這就是磁體運(yùn)作原理的全部嗎？

在19世紀(jì)末，有一款游戲曾風(fēng)靡了美國(guó)、歐洲、澳大利亞和新西蘭等地。游戲的名字叫15-puzzle，即所謂的“十五謎題”推盤(pán)游戲：它有一個(gè)排列成4×4的16宮格，其中15個(gè)格子中含有寫(xiě)有數(shù)字的可移動(dòng)方塊，還有一個(gè)格子是空的。解謎的方法是通過(guò)移動(dòng)這些方塊，對(duì)數(shù)字進(jìn)行排序。這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)謎題，只有與空白格相鄰的數(shù)字才可以移動(dòng)。

○十五數(shù)字推盤(pán)游戲有15個(gè)數(shù)字方塊和一個(gè)空位，游戲者需要移動(dòng)方塊，讓所有方塊上的數(shù)字按照次序排列。華容道游戲與此類似。| 圖片來(lái)源：E. Bobrow et. al.

就在140年后的今天，這個(gè)游戲再次引發(fā)了人們的興趣。不過(guò)這次，對(duì)它著迷的是一群物理學(xué)家，他們通過(guò)這個(gè)游戲，更近一步地理解了一個(gè)看似平常卻復(fù)雜異常的謎題：磁鐵的工作原理是什么？

我們對(duì)磁性材料并不陌生，鐵和其他物質(zhì)可以形成永磁體，就像能牢牢地粘在冰箱上的那種那樣，這種磁體的磁性是源于一種叫做鐵磁性的現(xiàn)象。

材料的磁性來(lái)自于內(nèi)部電子的行為：每個(gè)電子像是一個(gè)微小的磁體，它們的磁場(chǎng)方向與各自的自旋直接相關(guān)。對(duì)于沒(méi)有磁性的材料來(lái)說(shuō)，原子中的電子是成對(duì)的，成對(duì)的電子總是有著相反的自旋方向，因此它們的磁場(chǎng)會(huì)彼此抵消，從而材料在整體不會(huì)表現(xiàn)出磁性。而對(duì)磁性材料來(lái)說(shuō)，原子的最外層有一些未成對(duì)的電子，這些未成對(duì)的電子能產(chǎn)生微弱的磁場(chǎng)，從而讓材料整體表現(xiàn)出磁性。

那么，這就是磁體運(yùn)作原理的全部嗎？

我們今天要著重說(shuō)的，是一種特殊的鐵磁性——巡游鐵磁性（Itinerant ferromagnetism），它指的是在鐵、鈷、鎳等金屬中，電子可以在材料內(nèi)部自由移動(dòng)。每個(gè)電子同樣有一個(gè)固有磁矩，要準(zhǔn)確地理解所有的磁矩如何以及為何在一個(gè)磁體中排列，就需要計(jì)算所有電子之間的量子相互作用。這是非常復(fù)雜的，可以說(shuō)，巡游鐵磁性是理論凝聚態(tài)物理學(xué)中最難的問(wèn)題之一。

而就在最近，十五謎題推盤(pán)游戲給了物理學(xué)家以靈感，讓我們終于得以更加接近于解開(kāi)這個(gè)難題。這位物理學(xué)家叫名叫李易，是約翰霍普金斯大學(xué)的一位從事凝聚態(tài)物理研究的助理教授。她帶領(lǐng)兩個(gè)研究生Eric Bobrow和Keaton Stubis，利用十五謎題推盤(pán)游戲中的數(shù)學(xué)，延伸擴(kuò)展了一個(gè)描述理想情況下巡游鐵磁性的定理，她們的定理可以解釋更寬泛、更接近現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)。

面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題，物理學(xué)家善于從最簡(jiǎn)單的理想化模型開(kāi)始。李易等人想要從簡(jiǎn)單的理想模型中捕捉鐵磁性的基本物理性質(zhì)，他們的突破就建立在50多年前一個(gè)里程碑式的發(fā)現(xiàn)之上。

這是一個(gè)由物理學(xué)家David Thouless和Yosuke Nagaoka在20世紀(jì)60年代各自獨(dú)立提出的證明，他們從數(shù)學(xué)的角度，解釋了電子為何排列并形成鐵磁狀態(tài)，這一結(jié)果被稱為Nagaoka-Thouless定理。

在介紹這個(gè)定理之前，我們需要先從最基礎(chǔ)的層面上來(lái)看看金屬中的電子所必須遵循的兩個(gè)約束條件：

電子帶負(fù)電，它們之間具有互相排斥的庫(kù)倫力。

電子遵守泡利不相容原理，即：自旋相同的兩個(gè)電子，不可以在一個(gè)原子周圍占據(jù)同樣的量子態(tài)；自旋相反的兩個(gè)電子則可以。

要讓一群自由運(yùn)動(dòng)的電子滿足這兩個(gè)條件，最簡(jiǎn)單的方法是讓它們保持距離，讓它們的自旋平行（對(duì)齊），從而形成鐵磁性。

Nagaoka-Thouless定理就是依賴于原子晶格上的一個(gè)理想電子系統(tǒng)。這個(gè)定理到底說(shuō)了什么呢？我們可以想象有一個(gè)二維的方形晶格：晶格中的每個(gè)頂點(diǎn)都可以容納兩個(gè)自旋相反的電子；但同時(shí)，這個(gè)定理又假設(shè)，兩個(gè)電子同時(shí)占據(jù)一個(gè)位置所需耗費(fèi)的能量是無(wú)窮大的，這樣就確保了一個(gè)位置只有一個(gè)電子。這樣一來(lái)，每個(gè)電子的自旋可以是向上或向下的，并不一定要方向一致，因此系統(tǒng)不一定具有鐵磁性。

這時(shí)如果拿走其中一個(gè)電子，晶格中就會(huì)多出一個(gè)空位，我們稱之為空穴（hole）。與之相鄰的電子可以滑入這個(gè)空穴，留出另一個(gè)空位；然后另一個(gè)電子又可以占據(jù)這個(gè)新的空穴，再一次留出一個(gè)新的空穴……通過(guò)這種方式，空穴從一個(gè)位置跳到另一個(gè)位置，穿梭于晶格之中。

在這種情況下，只要添加一個(gè)空穴，電子就會(huì)自發(fā)地進(jìn)行規(guī)則排列，這就是Thouless和Nagaoka所證明的系統(tǒng)的最低能量狀態(tài)——鐵磁態(tài)。

○在十五數(shù)字推盤(pán)游戲（左）中，用自旋為1/2的粒子替換數(shù)字，得到中圖所表示的結(jié)構(gòu)，其中+表示自旋向上，-表示自旋向下；右圖是與此對(duì)應(yīng)的自旋晶格，其中有一個(gè)空穴。| 圖片來(lái)源：E. Bobrow et. al.

若要使這個(gè)系統(tǒng)維持在最低能量狀態(tài)，空穴的自由穿梭必須要在不干擾電子自旋的情況下進(jìn)行——這就需要額外的能量了。但是當(dāng)空穴四處移動(dòng)時(shí)，電子也會(huì)四處移動(dòng)。因此若要使電子在不改變自旋的情況下移動(dòng)，電子就必須規(guī)則排列。

這便是Nagaoka和Thouless對(duì)鐵磁性的證明。從物理學(xué)的角度來(lái)看，它是不真實(shí)的：例如兩個(gè)電子確實(shí)需要消耗巨大的能量才能克服彼此間的排斥力來(lái)占據(jù)同一個(gè)位置，但這個(gè)能量是有限的，而不是定理中所要求的無(wú)窮大；再者，這個(gè)定理只適用于簡(jiǎn)單的晶格，比如二維的方形、三角形晶格，或三維的立方體晶格，可自然界中的鐵磁性存在于各種晶格結(jié)構(gòu)各異的金屬中。

盡管如此， Nagaoka-Thouless確實(shí)首次從理論上解釋了電子自旋為什么應(yīng)該保持平行。

物理學(xué)家認(rèn)為，如果Nagaoka-Thouless定理真的解釋了鐵磁性，那么它應(yīng)該適用于所有晶格。

1989年，日本物理學(xué)家Hal Tasaki對(duì)這個(gè)定理進(jìn)行了一定程度的延伸。他發(fā)現(xiàn)，只要晶格中具有“連通性”這種數(shù)學(xué)性質(zhì)，這個(gè)定理就能適用。比如說(shuō)，在一個(gè)二維的方形晶格中有一個(gè)可移動(dòng)的空穴，如果移動(dòng)這個(gè)空穴，可以在維持自旋向上和向下的電子數(shù)量不變的同時(shí)，對(duì)每一個(gè)自旋進(jìn)行創(chuàng)造，那么就滿足連通性條件。

但問(wèn)題在于，我們并不知道除了二維的正方形、三角形晶格，和三維立方體晶格之外，其他晶格結(jié)構(gòu)是否也滿足連通性條件。

因此在此基礎(chǔ)上，李易和她的團(tuán)隊(duì)想要弄清的就是：這個(gè)定理是否適用于更一般的情況。

他們將研究對(duì)象鎖定在蜂窩狀的六角晶格上，在研究過(guò)程中，他們意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題類似和風(fēng)靡19世紀(jì)的十五謎題推盤(pán)游戲迷之相似！只不過(guò)對(duì)他們來(lái)說(shuō)，方塊上的數(shù)字變成了向上或向下的自旋。如果可以讓這些方塊重新排列成任何序列，那么難題就解決了——這正是連通性條件的本質(zhì)所在。

所以，問(wèn)題“對(duì)于一個(gè)給定的晶格，連通性條件是否滿足”就等價(jià)于問(wèn)題“具有同樣晶格結(jié)構(gòu)的推盤(pán)游戲是否可解”。

結(jié)果，他們又驚喜地發(fā)現(xiàn)，早在1974年，數(shù)學(xué)家Richard Wilson就已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題！他已經(jīng)成功地對(duì)具有所有結(jié)構(gòu)的十五謎題推盤(pán)游戲進(jìn)行推廣：證明了只要滑動(dòng)方塊的次數(shù)為偶數(shù)，那么幾乎對(duì)于所有的不可分割晶格（在移除一個(gè)頂點(diǎn)后，頂點(diǎn)仍然保持連接的晶格）來(lái)說(shuō)，都可以通過(guò)滑動(dòng)方塊來(lái)得到任何想要的結(jié)構(gòu)。唯二的例外是超過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，以及一種名為“θ?圖”的結(jié)構(gòu)。

因此，研究人員可以直接將Wilson的證明結(jié)果應(yīng)用于Nagaoka-Thouless定理。于是，他們證明了對(duì)于有單個(gè)空穴的電子系統(tǒng)，幾乎所有晶格都滿足連通性條件，包括二維六角形結(jié)構(gòu)和三維菱形晶格等常見(jiàn)結(jié)構(gòu)。而例外的那兩種結(jié)構(gòu)實(shí)際上并不會(huì)出現(xiàn)于真實(shí)的鐵磁結(jié)構(gòu)中。

就這樣，李易等人通過(guò)十五謎題推盤(pán)游戲，將電子晶格與圖論聯(lián)系了起來(lái)。朝著解決巡游鐵磁性的磁性原理問(wèn)題邁進(jìn)了重要的一步。雖然成果喜人，但也仍存在需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題，其中之一便是當(dāng)在晶格中移動(dòng)的空穴的步數(shù)為奇數(shù)，Nagaoka-Thouless定理并不總是有效；而另一個(gè)更為突出的問(wèn)題是，在這個(gè)定理只能存在一個(gè)空穴，不能多也不能少——但是在金屬中的空穴可以非常多，有時(shí)甚至可以占據(jù)一半的晶格。

于是，研究人員將這個(gè)擴(kuò)展過(guò)的定理推廣到具有多個(gè)空穴的系統(tǒng)中去。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于正方形晶格，當(dāng)空穴占據(jù)晶格不超過(guò)30%時(shí)，Nagaoka和Thouless描述的鐵磁性似乎仍是適用的。

在李易等人發(fā)表于《物理評(píng)論B》的論文中，他們精確地對(duì)二維六角晶格和三維菱形晶格進(jìn)行了分析，得出的結(jié)果是：對(duì)于二維六角晶格和三維菱形晶格來(lái)說(shuō)，只要空穴數(shù)量分別小于格點(diǎn)數(shù)量的1/2次方和2/5次方，鐵磁性就應(yīng)該可以存在。

這些精確的數(shù)字有助于科學(xué)家在今后建立一個(gè)更加完整的巡游鐵磁性模型，從而幫助我們更深刻地理解磁鐵的運(yùn)作原理。