取余法來求解 - 二進(jìn)制數(shù)及其他

采用這種方法可以快速的實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，這里要提醒大家一點(diǎn)了，我們只需要練習(xí)十

進(jìn)制數(shù) 255 以內(nèi)的數(shù)據(jù)和二進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換就可以了，太大的數(shù)據(jù)交給計(jì)算器來運(yùn)算就好了，千萬 不要為難自己，非要去計(jì)算 52369 的二進(jìn)制數(shù)，那將讓你失去許多樂趣的。相對(duì)于二進(jìn)制數(shù)來說，我們只 要能計(jì)算 8 位以內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)就可，超過 8 位的還是交給計(jì)算器吧。當(dāng)然了，每個(gè)人都有自 己的自由，如果某人要手工計(jì)算 32 位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)或者把一個(gè)上億的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制 數(shù)，我也沒有辦法。

在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于十進(jìn)制數(shù)，我們自動(dòng)的根據(jù)數(shù)據(jù)的大小調(diào)整數(shù)位，15 有兩位有效數(shù)字，那么我

們寫 15 就好，那么沒有人會(huì)寫成 00015 的，同樣的 369 有三位有效數(shù)字，也沒人會(huì)寫成 00369，因?yàn)?在數(shù)字的前面加 0 不改變大小，所以我們通常是省略前面的 0。但在數(shù)字電路中有另外一種情況，譬如我們 制造好了一個(gè)電路后，能表示 8 位二進(jìn)制數(shù)，那么就必須制造 8 個(gè)基本元件，每個(gè)基本元件存儲(chǔ)一個(gè)二進(jìn)制 數(shù)，那么表示任何一個(gè)數(shù)，都是這 8 個(gè)基本元件作為一個(gè)整體來表示的，這樣就會(huì)遇到多余的 0，如表示十 進(jìn)制數(shù) 30，那么就是 00011110，前面的 0 你不能省略，因?yàn)槟悴荒苷f最前面的 3 個(gè)元件不存儲(chǔ)數(shù)據(jù)了， 再者，電路造好之后你也不能隨便的用刀砍掉一部分。所以，在我們數(shù)字電路以及單片機(jī)課程中，一般遇到 的二進(jìn)制都是位數(shù)固定的，我們?cè)趯戇@些數(shù)據(jù)的時(shí)候一定不要省略前面的 0,那么這個(gè)固定的位數(shù)是多少呢？

8 的倍數(shù)，也就是說，一般來說都是 8 位數(shù)一組，或者是 16 位，32 位，64 位，128 位等。

針對(duì)單片機(jī)中二進(jìn)制位數(shù)固定這一特點(diǎn)，這里有幾個(gè)名詞：位（bit），字節(jié)（Byte），字

（Word）。其中位就是二進(jìn)制位，1 位就是一個(gè)二進(jìn)制位，稱為 1bit，簡(jiǎn)寫 1b，1 字節(jié)代表 8 個(gè)二進(jìn)制的

位，1Byte＝8bit ，1 字代表 2 個(gè)字節(jié)，1Word＝2Byte。Byte 可以簡(jiǎn)寫作 B，我們可以得到如下公式：

1B＝8b，1Word＝2B＝16b

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)據(jù)越來越多，我們還有幾個(gè)單位，KB,MB,GB,TB,其關(guān)系為：

1KB=1024B= 210 B

1MB=1024KB= 220 B

1GB=1024MB= 230 B

1TB=1024GB=2 40 B

2.3 十六進(jìn)制數(shù)出世

數(shù)字電路中都用二進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)中當(dāng)然也用二進(jìn)制數(shù)，而我們要與這些電路打交道，必然要會(huì)二進(jìn) 制數(shù)，大家看看以下這幾個(gè)二進(jìn)制數(shù)，然后抄一遍：

第一個(gè)數(shù)：00001101

第二個(gè)數(shù)：0101001110011010 的三個(gè)數(shù)：11100101011100110011001011101111 第四個(gè)數(shù)：

1101010001111000001110110110111011100110000011100100010010011100

第一個(gè)數(shù)是 8 位，寫下來沒什么太大的關(guān)系，第二個(gè)數(shù)是 16 位，仔細(xì)的看一下，抄寫也可以，第三個(gè)是32位，我想可能要非常吃力的才能寫下來，也許還要多次才能正確的抄寫下來，那么最后一個(gè) 64 位的，有人有勇氣面對(duì)它嗎？如果是寫滿了 0 和 1 的 20 張 A4 的紙呢，任是誰也會(huì)崩潰的，太苦惱了，如果每天都是 看到的都是這些數(shù)字，也只有神仙才可以做得到了。這還不算，怕的就是出錯(cuò)了，滿目都是 0 和 1，稍微錯(cuò) 了一位，面目全非了，所有的工作就要重新來過。有人會(huì)說，我直接轉(zhuǎn)換成 10 進(jìn)制數(shù)來讀寫好了。但是二 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)太繁瑣，誰能告訴我最后一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是多少呢？

二進(jìn)制數(shù)難讀，難寫，數(shù)據(jù)位數(shù)多，寫和讀都不方便，而我們卻不能不看，不能不用，因?yàn)槲覀儾荒?/p>

不用數(shù)字電路，也不能不用計(jì)算機(jī)。當(dāng)問題出現(xiàn)了，我們就要解決它，于是出現(xiàn)了十六進(jìn)制。 十六進(jìn)制有十六個(gè)數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)，基數(shù)是 16，

運(yùn)算時(shí)逢十六進(jìn)一。為什么說十六進(jìn)制數(shù)解決了二進(jìn)制數(shù)讀寫困難，也沒有十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換繁瑣的困局呢？因 為十六進(jìn)制和二進(jìn)制數(shù)相互轉(zhuǎn)換非常簡(jiǎn)單，4 位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)，這樣就可以把上述冗長(zhǎng)的 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。上面四個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)為：

第一個(gè)數(shù)：0D 第二個(gè)數(shù)：539A 的三個(gè)數(shù)：E57332EF

第四個(gè)數(shù)：D4783B6EE60E449C

當(dāng)你看到上面這組數(shù)據(jù)的時(shí)候，讀和寫的時(shí)候要輕松的多了吧，這樣我們被前面二進(jìn)制數(shù)打擊的信心 又回來了。那么你一定迫切的想知道二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)是如何轉(zhuǎn)換的吧。好吧，我們就來講二進(jìn)制數(shù)和 十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換。

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)：4 位一組，分別轉(zhuǎn)換；

十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：1 位轉(zhuǎn)換為 4 位，原序排列。 在進(jìn)行學(xué)習(xí)二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換之前，先看一個(gè)表格，

表 2 十進(jìn)制數(shù)、二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

我們只要對(duì)照這個(gè)表格，就可以很輕松的進(jìn)行二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換了。下面用具體的例子來說明。

例 1 把二進(jìn)制數(shù) 1011 0110 轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)

首先把二進(jìn)制數(shù)分組

1011??? 0110

B?????? 6

則二進(jìn)制數(shù) 10110110 轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)就是 B6 了。更多的位數(shù)一樣的轉(zhuǎn)換。

例 2 把二進(jìn)制數(shù) 1110 1100 0111 0010 轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù) 把二進(jìn)制數(shù)分組

1110???????? 1100?????????? 0111?????????? 0010

E???? C?????? 7????? 2

轉(zhuǎn)換的結(jié)果為十六進(jìn)制數(shù) EC72

反過來，十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)則反過來，直接一位變?yōu)?4 位就可以了。例如把十六進(jìn)制數(shù)

A157 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，則

A???? 1????? 5???? 7

1010?? 0001?? 0101?? 0111

轉(zhuǎn)換后的結(jié)果就是 1010 0001 0101 0111。

正因?yàn)槭M(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換不需要進(jìn)行計(jì)算，只是簡(jiǎn)單的替換就可以，所以我們?cè)诤芏?場(chǎng)合下經(jīng)常用十六進(jìn)制數(shù)來代替二進(jìn)制數(shù)，在學(xué)習(xí)單片機(jī)課程的時(shí)候，經(jīng)常遇到十六進(jìn)制數(shù)，所以必須掌握 十六進(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，而且要能熟練的轉(zhuǎn)換。針對(duì)表 2，我建議大家就用 8421 法來記憶，數(shù) 字都很小，即使記不住，臨時(shí)來計(jì)算也很快的。

二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)能夠相互轉(zhuǎn)換，那么十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換怎么做呢？十進(jìn)制數(shù)和 十六進(jìn)制數(shù)可以直接相互轉(zhuǎn)換，也可以用加權(quán)法，十六進(jìn)制數(shù)的每一位的權(quán)是 1，16，256，4096……數(shù) 據(jù)運(yùn)算量比較大，所以我們就簡(jiǎn)單的計(jì)算一下 2 位的十六進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，太大的數(shù)據(jù)就不要 為難自己了，用計(jì)算器吧。我的方法是先轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，然后再把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，這樣手算的 速度要快些。反過來，要把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)，也是先把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，然后在轉(zhuǎn)換為 十六進(jìn)制數(shù)。

我們現(xiàn)實(shí)生活中使用十進(jìn)制數(shù)，而計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制數(shù)，為了讀寫的方便，我們發(fā)明了十六進(jìn)制 數(shù)，并且通過上面的學(xué)習(xí)我們也知道了如何快速的在這三種進(jìn)制數(shù)據(jù)之間相互轉(zhuǎn)換，應(yīng)該沒有上面太大的問 題了。但是還有一個(gè)問題，大家再看一看表 2，二進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)據(jù)他們的數(shù)碼，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)碼 有重合的部分，這就有問題了，如果出現(xiàn)了一個(gè)數(shù)據(jù)，如何知道是那種進(jìn)制的數(shù)據(jù)呢？如

1110，145，562?？赡苡腥藭?huì)說，第一個(gè)數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，第二個(gè)和第三個(gè)數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)。但這是錯(cuò)誤 的。就如一件衣服 200 元，如果在重慶，那么就是 200 人民幣，如果是在香港買的，那么就是 200 港元， 如果你跑到英國(guó)去買，那么可能會(huì)是 200 英鎊或者 200 歐元了，這可是不一樣的，而且差別很大。這個(gè)時(shí) 候你再來看看 1110 和 145 這兩個(gè)數(shù)，到底是什么進(jìn)制的數(shù)據(jù)呢？不知道，除非做了說明。這就是我要講 的另外一個(gè)問題，對(duì)于任何一個(gè)數(shù)字，我們必須作出說明是什么進(jìn)制數(shù)據(jù)才有意義，否則我們不知道它的真

實(shí)大小。那么如何來區(qū)分這三種進(jìn)制的數(shù)據(jù)呢？我們采用在數(shù)字的末尾加一個(gè)字母來表示。

二進(jìn)制的英文單詞是 Binary，十進(jìn)制的英文單詞是 Decimal，十六進(jìn)制的英文單詞是

Hexadecimal，所以我們就在二進(jìn)制數(shù)后面加字母 B ，在十進(jìn)制數(shù)后面加字母 D ，在十六進(jìn)制數(shù)后面加字

母 H，這樣就可以區(qū)分這三種進(jìn)制的數(shù)據(jù)了。如 1010B，145D，562H 等等。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)實(shí)生活中用的最 多的是十進(jìn)制數(shù)，所以十進(jìn)制數(shù)后的字母 D 可以省略，直接寫 145，就如我們?cè)谥袊?guó)買東西，標(biāo)價(jià)是 200 的話默認(rèn)單位就是人民幣了，但二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)后的字母不能省略。

2.4? 負(fù)號(hào)的解決之道

以上在討論數(shù)值的時(shí)候都只考慮了正數(shù)的情況，其實(shí)我們還使用負(fù)數(shù)以及小數(shù)，鑒于小數(shù)在我們課程 的學(xué)習(xí)階段用的不是很多，特別是 9051 單片機(jī)，對(duì)于小數(shù)的運(yùn)算非常不擅長(zhǎng)，所以也就很少用到了，自然 不會(huì)講太多。接下來我們就僅討論負(fù)數(shù)的問題。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，表示一個(gè)數(shù)的正負(fù)，我們?cè)跀?shù)據(jù)的前面加上一個(gè) 正號(hào)或者負(fù)號(hào)（+/-），但是在計(jì)算 機(jī)中，對(duì)于這個(gè)正負(fù)號(hào)的表示就有點(diǎn)問題了，計(jì)算機(jī)中只能使用 0 和 1，沒法使用+ -，那么我們?nèi)绾伪硎?一個(gè)數(shù)值的正負(fù)呢？方法是用 0 和 1 來表示正負(fù)號(hào)。正常的情況下，我們用 0 來表示正號(hào)，1 來表示負(fù)號(hào)。 這樣，我們對(duì)于一個(gè)數(shù)值就有兩部分構(gòu)成，符號(hào)位和數(shù)值位，符號(hào)位用 0 和 1 來表示正負(fù)，數(shù)值位表示大 小。計(jì)算機(jī)中的數(shù)值有很多，為了防止符號(hào)位和數(shù)值位不對(duì)應(yīng)，我們一般把符號(hào)位和數(shù)值位作為一個(gè)整體來 處理。前面我們講過，在計(jì)算機(jī)中經(jīng)常用到的單位是 Byte，有 8bit，我們就把最高位作為符號(hào)位，其他的 7 位作為數(shù)值位。如圖 6。

?D7?? D6???? D5??? D4???? D3??? D2???? D1??? D0

符號(hào)位??? 數(shù)值位

0?? 正數(shù)

1? 負(fù)數(shù)

圖 6? 符號(hào)位和數(shù)值位

這樣我們就可以用二進(jìn)制數(shù)來表示負(fù)數(shù)了。如

+10＝0000 1010B

-10＝1000 1010B

這樣我們就不怕負(fù)數(shù)了。我們來計(jì)算一下+10 + （－10）的結(jié)果。在計(jì)算機(jī)中，+10 和-10 我們已經(jīng)轉(zhuǎn)化 為二進(jìn)制數(shù)了，這里直接列豎式相加就可以了

0000 1010

+? 1000 1010

————————————

1001 0100

為什么結(jié)果不是 0？難道+10 +（－10）不等于 0？答案肯定是 0 的，絕對(duì)是二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算出錯(cuò)，可是錯(cuò)誤

在哪里呢？大家思考一下數(shù)學(xué)中對(duì)于兩個(gè)數(shù)據(jù)相加是如何做的？首先是比較兩個(gè)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)相同， 那么兩個(gè)數(shù)值相加，符號(hào)不變，而如果兩個(gè)數(shù)值符號(hào)不同，則比較一下哪個(gè)數(shù)值大，用數(shù)值較大的減去數(shù)值 較小的，符號(hào)用數(shù)值較大的符號(hào)。也就是說，我們數(shù)學(xué)上計(jì)算的時(shí)候是分情況的，而在上面的式子中，我們 把符號(hào)也參與運(yùn)算了，并沒有比較兩個(gè)數(shù)的數(shù)值大小。