什么是巴特沃斯濾波器_巴特沃斯濾波器主要參數(shù)介紹 - 全文

　　什么是巴特沃斯濾波器

　　巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。這種濾波器最先由英國(guó)工程師斯替芬·巴特沃斯（StephenButterworth）在1930年發(fā)表在英國(guó)《無(wú)線電工程》期刊的一篇論文中提出的。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無(wú)論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。

　　巴特沃斯濾波器特性

　　巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開(kāi)始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負(fù)無(wú)窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻。單調(diào)下降，并且也是唯一的無(wú)論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過(guò)濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低級(jí)數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。

　　巴特沃斯濾波器原理

　　巴特沃斯型濾波器在現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的濾波器中，是最為有名的濾波器，由于它設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，性能方面又沒(méi)有明顯的缺點(diǎn)，又因它對(duì)構(gòu)成濾波器的元件Q值較低，因而易于制作且達(dá)到設(shè)計(jì)性能，因而得到了廣泛應(yīng)用。其中，巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。

　　濾波器的截止頻率的變換是通過(guò)先求出待設(shè)計(jì)濾波器的截止頻率與基準(zhǔn)濾波器的截止頻率的比值M，再用這個(gè)M去除濾波器中的所有元件值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其計(jì)算公式如下：M=待設(shè)計(jì)濾波器的截止頻率/基準(zhǔn)濾波器的截止頻率。

　　濾波器的特征阻抗的變換是通過(guò)先求出待設(shè)計(jì)濾波器的特征阻抗與基準(zhǔn)濾波器的特征阻抗的比值K，再用這個(gè)K去乘基準(zhǔn)濾波器中的所有電感元件值和用這個(gè)K去除基準(zhǔn)濾波器中的所有電容元件值來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

　　巴特沃斯濾波器與其它濾波器比較

　　下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫?yàn)V波器（右上）、第二類切比雪夫?yàn)V波器（左下）、橢圓函數(shù)濾波器（右下）的頻率響應(yīng)圖。

　　特沃斯濾波器優(yōu)點(diǎn)

　　巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開(kāi)始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向負(fù)無(wú)窮大。

　　一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝，如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無(wú)論階數(shù)、振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過(guò)濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低級(jí)數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。

　　巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設(shè)計(jì)分類，類同于切比雪夫?yàn)V波器，它有高通，低通，帶通，高通，帶阻等多種濾波器。它在通頻帶內(nèi)外都有平穩(wěn)的幅頻特性，但有較長(zhǎng)的過(guò)渡帶，在過(guò)渡帶上很容易造成失真，我在調(diào)用MATLAB里的巴特沃斯濾波器做仿真時(shí)，信號(hào)總會(huì)在第一個(gè)周期略微有些失真，但往后的幅頻特性就非常的好。

　　巴特沃斯濾波器主要參數(shù)介紹

　?。?）［N，wc］=buttord（wp，ws，RP，As，’s’）

　　該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wc。Wp、ws和wc是實(shí)際模擬角頻率（rad\s）。Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減。

　?。?）［Z，P，k］=buttap（N）

　　該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子，返回長(zhǎng)度為N的列向量Z和P，分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，K表示濾波器增益。

　?。?）Y=filter（b，a，x）

　　式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列。IIR函數(shù)實(shí)現(xiàn)的直接形式。

　　（4）［b，a］=butter（N，wc，‘ftype’）

　　計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量b、a。

　　說(shuō)明：調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值，一般是調(diào)用buttord格式（1）計(jì)算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的升冪排列。

　?。?）［B，A］=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）

　　計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。

　　說(shuō)明：調(diào)用參數(shù)N和Ωc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率（實(shí)際角頻率），可調(diào)用buttord（2）格式計(jì)算N和Ωc。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。

　　tfype為濾波器的類型：

　　◇ftype=high時(shí)，高通；Ωc只有1個(gè)值。

　　◇ftype=stop時(shí)，帶阻；Ωc=［Ωcl，Ωcu］，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。

　　◇ftype缺省時(shí)：若Ωc只有1個(gè)值，則默認(rèn)為低通；若Ωc有2個(gè)值，則默認(rèn)為帶通；其通帶頻率區(qū)間Ωcl《Ω《Ωcu。

　　（6）［H，w］=freqz（b，a，N）

　　b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在0～pi范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值（其中N為正整數(shù)），w則包含了范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用默認(rèn)的N時(shí)，其值是512?？梢韵日{(diào)用freqz（）函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs（）和angle（）函數(shù)及plot（）函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。

　?。?）lp2lp函數(shù)

　?。踒t，at］=lp2lp（b，a，w0）

　　該函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但無(wú)論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原型。

　?。?）［bz，az］=impinvar（b，a，fs）

　　把具有［b，a］模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型［bz，az］，如果在函數(shù)中沒(méi)有確定頻率fs時(shí)，函數(shù)默認(rèn)為1Hz.

　　低通巴特沃斯數(shù)字濾波器的實(shí)例

　　一、Matlab計(jì)算濾波器系數(shù)

　　Matlab計(jì)算巴特沃斯低通濾波器系數(shù)過(guò)程如下：

　?、俑鶕?jù)給定的通帶截止頻率、通帶截止增益、阻帶截止頻率、阻帶截止增益，利用buttord函數(shù)計(jì)算巴特沃斯濾波器所需的最小階數(shù)和截止頻率。（由于要求中已給出截止頻率，故這步省去）

　?。▓D是網(wǎng)上扒拉的，指標(biāo)與本設(shè)計(jì)不符）

　?、诟鶕?jù)上述計(jì)算得到的階數(shù)，利用buttap函數(shù)計(jì)算出巴特沃斯濾波器原型。

　?、劾胠p2lp函數(shù)，將原型濾波器轉(zhuǎn)換成目標(biāo)截止頻率的濾波器。

　?、芾妹}沖響應(yīng)不變法（impinvar函數(shù)）或是雙線性變換法（bilinear函數(shù)）將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器形式為z域有理函數(shù)，分子分母系數(shù)即為濾波器系數(shù)。

　　我這里選用的是脈沖響應(yīng)不變法，因?yàn)橛?jì)算得到的濾波器比較簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度比較快。

　?。◤淖蟮接遥簽V波器原型、模擬濾波器、數(shù)字濾波器）

　　設(shè)計(jì)過(guò)程matlab源碼如下：

　　Fs=15;%采樣頻率

　　Nn=12800;

　　N=2;%階數(shù)

　　Wc=1*2*pi;%截止頻率

　　［z，p，k］=buttap（N）;%計(jì)算巴特沃斯濾波器原型

　?。跙ap，Aap］=zp2tf（z，p，k）;%轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式模式

　?。踒，a］=lp2lp（Bap，Aap，Wc）;%根據(jù)截止頻率計(jì)算模擬巴特沃斯濾波器系數(shù)

　　［bz，az］=impinvar（b，a，F(xiàn)s）;%用脈沖響應(yīng)不變法離散化

　　figure（1）

　?。跦，W］=freqz（bz，az，Nn，F(xiàn)s）;%繪制頻率特性曲線

　　subplot（2，1，1）

　　plot（W，20*log10（abs（H）））;

　　gridon;

　　subplot（2，1，2）

　　plot（W，180/pi*unwrap（angle（H）））;

　　gridon;

　　二、Matlab計(jì)算驗(yàn)證

　　先在Matlab中驗(yàn)證濾波函數(shù)。先編寫(xiě)帶噪聲的輸入函數(shù)，然后經(jīng)過(guò)濾波器函數(shù)后，觀察濾波效果。其中濾波器函數(shù)寫(xiě)法為：

　　Filter函數(shù)為Matlab自帶函數(shù)，其算法為：

　　其中，a即為z域傳遞函數(shù)的分母系數(shù)，b為分子系數(shù)。例如本應(yīng)用中：

　　則算法為az（1）*y（k）=bz（1）*x（k）+bz（2）*x（k-1）–az（2）*y（k-1）–az（3）*y（k-2）

　　Matlab中得到的結(jié)果如下（信號(hào)頻率0.1Hz，噪聲頻率6Hz）：

　　三、C語(yǔ)言函數(shù)編寫(xiě)與驗(yàn)證

　　將上述算法翻譯成C語(yǔ)言，寫(xiě)入單片機(jī)中。利用信號(hào)源輸出各種波形，單片機(jī)AD采樣進(jìn)去之后，對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行濾波處理，將原始數(shù)據(jù)和濾波后的數(shù)據(jù)發(fā)送到上位機(jī)進(jìn)行繪圖，得到圖像對(duì)比如下：

　　C函數(shù)源碼如下：

　　constfloatbz［2］={0，0.128580115806658};//分子

　　constfloataz［3］={1，-1.42252474659021，0.553007125840971};//分母

　　floatData_Output［DATA_LENTH］;//輸出數(shù)據(jù)

　　float*but_filter（unsignedintlen，float*x）//len為輸入數(shù)據(jù)數(shù)組長(zhǎng)度，x為輸入數(shù)據(jù)數(shù)組指針

　　{

　　unsignedinti=2;

　　staticfloatinit［2］={0，0};//初值，一開(kāi)始設(shè)為0

　　if（len《2）//如果長(zhǎng)度小于2，直接返回

　　returnData_Output;

　　Data_Output［0］=init［0］;//賦初值

　　Data_Output［1］=init［1］;

　　for（i=2;i《len;i++）

　　{

　　Data_Output［i］=bz［0］*x［i］+bz［1］*x［i-1］-az［1］*Data_Output［i-1］-az［2］*Data_Output［i-2］;

　　/*算法為a1*y（k）=b1*x（k）+b2*x（k-1）-a（2）*y（k-1）-a（3）*y（k-2）*/

　　/*由于a1=1，故不做除法*/

　　}

　　init［0］=Data_Output［len-2］;//考慮到會(huì)被連續(xù)調(diào)用，此次的終值作為下次的初值

　　init［1］=Data_Output［len-1］;

　　returnData_Output;

　　}