今天,來看一看連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建(或者稱為信號(hào)的恢復(fù))。首先呢,來嘮一嘮,“重建”或者稱為“恢復(fù)”是何意?不知道大家如何想的,反正我在當(dāng)學(xué)生學(xué)這部分內(nèi)容時(shí),我的感覺是,好不容易采樣了,為啥又去恢復(fù)?這不吃飽了撐的嗎?
其實(shí)呢,我們可以從兩方面來理解信號(hào)重建的意義:一方面,從理論分析的層面來說,我們可以通過信號(hào)的重建,來證明抽取后的離散樣值,確實(shí)能代表原來連續(xù)時(shí)間信號(hào)的全部信息。第二個(gè),在實(shí)際應(yīng)用的層面,如下圖所示,是一般的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)框圖,中間的“通用/專用計(jì)算機(jī)”來完成對數(shù)字信號(hào)的處理。它的前面(紅色框框),需要把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào),它的后面(黃色框框),又需要把處理后的數(shù)字信號(hào),轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)??梢哉f,我們信號(hào)與系統(tǒng)中所學(xué)的“時(shí)域抽樣”,對應(yīng)AD轉(zhuǎn)換的理想模型;而“信號(hào)的重建(恢復(fù))”對應(yīng)DA轉(zhuǎn)換的理想模型。
圖0
本文不涉及實(shí)際數(shù)字信號(hào)處理中的ADC和DAC,關(guān)于這部分內(nèi)容,感興趣的同學(xué)可以參考本公眾號(hào)以前發(fā)過的文章,鏈接如下:
數(shù)字信號(hào)處理中的采樣與信號(hào)重建
本文主要討論三種時(shí)域采樣模型對應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的重建問題。
總體思路:如前文所述,不管哪種模型,采樣后信號(hào)的頻譜,都是原來連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的周期延拓,在滿足采樣定理要求的前提下,頻域的周期延拓就不會(huì)混疊,這樣,只要通過合適的低通濾波器,把周期延拓后其他的頻譜都濾除,只保留w=0附近的這部分頻譜,并且要使得這部分頻譜與原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜完全相同,就可以恢復(fù)原始的連續(xù)時(shí)間信號(hào)了。
第一種,理想沖激串采樣
連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜和經(jīng)過理想沖激串采樣后信號(hào)的頻譜如下圖所示。因此,只要把抽樣信號(hào)通過理想低通濾波器,理想低通濾波器通帶的增益為常數(shù)T(正好抵消抽樣信號(hào)頻譜周期延拓時(shí)的系數(shù)1/T),并且理想低通濾波器的截止頻率wc正好位于wm和ws-wm之間,也就是使得w=0附近的這部分頻譜完全通過,而其他的頻譜完全濾除掉,就可以了。
圖1
第二種,脈沖串采樣(曲頂采樣)
如圖2所示,看抽樣信號(hào)的頻譜Xs(jw)這個(gè)公式,看似復(fù)雜,其實(shí)不然你,把這個(gè)求和形式展開寫,發(fā)現(xiàn)每個(gè)周期延拓的頻譜前面乘的這個(gè)系數(shù),看上去像個(gè)sinc函數(shù),但實(shí)際上,僅僅是sinc函數(shù)在延拓的這個(gè)位置處的取值(是個(gè)常數(shù))而已。w=0位置處的這個(gè)系數(shù),是τ/T,所以理想低通濾波器的通帶增益,只要把這個(gè)系數(shù)τ/T抵消掉,也就是T/τ,就可以了。這樣就很容易得到用于信號(hào)重建的理想低通濾波器的頻率響應(yīng)H(jw)的表達(dá)式。與圖1相比,僅僅是T變成了T/τ而已。
圖2
第三種,脈沖串采樣(平頂采樣)
平頂抽樣的情況稍顯復(fù)雜,用于重建的濾波器,依然是低通濾波器,但它的頻率響應(yīng)函數(shù),就不能再是一個(gè)常數(shù),而是要把周期延拓時(shí)所乘的sinc函數(shù)抵消掉,所以,重建的低通濾波器的通帶增益是把sinc函數(shù)放在分母上,如圖3中的公式所示。
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原文標(biāo)題:經(jīng)常出現(xiàn)在考題中的三種時(shí)域采樣模型(第二部分)——信號(hào)的重建
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