rsa加密算法詳解與舉例說明

　　RSA公鑰加密算法是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年7月首次在美國公布，當時他們?nèi)硕荚诼槭±砉W院工作實習。RSA就是他們?nèi)诵帐祥_頭字母拼在一起組成的。RSA是目前最有影響力和最常用的公鑰加密算法，它能夠抵抗到目前為止已知的絕大多數(shù)密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰數(shù)據(jù)加密標準。

　　今天只有短的RSA鑰匙才可能被強力方式解破。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA算法的方式。只要其鑰匙的長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。但在分布式計算和量子計算機理論日趨成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑戰(zhàn)和質(zhì)疑。RSA算法基于一個十分簡單的數(shù)論事實：將兩個大質(zhì)數(shù)相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。

　　安全性

　　RSA的安全性依賴于大數(shù)分解，但是否等同于大數(shù)分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解RSA就一定需要作大數(shù)分解。假設存在一種無須分解大數(shù)的算法，那它肯定可以修改成為大數(shù)分解算法。 RSA 的一些變種算法已被證明等價于大數(shù)分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。人們已能分解多個十進制位的大素數(shù)。因此，模數(shù)n必須選大一些，因具體適用情況而定。

　　實現(xiàn)細節(jié)

　　密鑰生成

　　首先要使用概率算法來驗證隨機產(chǎn)生的大的整數(shù)是否質(zhì)數(shù)，這樣的算法比較快而且可以消除掉大多數(shù)非質(zhì)數(shù)。假如有一個數(shù)通過了這個測試的話，那么要使用一個精確的測試來保證它的確是一個質(zhì)數(shù)。

　　除此之外這樣找到的p和q還要滿足一定的要求，首先它們不能太靠近，此外p-1或q-1的因子不能太小，否則的話N也可以被很快地分解。

　　此外尋找質(zhì)數(shù)的算法不能給攻擊者任何信息，這些質(zhì)數(shù)是怎樣找到的，尤其產(chǎn)生隨機數(shù)的軟件必須非常好。要求是隨機和不可預測。這兩個要求并不相同。一個隨機過程可能可以產(chǎn)生一個不相關的數(shù)的系列，但假如有人能夠預測出（或部分地預測出）這個系列的話，那么它就已經(jīng)不可靠了。比如有一些非常好的隨機數(shù)算法，但它們都已經(jīng)被發(fā)表，因此它們不能被使用，因為假如一個攻擊者可以猜出p和q一半的位的話，那么他們就已經(jīng)可以輕而易舉地推算出另一半。

　　此外密鑰d必須足夠大，1990年有人證明假如p大于q而小于2q（這是一個很經(jīng)常的情況）而，那么從N和e可以很有效地推算出d。此外e = 2永遠不應該被使用。

　　運算速度

　　由于進行的都是大數(shù)計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟件還是硬件實現(xiàn)。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用于少量數(shù)據(jù)加密。RSA的速度比對應同樣安全級別的對稱密碼算法要慢1000倍左右。

　　比起DES和其它對稱算法來說，RSA要慢得多。實際上Bob一般使用一種對稱算法來加密他的信息，然后用RSA來加密他的比較短的對稱密碼，然后將用RSA加密的對稱密碼和用對稱算法加密的消息送給Alice。

　　這樣一來對隨機數(shù)的要求就更高了，尤其對產(chǎn)生對稱密碼的要求非常高，因為否則的話可以越過RSA來直接攻擊對稱密碼。

　　密鑰分配

　　和其它加密過程一樣，對RSA來說分配公鑰的過程是非常重要的。分配公鑰的過程必須能夠抵擋一個從中取代的攻擊。假設Eve交給Bob一個公鑰，并使Bob相信這是Alice的公鑰，并且她可以截下Alice和Bob之間的信息傳遞，那么她可以將她自己的公鑰傳給Bob，Bob以為這是Alice的公鑰。Eve可以將所有Bob傳遞給Alice的消息截下來，將這個消息用她自己的密鑰解密，讀這個消息，然后將這個消息再用Alice的公鑰加密后傳給Alice。理論上Alice和Bob都不會發(fā)現(xiàn)Eve在偷聽他們的消息。今天人們一般用數(shù)字認證來防止這樣的攻擊。

　　時間攻擊

　　1995年有人提出了一種非常意想不到的攻擊方式：假如Eve對Alice的硬件有充分的了解，而且知道它對一些特定的消息加密時所需要的時間的話，那么她可以很快地推導出d。這種攻擊方式之所以會成立，主要是因為在進行加密時所進行的模指數(shù)運算是一個位元一個位元進行的而位元為1所花的運算比位元為0的運算要多很多，因此若能得到多組訊息與其加密時間，就會有機會可以反推出私鑰的內(nèi)容。

　　分解 從而在已知n d的情況下無法獲得e；同樣在已知n e的情況下無法 求得d。

　　實踐：

　　接下來我們來一個實踐，看看實際的操作： 找兩個素數(shù)： p=47 q=59 這樣 n=p*q=2773 t=（p-1）*（q-1）=2668 取e=63，滿足e《t并且e和t互素 用perl簡單窮舉可以獲得滿主 e*d%t ==1的數(shù)d： C：\Temp》perl -e “foreach $i （1..9999）{ print（$i），last if $i*63&68==1 }” 847 即d＝847

　　最終我們獲得關鍵的 n=2773 d=847 e=63

　　取消息M=244我們看看

　　加密：

　　c=M**d%n = 244**847‘73 用perl的大數(shù)計算來算一下： C：\Temp》perl -Mbigint -e “print 244**847’73” 465 即用d對M加密后獲得加密信息c＝465

　　解密：

　　我們可以用e來對加密后的c進行解密，還原M： m=c**e%n=465**63‘73 ： C：\Temp》perl -Mbigint -e “print 465**63’73” 244 即用e對c解密后獲得m=244 ， 該值和原始信息M相等。