正弦波形的相量圖定義和相量代數(shù)方程教程

Phasor Diagrams是表示兩個或多個交替量之間的幅度和方向關(guān)系的圖形方式

相同頻率的正弦波形之間可能存在相位差，表示角度差兩個正弦波形。此外，術(shù)語“引導(dǎo)”和“滯后”以及“同相”和“異相”通常用于表示一個波形與另一個波形的關(guān)系，其中廣義正弦表達(dá)式如下： （t） = A m sin（ωt±Φ）表示時域形式的正弦曲線。

但是當(dāng)以這種方式以數(shù)學(xué)方式呈現(xiàn)，有時難以可視化兩個或更多個正弦波形之間的這種角度或相量差異?？朔@個問題的一種方法是使用Phasor Diagrams以空間或相量域形式在圖形上表示正弦曲線，這是通過旋轉(zhuǎn)矢量法實(shí)現(xiàn)的。

基本上旋轉(zhuǎn)矢量，簡稱為“相量”是一個縮放線，其長度表示一個具有幅度（“峰值幅度”）和方向（“相位”）的交流量，它在“凍結(jié)”時某個時間點(diǎn)。

相量是一個在一端有箭頭的矢量，它部分表示矢量的最大值（ V 或 I ）部分是旋轉(zhuǎn)矢量的結(jié)束。

通常，假設(shè)矢量在一端圍繞一個稱為“原點(diǎn)”的固定零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，而箭頭表示數(shù)量，在每個循環(huán)的一個完整旋轉(zhuǎn)的角速度（ω）下沿逆時針方向方向自由旋轉(zhuǎn)。矢量的這種逆時針旋轉(zhuǎn)被認(rèn)為是正旋轉(zhuǎn)。同樣，順時針旋轉(zhuǎn)被認(rèn)為是負(fù)旋轉(zhuǎn)。

雖然術(shù)語矢量和相量都用于描述旋轉(zhuǎn)線本身具有幅度和方向，但兩者之間的主要區(qū)別是矢量幅度是正弦波的“峰值”，而相量幅度是正弦波的“rms值”。在這兩種情況下，相位角和方向保持不變。

任何時刻交替量的相位都可以用相量圖表示，因此相量圖可以被認(rèn)為是“時間函數(shù)” ”?？梢酝ㄟ^以ω=2π的角速度旋轉(zhuǎn)的單個矢量來構(gòu)造完整的正弦波，其中 f 是波形的頻率。然后Phasor是一個同時具有“幅度”和“方向”的數(shù)量。

通常，在構(gòu)建相量圖時，總是假設(shè)正弦波的角速度為：ω，單位為rad / sec。考慮下面的相量圖。

正弦波形的相量圖

作為單向量以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其尖端 A 將旋轉(zhuǎn)一整圈 360 o 或2π代表一個完整的循環(huán)。如果其移動尖端的長度以不同的角度間隔在時間上傳遞到如上所示的曲線圖，則將在零時間從左側(cè)開始繪制正弦波形。沿水平軸的每個位置表示從零時間開始經(jīng)過的時間， t = 0 。當(dāng)向量是水平的時，向量的尖端代表0 o ，180 o 和360 o 的角度。

同樣，當(dāng)矢量的尖端是垂直的時，它代表90 o 或π/ 2 + Am ） >和負(fù)峰值，（ -Am ）在270 o 或3π/ 2 。然后，波形的時間軸表示相量移動的角度或弧度。因此我們可以說相量代表旋轉(zhuǎn)矢量的縮放電壓或電流值，它在某個時間點(diǎn)“凍結(jié)”（ t ），在上面的例子中，這是一個角度有時當(dāng)我們分析交替波形時，我們可能需要知道相量的位置，代表特定時刻的交替量，特別是當(dāng)我們想要的時候比較同一軸上的兩個不同波形。例如，電壓和電流。我們在上面的波形中假設(shè)波形在時間 t = 0 時開始，相應(yīng)的相位角為度或弧度。

但是如果第二個波形從左邊開始或者在這個零點(diǎn)的右邊或者我們想用相量表示法表示兩個波形之間的關(guān)系，那么我們需要考慮波形的這個相位差Φ。請考慮上一個相位差異教程中的下圖。

正弦波形的相位差

定義這兩個正弦量的廣義數(shù)學(xué)表達(dá)式將是寫作：

當(dāng)前， i 滯后于電壓， v 按角度Φ，在上面的例子中，這是 30 o 。因此，表示兩個正弦量的兩個相量之間的差異是角度Φ，并且得到的相量圖將是。

正弦波形的相量圖

相對于水平軸上的時間零點(diǎn)（ t = 0 ）繪制相量圖。相量的長度與繪制相量圖的瞬間電壓，（V）和電流（I）的值成比例。電流相量滯后于角度Φ，因為兩個相量如前所述沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，因此角度Φ也以相同的逆時針方向測量。

但是，如果波形在時間凍結(jié)， t = 30 o ，相應(yīng)的相量圖看起來就像右邊所示。由于兩個波形具有相同的頻率，電流相量再次落后于電壓相量。

然而，由于電流波形現(xiàn)在正在越過水平零軸線，我們可以使用電流相量作為我們的新參考，并且正確地說電壓相量“引導(dǎo)”電流相量的角度Φ。無論哪種方式，一個相量被指定為參考相量，并且所有其他相量將相對于該參考超前或滯后。

相量加法

有時，在研究正弦曲線時，必須將兩個交替的波形加在一起，例如在AC串聯(lián)電路中，它們彼此不同相。如果它們是同相的，則沒有相移，那么它們可以以與DC值相同的方式加在一起，以找到兩個矢量的代數(shù)和。例如，如果分別為50伏和25伏的兩個電壓“同相”，它們將相加或相加形成一個75伏（50 + 25）的電壓。

然而，如果，它們不是同相的，也就是說，它們沒有相同的方向或起點(diǎn)，那么需要考慮它們之間的相位角，因此使用相量圖將它們加在一起以確定它們的結(jié)果相量或矢量和使用平行四邊形法。

考慮兩個交流電壓， V 1 具有20伏的峰值電壓， V 2 具有30伏的峰值電壓，其中 V 1 通過 60 o 引導(dǎo) V 2 。兩個電壓的總電壓 V T 可以通過首先繪制表示兩個矢量的相量圖然后構(gòu)建其中兩個邊是其中的平行四邊形來找到。電壓， V 1 和 V 2 ，如下所示。

Phasor增加兩個相量

通過繪制兩個相量來縮放到方格紙上，它們的相量和 V 1 + V 2 可以通過測量對角線的長度，稱為“合成r-向量”，從零點(diǎn)到施工線的交叉點(diǎn) 0-A 。這種圖形方法的缺點(diǎn)是在繪制相量以進(jìn)行縮放時非常耗時。

此外，雖然這種圖形方法給出的答案對于大多數(shù)目的來說足夠準(zhǔn)確，但如果不是這樣，它可能會產(chǎn)生錯誤。準(zhǔn)確或正確地繪制。然后，通過分析方法確保始終獲得正確答案的一種方法。

在數(shù)學(xué)上我們可以通過首先找到它們的“垂直”和“水平”方向?qū)蓚€電壓加在一起，然后由此我們可以計算得到的“r向量”的“垂直”和“水平”分量，<跨度> V <子>? 。這種使用余弦和正弦規(guī)則來找到該結(jié)果值的分析方法通常稱為矩形形式。

在矩形形式中，相量被分成實(shí)部， x 和虛部， y 形成廣義表達(dá)式 Z = x±jy 。 （我們將在下一個教程中更詳細(xì)地討論這個問題）。然后，這給出了一個表示正弦電壓的幅度和相位的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

復(fù)雜正弦波的定義

因此，使用先前的通用表達(dá)式添加兩個向量 A 和 B 如下：

使用矩形形式的相量加法

電壓， V 2 沿參考方向的30伏電壓點(diǎn)水平零軸，然后它有一個水平分量但沒有垂直分量如下。

?水平分量 = 30 cos 0 o = 30伏

?垂直分量 = 30 sin 0 o = 0伏

這給了我們電壓 V 2 的矩形表達(dá)式： 30 + j0

電壓， V 1 的20伏電壓， V 2 60 o ，然后我t具有如下水平和垂直分量。

?水平分量 = 20 cos 60 o = 20 x 0.5 = 10伏

?垂直分量 = 20 sin 60 o = 20 x 0.866 = 17.32伏

然后給出us電壓 V 1 的矩形表達(dá)式： 10 + j17.32

合成電壓， V T 是通過將水平和垂直分量加在一起得到的，如下所示。

V Horizontal = V 1 和 V 2 的實(shí)部之和= 30 + 10 = 40伏

V 垂直 = V 1的虛部之和 和 V 2 = / 0 + 17.32 = 17.32伏特

現(xiàn)在已經(jīng)找到了實(shí)數(shù)和虛數(shù)值電壓 V T 僅通過使用確定對于90 o 三角形，g畢達(dá)哥拉斯定理如下。

然后得到的相量圖將是：

V T的結(jié)果值

相量減法

相量減法與上述矩形加法非常相似，不同之處在于此時矢量差是 V 兩個電壓之間平行四邊形的另一個對角線1 和 V 2 ，如圖所示。

兩個相量的矢量減法

這次不是將水平和垂直分量“加”在一起，而是將它們帶走，減法。

三相相量圖

以前我們只看過單個多匝線圈旋轉(zhuǎn)的單相交流波形在磁場中。但是，如果三個相同的線圈匝數(shù)相同的線圈在相同的轉(zhuǎn)子軸上以120 o 的電角度放置，則會產(chǎn)生三相電壓供應(yīng)。

平衡三相電壓源由三個單獨(dú)的正弦電壓組成，這些電壓在幅度和頻率上都相等，但彼此之間的電相位相差正好120 o 。

標(biāo)準(zhǔn)做法是將三個階段的顏色編碼為紅色，黃色和藍(lán)色，以識別每個階段紅相作為參考相。三相電源的正常旋轉(zhuǎn)順序為紅色，然后是黃色，然后是藍(lán)色，（ R ， Y ， B ）。

與上面的單相相量一樣，代表三相系統(tǒng)的相量也以逆時針方向旋轉(zhuǎn)圍繞中心點(diǎn)的方向，如標(biāo)記為ω的箭頭所示，單位為rad / s。三相平衡星形或三角形連接系統(tǒng)的相量如下所示。

三相相量圖

相電壓的大小都相等，但相位角只有不同。線圈的三個繞組在點(diǎn)處連接在一起，a 1 ，b 1 和c 1 以產(chǎn)生三個共同的中性連接個別階段。然后，如果將紅相作為參考相，則可以相對于公共中性點(diǎn)定義每個單獨(dú)的相電壓。

三相電壓方程

如果紅色相電壓 V RN 被視為前面所述的參考電壓，那么相序?qū)⑹?R - Y - B 所以黃相中的電壓滯后 V RN 120 o ，藍(lán)相中的電壓也滯后 V YN 也是120 o 。但我們也可以說藍(lán)相電壓 V BN 導(dǎo)致紅相電壓 V RN 120 o 。

關(guān)于三相系統(tǒng)的最后一點(diǎn)。由于三個單獨(dú)的正弦電壓在120 o 之間具有固定的關(guān)系，因此它們被稱為“平衡”，因此，在一組平衡的三相電壓中，它們的相量和總是為零： V a + V b + V c = 0

Phasor Diagram Summary

然后總結(jié)本教程關(guān)于Phasor Diagrams的一些內(nèi)容。

最簡單的說，相量圖是旋轉(zhuǎn)矢量在水平軸上的投影，代表橫軸瞬時值。由于可以繪制相量圖來表示任何時刻，因此任何角度，交替量的參考相量總是沿正x軸方向繪制。

矢量，相量和相量圖僅適用于正弦交流交流量。

>相量圖可用于在任何時刻表示兩個或多個固定的正弦量。

通常，參考相量沿著水平軸并在該時刻繪制其他相量。所有相量均以水平零軸為參考。

可繪制相量圖以表示兩個以上的正弦曲線。它們可以是電壓，電流或其他一些交替量，但它們的頻率必須相同。

所有相量都沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。參考相量之前的所有相量都稱為“前導(dǎo)”，而參考相量后面的所有相量都稱為“滯后”。

通常，相量的長度代表均方根

由于矢量的速度不同，不同頻率的正弦曲線不能在相同的相量圖上表示，這是正弦曲線的數(shù)值而不是其最大值。 。在任何時刻，它們之間的相位角都會不同。

可以將兩個或多個向量相加或相減，成為單個向量，稱為a結(jié)果向量。

向量的水平邊等于實(shí)數(shù)或“x”向量。矢量的垂直邊等于虛數(shù)或“y”矢量。合成的直角三角形的斜邊相當(dāng)于“r”向量。

在三相平衡系統(tǒng)中，每個單獨(dú)的相量移位120 o 。

在下一篇關(guān)于 AC Theory 的教程中，我們將把正弦波形表示為矩形形式的復(fù)數(shù)，Polar形式和指數(shù)形式。