對NAS任務(wù)中強(qiáng)化學(xué)習(xí)的效率進(jìn)行深入思考

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索（Neural Architecture Search, NAS）是自動機(jī)器學(xué)習(xí)（AutoML）中的熱點(diǎn)問題之一。通過設(shè)計經(jīng)濟(jì)高效的搜索方法，自動獲得泛化能力強(qiáng)、硬件友好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以大量節(jié)省人工，解放研究員的創(chuàng)造力。經(jīng)典的NAS方法［1］中，一個agent在trial and error中通過強(qiáng)化學(xué)習(xí)（Reinforcement Learning）的方式學(xué)習(xí)搭建網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。本文作者對NAS任務(wù)中強(qiáng)化學(xué)習(xí)的效率進(jìn)行了深入思考，從理論上給出了NAS中強(qiáng)化學(xué)習(xí)收斂慢的原因。作者進(jìn)一步重新建模了NAS問題，提出了一個更高效的方法，隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索（Stochastic NAS, SNAS）。

1）與基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法（ENAS［2］）相比，SNAS的搜索優(yōu)化可微分，搜索效率更高，可以在更少的迭代次數(shù)下收斂到更高準(zhǔn)確率。

2）與其他可微分的方法（DARTS［3］）相比，SNAS直接優(yōu)化NAS任務(wù)的目標(biāo)函數(shù)，搜索結(jié)果偏差更小，可以直接通過一階優(yōu)化搜索。

3）而且結(jié)果網(wǎng)絡(luò)不需要重新訓(xùn)練參數(shù)。

4）此外，基于SNAS保持了概率建模的優(yōu)勢，作者提出同時優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)的期望和網(wǎng)絡(luò)正向時延的期望，擴(kuò)大了有效的搜索空間，可以自動生成硬件友好的稀疏網(wǎng)絡(luò)。

1. 背景

1.1 NAS中的MDP

圖1展示了基于人工的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計和NAS的對比。完全基于人工的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計一般包括以下關(guān)鍵流程：

1）由已知的神經(jīng)變換（operations）如卷積（convolution）池化（pooling）等設(shè)計一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，

2）在所給定訓(xùn)練集上訓(xùn)練這些網(wǎng)絡(luò)至收斂，

3）在測試集上測試這些網(wǎng)絡(luò)收斂結(jié)果，

4）根據(jù)測試準(zhǔn)確率選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，

5）人工優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計并回到步驟1。

其中，步驟5需要消耗大量的人力和時間，而且人在探索網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時更多的來自于經(jīng)驗，缺乏明確理論指導(dǎo)。將該步驟自動化，轉(zhuǎn)交給agent在trial and error中不斷優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即是NAS的核心目的。

圖1: 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計vs自動神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索

在人的主觀認(rèn)知中，搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是一個從淺層到深層逐層選擇神經(jīng)變換（operations）的過程。 比如搭建一個CNN的時候需要逐層選擇卷積的kernel大小、channel個數(shù)等，這一過程需要連續(xù)決策，因而NAS任務(wù)自然的被建模為一個馬爾科夫決策過程（MDP）。

簡單來說，MDP建模的是一個人工智能agent和環(huán)境交互中的agent動作（action，環(huán)境即是對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的抽象，狀態(tài)（state，動作表示的是在下一層中要選怎樣的卷積。

在一些情況下，我們會用策略函數(shù)（policy，總得分，也就是搭建的網(wǎng)絡(luò)在測試集上的精度（accuracy），通過強(qiáng)化學(xué)習(xí)（Reinforcement Learning）這種通用黑盒算法來優(yōu)化。然而，因為強(qiáng)化學(xué)習(xí)本身具有數(shù)據(jù)利用率低的特點(diǎn)，這個優(yōu)化的過程往往需要大量的計算資源。

比如在NAS的第一篇工作［1］中，Google用了1800 GPU days完成CIFAR-10上的搜索。雖然通過大量的平行計算，這個過程的實(shí)際時間（wallclock time）會比人工設(shè)計短，但是如此大計算資源需求實(shí)際上限制了NAS的廣泛使用。［1］之后，有大量的論文從設(shè)計搜索空間［4］、搜索過程［2］以及model-based強(qiáng)化學(xué)習(xí)［5］的角度來優(yōu)化NAS效率, 但“基于MDP與強(qiáng)化學(xué)習(xí)的建?！币恢北划?dāng)作黑盒而沒有被討論過。

圖2: NAS是一個確定環(huán)境中的完全延遲獎勵任務(wù)。在這個DAG中，方框表示節(jié)點(diǎn)，具體的物理意義是feature map。不同顏色的箭頭表示不同的operations。s表示當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)狀態(tài)，a表示每一步的動作，r表示得分。只有在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)最終確定后，agent才能獲得一個非零得分acc

本文作者的關(guān)鍵insight來自于發(fā)現(xiàn)了NAS任務(wù)的MDP的特殊性。圖2展示了一個NAS的MDP的完整過程?？梢钥吹降氖?，在每一個狀態(tài)（state）中，一旦agent產(chǎn)生了動作，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的改變是確定的。而在一個網(wǎng)絡(luò)被完全搭建好并訓(xùn)練及測試之前，agent的每一個動作都不能獲得直接的得分獎勵。agent只會在整一條動作序列（trajectory）結(jié)束之后，獲得一個得分。

我們簡單總結(jié)一下，就是，NAS是一個確定環(huán)境中的完全延遲獎勵的任務(wù)。（A task with fully delayed reward in a deterministic environment.）如何利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)狀態(tài)改變的確定性，將在下一個章節(jié)被討論。

在本章節(jié)接下來的部分，我們先介紹一些強(qiáng)化學(xué)習(xí)領(lǐng)域的背景，解釋一條動作序列的得分是如何被分配到每一次動作上的，以及延遲獎勵為什么造成了這種得分分配的低效。

1.2 TD Learning與貢獻(xiàn)分配

強(qiáng)化學(xué)習(xí)的目標(biāo)函數(shù)，是將來得分總和的期望。從每一個狀態(tài)中動作的角度來說，agent應(yīng)該盡量選擇長期來說帶來最大收益的動作。然而，如果沒有輔助的預(yù)測機(jī)制，agent并不能在每一個狀態(tài)預(yù)測每一個動作將來總得分的期望。TD Learning就是用來解決這個問題，預(yù)測每一個動作對將來總得分的貢獻(xiàn)的。TD(0)，一種最基本的計算每一個狀態(tài)上的總得分期望（）的TD Learning，如以下公式所示：

圖3: 在TD Learning中，agent對于某一狀態(tài)價值的評估基于它對將來狀態(tài)的評估，圖片來自 [6]

可以看出，以一種基于動態(tài)規(guī)劃的方式，agent對于每一個狀態(tài)的將來總得分的期望，從將來的狀態(tài)向過去傳播。Sutton在［6］中用一張圖來表現(xiàn)了這種得分從后向前的傳播，如圖3所示。

也就是說，agent對于某一狀態(tài)的價值的評估基于它對該狀態(tài)將來狀態(tài)的評估。值得注意的是，（1）中TD的回傳是一個局部的回傳，并不會在一個回傳就實(shí)現(xiàn)將最后一個狀態(tài)的信息傳遞到之前的每一個節(jié)點(diǎn)。這是一個很極端的例子，agent對?的價值評估，完全取決于，在一次更新中，信息只會向前傳遞一步。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃，如果只有這一條trajectory是可能的，這個傳遞的總時間就是這條trajectory的長度。當(dāng)可能出現(xiàn)trajectory超過一條時，就需要根據(jù)出現(xiàn)的概率來取期望。

像（1）這種動態(tài)規(guī)劃的局部信息傳遞帶來的風(fēng)險就是，當(dāng)將來某些狀態(tài)的價值評估出現(xiàn)偏差時，它過去的狀態(tài)的價值評估也會出現(xiàn)問題。而這個偏差只能通過更多次的動態(tài)規(guī)劃來修復(fù)。

當(dāng)一個任務(wù)趨向于復(fù)雜，狀態(tài)空間的維度越來越高時，上面說到的將來狀態(tài)價值評估的偏差基本不可避免，TD learning的收斂時間大大增加。

經(jīng)典的強(qiáng)化學(xué)習(xí)領(lǐng)域中有很多方法嘗試解決這個問題。比如放棄TD直接通過蒙特卡洛（Monte Carlo，MC ）采樣來做價值評估。此外，也可以通過eligibility trace出現(xiàn)偏差的風(fēng)險被將來更多的分?jǐn)?。這里我們不繼續(xù)發(fā)散，感興趣的讀者可以查閱Sutton的textbook［6］。

1.3 延遲獎勵中的貢獻(xiàn)分配

在1.1中，我們介紹到，NAS是一個完全延時獎勵的任務(wù)。運(yùn)用我們在1.2中介紹的數(shù)學(xué)模型，我們可以把這個發(fā)現(xiàn)表達(dá)為：

當(dāng)我們把（2）代入（1）之中，我們會發(fā)現(xiàn)，基于TD Learning的價值評估，在TD learning的早期，當(dāng)正確的貢獻(xiàn)分配還沒有從最終網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)狀態(tài)傳到?jīng)Q定淺層網(wǎng)絡(luò)的動作時，因為環(huán)境本身沒有反饋給這一步的得分，淺層網(wǎng)絡(luò)被分配到的貢獻(xiàn)接近于0，這是一個天然的偏差。當(dāng)然，如1.2中介紹，這個偏差也可以通過設(shè)計各種方式結(jié)合Monte Carlo的預(yù)測來彌補(bǔ)，但是完全延遲獎勵對于MC方法來說又會帶來的收斂。

對于延遲獎勵，RUDDER［7］經(jīng)過一系列嚴(yán)格的證明，得到了如下結(jié)論：

1）延遲獎勵會指數(shù)級延長TD的收斂需要的更新次數(shù)；

2）延遲獎勵會給指數(shù)級多的狀態(tài)的MC價值評估帶來抖動。

他們提出的解決方式是用一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合每條trajectory的總得分，并通過這個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里的梯度回傳來將得分分配到輸入層的所有狀態(tài)中，繞過TD和MC。我們繼續(xù)回到搭建CNN的例子，如果要實(shí)現(xiàn)這個方法，就需要構(gòu)建一個新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它的輸入是表達(dá)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的編碼（encoding），輸出是預(yù)測的該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的精度。

在［7］的實(shí)驗中，這種通過額外訓(xùn)練一個可微分的總得分函數(shù)來分配貢獻(xiàn)的方法，表現(xiàn)出了非常明顯的收斂速度提升，如圖4。然而，這個額外的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要額外的數(shù)據(jù)和額外的訓(xùn)練，而且它能否收斂到真實(shí)的總得分并沒有保證。更重要的是，這個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回傳的梯度分配的貢獻(xiàn)是否合理，在普通延遲獎勵的任務(wù)中只能有一個現(xiàn)象級的評估，可解釋性有限。

圖4: 在延時獎勵的游戲Bowling和Venture中，基于微分的貢獻(xiàn)分配方法RUDDER收斂速度明顯快于基于TD和MC的方法，圖片來自 [7]

2. 方法

2.1 重新建模NAS

本文作者的第一條關(guān)鍵insight是，當(dāng)我們用損失函數(shù)（loss function）來替代準(zhǔn)確率，不需要像RUDDER一樣額外擬合一個得分函數(shù)，NAS問題的總得分就已經(jīng)不是一個來自環(huán)境的常數(shù)而是一個可微函數(shù)了?；?.3的介紹，這很可能大幅提高NAS的搜索效率。又因為損失函數(shù)和準(zhǔn)確率都可以表達(dá)一個網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的結(jié)果，這一替換并沒有在本質(zhì)上改變NAS問題原本的“優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布以使得它們的期望性能最好”的目標(biāo)（objective）。于是我們有

其中表示的是trajectory，?是網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，或者更具體的說是所有可能神經(jīng)變換的參數(shù)。

而第二條insight來自于我們在1.1中介紹的，NAS任務(wù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移是確定的。在確定性的環(huán)境中，一條狀態(tài)動作序列出現(xiàn)的概率可以表達(dá)為策略函數(shù)概率的連乘

將（3）和（4）結(jié)合起來看，我們發(fā)現(xiàn)

這是一個非常常見的生成式模型（generative model）的目標(biāo)函數(shù)。因而我們可以使用生成式模型中的一些方法，重新表?. 比如將??建模成一個fully factorizable的分布

如果我們假設(shè)每一次動作是相互獨(dú)立的，這個分解可以寫成

其中，為了與MDP的建模區(qū)分開，我們用決策來替換動作?。將（6）或者（7）帶入（5）中，我們得到了一個新的目標(biāo)函數(shù)

2.2 用隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)NAS任務(wù)

在經(jīng)典的基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的NAS方法中，agent的損失函數(shù)和網(wǎng)絡(luò)本身的損失函數(shù)并不連通：

因而他們的計算圖也不需要連通。圖五展示了一個基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的NAS中agent和網(wǎng)絡(luò)交互前向（forward）及各自后向（backward）更新的過程。

圖5: 基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的NAS的前向和后向，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)策略的后向需要利用TD來做貢獻(xiàn)分配，收斂速度不能保證，資源消耗大

與（9）不同的是，在本文作者重新建模的目標(biāo)函數(shù)（8）中，表達(dá)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布的參數(shù)?和網(wǎng)絡(luò)變換的參數(shù)??被統(tǒng)一在了一起，這就為一次后向同時更新??和??提供了可能，也就是說有可能實(shí)現(xiàn)在更新?的同時將可微的總得分分配到每一條邊的決策上。然而，要達(dá)到這個目的，我們首先需要將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布構(gòu)建進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算圖里，以在一次前向中實(shí)現(xiàn)對子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的采樣。

圖6: SNAS中子網(wǎng)絡(luò)的采樣及前向過程。左邊DAG為母網(wǎng)絡(luò)，中間的矩陣表示每次在母網(wǎng)絡(luò)每條邊上采樣的決策z，右邊為這次采樣的子網(wǎng)絡(luò)。

本文作者提出，這一采樣過程可以通過將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布融合到母網(wǎng)絡(luò)以形成隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Stochastic Neural Network, SNN）來實(shí)現(xiàn)。具體來說，從母網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生子網(wǎng)絡(luò)，可以通過在母網(wǎng)絡(luò)的每一條邊的所有可能神經(jīng)變換的結(jié)果后乘上一個one-hot向量來實(shí)現(xiàn)。而對于子網(wǎng)絡(luò)的采樣，就因此自然轉(zhuǎn)化為了對一系列one-hot隨機(jī)變量的采樣

其中表示節(jié)點(diǎn)?上選擇的神經(jīng)變換（operations），?表示在邊??上所有的神經(jīng)變換，表示在邊??上的one-hot隨機(jī)變量。圖6展示了這種SNN中一個cell的采樣方法。

因為SNAS被定位為通用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索方法，在構(gòu)建母圖時，作者采用了與ENAS及DARTS相同的方法。這體現(xiàn)在：

1）在模塊（cell）基本母圖中，設(shè)計了超過一個輸入節(jié)點(diǎn)（input node），表示該cell的輸入來自于之前哪些模塊的輸出，因而包含了產(chǎn)生cell之間的skipping和branching的可能；

2）在設(shè)計每個cell中的中間節(jié)點(diǎn)（intermediate node）的輸入時考慮了所有來自cell內(nèi)所有之前中間節(jié)點(diǎn)的輸入邊（input edge），并在每條輸入邊上提供的神經(jīng)變換（operation）中包括了Identity的變換和0的變換，用以表達(dá)skip和直接刪除這條輸入邊。因此考慮了所有之間skipping和branching的可能。

將（10）與這種母網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，我們可以獲得每一個節(jié)點(diǎn)的實(shí)際數(shù)學(xué)表達(dá)

這是一個在之前確定神經(jīng)層上的一個隨機(jī)的線性變換。將它考慮進(jìn)來，我們可以進(jìn)一步完善SNAS的目標(biāo)函數(shù)

2.3 可微化近似

經(jīng)過2.1和2.2，我們獲得了一個表達(dá)NAS任務(wù)的隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，定義了它的損失函數(shù)。接下來我們要解決的問題就是，如何計算這個損失函數(shù)對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)的梯度。

對一個如（12）的目標(biāo)函數(shù)的求導(dǎo)，特別是對期望項的求導(dǎo)，最經(jīng)典的方法是likelihood ratio trick，它在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中策略梯度（policy gradient）的推導(dǎo)中被使用。然而，這一方法的主要問題是由抖動帶來的較大的梯度方差（variance），并不利于整個優(yōu)化過程的收斂。特別是考慮到?本身的維度比較高（其維度等于所有輸入邊的總數(shù)），如何降低likelihood ratio trick帶來的梯度方差本身就仍然是一個未解決的問題（open question）。?

在這里，作者選擇了另一種可微化近似方法，重參數(shù)法（reparameterization）。這是一種在當(dāng)前深度生成式模型（Deep Generative Model）中被驗證有效的方法。具體來說，在實(shí)現(xiàn)一個離散分布時，有一種方法是先采樣與該one-hot vector維度相同數(shù)量的連續(xù)均勻分布（uniform distribution）的隨機(jī)變量，將他們經(jīng)過Gumbel變換轉(zhuǎn)為Gumbel隨機(jī)變量，并從中選擇最大的那一維度（argmax）取為1，其他維度為0。這個變換被稱為Gumbel-max。這樣采樣的隨機(jī)變量的分布與該離散分布相同，而離散分布的參數(shù)也就轉(zhuǎn)化為了Gumbel max中的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對該離散分布的重參數(shù)化。

但是因為argmax這個操作本身不可微，［8，9］提出將max近似為softmax，

他們同時證明了當(dāng)softmax的溫度（temperature）趨近于0時，該方法產(chǎn)生的隨機(jī)變量趨近于該離散分布。 作者在論文中給出了近似后的損失函數(shù)

圖7: SNAS中的前向和后向，通過構(gòu)建隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和可微化近似，保證了前向的采樣能夠估計NAS的優(yōu)化目標(biāo)，后向可以將梯度回傳到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布的參數(shù)上，因此無偏而高效。

2.4 網(wǎng)絡(luò)正向時延懲罰與網(wǎng)絡(luò)稀疏化

除了從開始就一直提的搜索效率問題之外，經(jīng)典的NAS方法還有一個更加實(shí)際的問題，就是設(shè)計出的網(wǎng)絡(luò)往往為了追求精度而過于復(fù)雜。具體體現(xiàn)在agent最終學(xué)會搭建一個有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，這導(dǎo)致在訓(xùn)練中需要消耗比較多的時間，就算是在實(shí)際的使用中，網(wǎng)絡(luò)前向的時延也非常長。

本文作者的第三條insight是，agent對于這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的偏好，一方面來自于在優(yōu)化目標(biāo)中并沒有一個對于前向時延的限制，另一方面來自于在最終網(wǎng)絡(luò)的選取中依然有不在優(yōu)化目標(biāo)中的人工操作（如在DARTS中，每個中間節(jié)點(diǎn)強(qiáng)制要求選擇top-2權(quán)重的輸入邊上的top-1權(quán)重的非0神經(jīng)變換），因此在整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索的過程中并不能自動實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的稀疏化，也就是說有一些搜索空間在最后被放棄了。

鑒于在2.2中介紹到的母網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計中實(shí)際已經(jīng)包含了直接刪除某條輸入邊的可能，本文作者嘗試從補(bǔ)充優(yōu)化目標(biāo)入手，以期達(dá)到不需要在子網(wǎng)絡(luò)的選取中加入人工就能自動獲得稀疏網(wǎng)絡(luò)的目的。這個目的被建模為“在給定的網(wǎng)絡(luò)正向時延預(yù)算下優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確率”的問題

通過拉格朗日變換（Lagrangian transformation），我們可以將（14）轉(zhuǎn)化為對網(wǎng)絡(luò)正向時延的懲罰

其中，如果每個網(wǎng)絡(luò)的正向時延可以在具體部署的硬件上測得，對于

這些量值包括參數(shù)量、浮點(diǎn)計算數(shù)（FLOPs）以及需要的內(nèi)存。使用這些量的一大優(yōu)勢在于，采樣出的子網(wǎng)絡(luò)的這些值的總量計算是與（11）一樣是一個對于各個備選神經(jīng)變換的一些常量（如長、寬、通道數(shù)）的隨機(jī)線性變換。與（11）相似，我們有

因而相較于在每一條輸入邊上優(yōu)化一個全局的網(wǎng)絡(luò)正向時延，我們只需要優(yōu)化每條邊上自己對時延的貢獻(xiàn)量。如果回到之前貢獻(xiàn)分配的語境，全局的時延懲罰被線性分配到了每一條邊的決策上，這有利于提高收斂效率。又因為（16）是一個線性的變換，我們既可以用重參數(shù)化計算?的期望，也可以用策略梯度的方法。

3. 深度探究

3.1 SNAS中的貢獻(xiàn)分配

在之前的介紹中，雖然在2.1中提到了SNAS中使用了得分的可微性可以解決1.3中提到的在NAS這個完全延時獎勵任務(wù)中TD Learning可能會遇到的問題，這種得分分配仍然是一個黑盒。為了提高方法的可解釋性，作者通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明了SNAS中用來更新?的梯度的期望在策略梯度中的等價形式，每一條輸入邊上的決策?被分配到的得分為

比較明顯的是，這個得分可以被解釋為一個對于得分?的一階泰勒展開（Taylor Decomposition）。對于cell中的某一個節(jié)點(diǎn)，它會聚集所有從輸出邊回傳的貢獻(xiàn)?，并把它按照的權(quán)重分配到它的所有輸入邊?。又由（10）我們知道，分配在?上的貢獻(xiàn)會根據(jù)隨機(jī)變量?來進(jìn)行分配，當(dāng)無限趨近于one-hot時，貢獻(xiàn)會完全被分配到被選擇的那個神經(jīng)變換。

這種基于一階泰勒展開的貢獻(xiàn)分配，在［12］中被用來解釋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每個神經(jīng)元的重要性，是目前比較被接受的解釋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中不同模塊重要性的方法。

在1.2中，我們介紹了MDP建模中，在搜索早期TD Learning因為價值評估還沒來得及回傳到淺層的動作，它們被分配的貢獻(xiàn)并不合理。在1.3中，我們介紹到雖然這個不合理最終可以被修正，整個修正的過程卻需要比較長的時間。而SNAS中的貢獻(xiàn)分配從最開始就是合理的，而且每一步都是合理的，因而幸運(yùn)的避開了這項時間成本。

這可以從一定程度上解釋為什么SNAS的搜索比基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的搜索收斂快。與1.3中提到的RUDDER相比，SNAS利用了NAS任務(wù)的特殊性，搭建了一張連通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布?和任務(wù)環(huán)境也就是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的計算圖，使得總得分函數(shù)天然可微，而且貢獻(xiàn)分配合理可解釋。

當(dāng)與2.4中提到的網(wǎng)絡(luò)正向時延向結(jié)合時，（17）中提到的得分會有一個懲罰項的補(bǔ)充，而這個懲罰項因為2.4中介紹的（16）的線性可分性同樣可以解釋為一種一階泰勒展開。

3.2 SNAS與DARTS的關(guān)系

在SNAS之前，Liu et al. 提出了一種可微分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索，DARTS。不同于SNAS中通過完整的概率建模來提出新方法，DARTS將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接近似為確定性的連續(xù)權(quán)重，類似于注意力機(jī)制（attention）。在搜索過程中，表達(dá)這個softmax連續(xù)權(quán)重的參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)變換的參數(shù)??同時被更新，完全收斂之后選擇的argmax搭建子網(wǎng)絡(luò)，再重新訓(xùn)練??。

圖8: DARTS中的前向和后向，因為并沒有子網(wǎng)絡(luò)采樣的過程，優(yōu)化的損失函數(shù)并不是NAS的目標(biāo)函數(shù)

因為SNAS直接優(yōu)化NAS的目標(biāo)，作者從SNAS的建模出發(fā)，對DARTS的這一近似作出了概率建模下的解釋：這種連續(xù)化的近似可以被理解為是將（12）中的全局期望

直接分解到每一條輸入邊上，計算了一個解析的期望

如果說?對于每一個都是線性的，（19）與（18）就是等價的。但是因為設(shè)計了 ReLU-Conv-BN 的堆疊，帶來了非線性，這兩個目標(biāo)并不等價。

也就是說，在DARTS的連續(xù)化近似中帶來了很大的偏差（bias）。這一方面帶來了最終優(yōu)化的結(jié)果并沒有理論保證的問題，使得一階優(yōu)化（single-level optimization）的結(jié)果不盡人意；另一方面因為連續(xù)化近似并沒有趨向離散的限制，最終通過刪除較低權(quán)重的邊和神經(jīng)變換產(chǎn)生的子網(wǎng)絡(luò)將無法保持訓(xùn)練時整個母網(wǎng)絡(luò)的精度。

Liu et al. 提出用二階優(yōu)化（bi-level optimization）通過基于梯度的元學(xué)習(xí)（gradient-based meta learning）來解決第一個問題，但是對于第二個問題，并沒有給出一個自動化的解法，而是人工定義了一些規(guī)則來挑選邊和神經(jīng)變換，構(gòu)建子網(wǎng)絡(luò)，再重新訓(xùn)練。

4. 實(shí)驗

4.1 CIFAR-10上的搜索效率

從ENAS開始，在極致壓縮搜索資源成本的方向上，比較常見的方法是先搜索少量的cell，再把它們堆疊起來，重新訓(xùn)練。為了和現(xiàn)有的通用NAS方法進(jìn)行公平的對比，本文作者也采用了相同的方法，在一張GPU上針對CIFAR-10任務(wù)搜索cell結(jié)構(gòu)。

圖9: SNAS, ENAS和DARTS在搜索中的validation accuracy隨著訓(xùn)練epoch數(shù)的變化

圖9展示了整個搜索過程中SNAS、ENAS和DARTS的測試準(zhǔn)確率隨著epoch數(shù)的變化?？梢钥吹降氖荢NAS如作者理論預(yù)言的一樣，收斂速度明顯快于ENAS，而且最后收斂的準(zhǔn)確率也遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于ENAS。雖然從這張圖里看起來DARTS的收斂速度快于SNAS，而且二者的收斂精度相似，但是這個準(zhǔn)確率是整張母圖的準(zhǔn)確率，基于3.2中的分析，它并不能反應(yīng)最終子網(wǎng)絡(luò)的性能。

4.2 搜索結(jié)束直接產(chǎn)生子網(wǎng)絡(luò)

為了直觀表現(xiàn)3.2中提到的第二個問題，即DARTS最終獲得的子網(wǎng)絡(luò)并不能直接使用而一定需要參數(shù)的重新訓(xùn)練，并檢測作者對于SNAS可以避免這個問題的理論預(yù)言，作者提供了上圖搜索結(jié)束之后DARTS和SNAS按照各自的方式產(chǎn)生子網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確率。

圖10: SNAS與DARTS在搜索收斂時的準(zhǔn)確率和直接產(chǎn)生子網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確率對比

從圖10可以看到，SNAS中產(chǎn)生的子網(wǎng)絡(luò)可以保持搜索時的測試集準(zhǔn)確率，而DARTS的結(jié)果并不能。Liu et al. 提出的解決方案是，重新訓(xùn)練子網(wǎng)絡(luò)100個epoch。當(dāng)把這部分時間同樣算進(jìn)去，再外加上DARTS沒有最優(yōu)的保證可能需要訓(xùn)練多個網(wǎng)絡(luò)再進(jìn)行選擇，（如原文中Liu et al. 搜索了十次選擇其中最好的，）SNAS的實(shí)際搜索效率遠(yuǎn)高于DARTS。

同時，在構(gòu)建子網(wǎng)絡(luò)的過程中，作者發(fā)現(xiàn)，同樣訓(xùn)練150個epoch，SNAS的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布，相對于DARTS中的softmax，對每條邊上的決策更加確定。圖11展示了這兩個分布的信息熵（entropy）的對比，SNAS的熵小于DARTS。

圖11: SNAS與DARTS搜索收斂后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布的信息熵

4.3 搜索過程中的網(wǎng)絡(luò)演化

在2.4中介紹到，除了重新建模NAS問題，SNAS的另一項創(chuàng)新點(diǎn)在于通過優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)正向時延懲罰來自動實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)稀疏化，避免搜索出正向時延過長的網(wǎng)絡(luò)。在ENAS和DARTS中，最終的網(wǎng)絡(luò)都是通過人工規(guī)則來挑選每個節(jié)點(diǎn)上的兩條輸入邊的，在這個規(guī)則下的演化過程主要就是對每條邊上神經(jīng)變換的替換。而SNAS有可能在搜索過程中就出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)本身拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的演化。

圖12: 在較強(qiáng)時延懲罰下的normal cell和reduction cell的演化過程

圖12展示了SNAS在較強(qiáng)延時懲罰下的normal cell和reduction cell的演化過程?？梢钥吹降氖?，在搜索的非常早期，大部分的邊就因此被自動刪除了。有兩點(diǎn)比較有意思的觀察：

1）來自于藍(lán)色節(jié)點(diǎn)即輸入節(jié)點(diǎn)的邊在reduction cell中直到80個epoch之后才出現(xiàn)，這意味著在前80個epoch中reduction cell都是被跳過的，直到需要時它才被引入。

2）在normal cell中最后學(xué)習(xí)的結(jié)果是自動產(chǎn)生了每個節(jié)點(diǎn)有且僅有兩條輸入邊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這說明ENAS和DARTS中做top-2的選擇有一定的合理性。但在reduction cell中最后的結(jié)果是有一半的節(jié)點(diǎn)沒有被使用，這對之前人工設(shè)計的子網(wǎng)絡(luò)生成規(guī)則提出了挑戰(zhàn)。

4.4 不同程度延時懲罰的影響

作者在實(shí)驗中嘗試了三種不同程度的時延懲罰：

1）較弱時延懲罰是一個時延懲罰的邊界值，由它搜出的網(wǎng)絡(luò)會出現(xiàn)邊的自動刪除，搜索結(jié)果如圖13。當(dāng)時延懲罰小于這個值時，時延懲罰更多的體現(xiàn)在對每條邊上的簡單神經(jīng)操作的偏好上。

圖13: 較弱時延懲罰下搜索出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(a): normal cell，(b): reduction cell

2）中等時延懲罰與較弱時延懲罰相比降低了網(wǎng)絡(luò)的深度和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)量，并且?guī)砹烁叩臏?zhǔn)確率（見4.5章），表現(xiàn)出了一定的正則效果。搜索結(jié)果如圖14。

圖14: 中等延時懲罰下搜索出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(a): normal cell，(b): reduction cell

3）較強(qiáng)時延懲罰下可以直接刪除中間節(jié)點(diǎn)，搜索結(jié)果如圖15?？梢钥吹焦?jié)點(diǎn)2、3的輸入邊被完全刪除。同時，因為輸入節(jié)點(diǎn) k-1 無輸出邊，整個cell的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被大大簡化。

圖15: 較強(qiáng)延時懲罰下搜索出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(a): normal cell，(b): reduction cell

4.5 CIFAR-10搜得結(jié)果網(wǎng)絡(luò)的評估

與DARTS相同，作者將SNAS搜得的cell堆疊起來，在CIFAR-10上重新訓(xùn)練參數(shù)，獲得了state-of-the-art的精度，如圖16所示。

圖16: SNAS搜得的cell與其他NAS方法及人工設(shè)計結(jié)構(gòu)在CIFAR上的對比

值得注意的是，一階優(yōu)化的DARTS的結(jié)果并不如不優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分布產(chǎn)生完全均勻分布產(chǎn)生的結(jié)果，而一階優(yōu)化的SNAS達(dá)到了DARTS二階優(yōu)化獲得的準(zhǔn)確率。而且因為前向時延懲罰的加入，SNAS搜得的網(wǎng)絡(luò)在參數(shù)量上小于其他網(wǎng)絡(luò)，卻獲得了相近的準(zhǔn)確率。特別是在中等時延懲罰下，SNAS的子網(wǎng)絡(luò)在使用更少參數(shù)的情況下準(zhǔn)確率超過了較弱時延懲罰獲得的網(wǎng)絡(luò)，表現(xiàn)出了時延懲罰的正則效果。

4.6 CIFAR-10搜得結(jié)果網(wǎng)絡(luò)對ImageNet的拓展

與DARTS相同，作者提供了將SNAS搜得的cel拓展到tiny ImageNet上獲得的結(jié)果，如圖17所示。盡管使用更少的參數(shù)量和FLOPs，子網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到state-of-the-art的準(zhǔn)確率。

圖17: SNAS搜得的cell與其他NAS方法及人工設(shè)計結(jié)構(gòu)在ImageNet上的對比

5. 結(jié)語

隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索（SNAS）是一種高效率、低偏差、自動化程度高的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)搜索（NAS）框架。作者通過對NAS進(jìn)行重新建模，從理論上繞過了基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法在完全延遲獎勵中收斂速度慢的問題，直接通過梯度優(yōu)化NAS的目標(biāo)函數(shù)，保證了結(jié)果網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)可以直接使用。

相較于其他NAS方法中根據(jù)一定規(guī)則產(chǎn)生子網(wǎng)絡(luò)的方式，作者提出了一套更加自動的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化方法，在優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確率的同時，限制了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度和前向時延。相信隨著這一研究的不斷深入，我們會看到更多SNAS在大數(shù)據(jù)集、大網(wǎng)絡(luò)以及其他任務(wù)中的發(fā)展。