模擬。根據(jù)對場的預(yù)先判斷，您可以使用 PEC 邊界條件以及其補(bǔ)充，完美磁導(dǎo)體 (PMC) 邊界條件，來使電場強(qiáng)制對稱。計算完美導(dǎo)體球的雷達(dá)截面教程案例介紹了如何將 PEC 和 PMC 邊界條件作為對稱條件使用。

最后，COMSOL Multiphysics 中還包括表面電流、磁場和電場邊界條件。提供這些條件主要是考慮數(shù)學(xué)上的完整性，因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)也無法事先得知表面上的電流和電場。

小結(jié)

在本篇文章中，我們重點(diǎn)介紹了如何借助阻抗、過渡及完美電導(dǎo)體邊界條件來模擬金屬表面，并說明了每種邊界的應(yīng)用場景。不過，如果您無法使用其中任意一種邊界條件呢？或者您模擬零件的特征尺寸與集膚深度類似？此時，您將不能再使用邊界條件；您需要顯式模擬金屬域，類似于對其他所有材料的處理。這是該系列的下一個主題，請繼續(xù)關(guān)注。